कैलकुलस उदाहरण

$y = 2 x \ln (5 x^{2})$

चरण 1

पहला व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

चूंकि $2$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $2 x \ln (5 x^{2})$ का व्युत्पन्न $2 \frac{d}{d x} [x \ln (5 x^{2})]$ है.

$2 \frac{d}{d x} [x \ln (5 x^{2})]$

चरण 1.2

गुणनफल नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ है, जहाँ $f (x) = x$ और $g (x) = \ln (5 x^{2})$ है.

$2 (x \frac{d}{d x} [\ln (5 x^{2})] + \ln (5 x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

चरण 1.3

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = \ln (x)$ और $g (x) = 5 x^{2}$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.3.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u$ को $5 x^{2}$ के रूप में सेट करें.

$2 (x (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [5 x^{2}]) + \ln (5 x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

चरण 1.3.2

$u$ के संबंध में $\ln (u)$ का व्युत्पन्न $\frac{1}{u}$ है.

$2 (x (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [5 x^{2}]) + \ln (5 x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

चरण 1.3.3

$u$ की सभी घटनाओं को $5 x^{2}$ से बदलें.

$2 (x (\frac{1}{5 x^{2}} \frac{d}{d x} [5 x^{2}]) + \ln (5 x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

चरण 1.4

अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.4.1

$\frac{1}{5 x^{2}}$ और $x$ को मिलाएं.

$2 (\frac{x}{5 x^{2}} \frac{d}{d x} [5 x^{2}] + \ln (5 x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

चरण 1.4.2

$x$ और $x^{2}$ के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.4.2.1

$x$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$2 (\frac{x^{1}}{5 x^{2}} \frac{d}{d x} [5 x^{2}] + \ln (5 x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

चरण 1.4.2.2

$x^{1}$ में से $x$ का गुणनखंड करें.

$2 (\frac{x \cdot 1}{5 x^{2}} \frac{d}{d x} [5 x^{2}] + \ln (5 x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

चरण 1.4.2.3

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.4.2.3.1

$5 x^{2}$ में से $x$ का गुणनखंड करें.

$2 (\frac{x \cdot 1}{x (5 x)} \frac{d}{d x} [5 x^{2}] + \ln (5 x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

चरण 1.4.2.3.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$2 (\frac{x \cdot 1}{x (5 x)} \frac{d}{d x} [5 x^{2}] + \ln (5 x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

चरण 1.4.2.3.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$2 (\frac{1}{5 x} \frac{d}{d x} [5 x^{2}] + \ln (5 x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

चरण 1.4.3

चूंकि $5$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $5 x^{2}$ का व्युत्पन्न $5 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ है.

$2 (\frac{1}{5 x} (5 \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \ln (5 x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

चरण 1.4.4

पदों को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.4.4.1

$5$ और $\frac{1}{5 x}$ को मिलाएं.

$2 (\frac{5}{5 x} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \ln (5 x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

चरण 1.4.4.2

$5$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.4.4.2.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$2 (\frac{5}{5 x} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \ln (5 x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

चरण 1.4.4.2.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$2 (\frac{1}{x} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \ln (5 x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

चरण 1.4.5

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 2$ है.

$2 (\frac{1}{x} (2 x) + \ln (5 x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

चरण 1.4.6

पदों को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.4.6.1

$2$ और $\frac{1}{x}$ को मिलाएं.

$2 (\frac{2}{x} x + \ln (5 x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

चरण 1.4.6.2

$\frac{2}{x}$ और $x$ को मिलाएं.

$2 (\frac{2 x}{x} + \ln (5 x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

चरण 1.4.6.3

$x$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.4.6.3.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$2 (\frac{2 x}{x} + \ln (5 x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

चरण 1.4.6.3.2

$2$ को $1$ से विभाजित करें.

$2 (2 + \ln (5 x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

चरण 1.4.7

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$2 (2 + \ln (5 x^{2}) \cdot 1)$

चरण 1.4.8

$\ln (5 x^{2})$ को $1$ से गुणा करें.

$2 (2 + \ln (5 x^{2}))$

चरण 1.5

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.5.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$2 \cdot 2 + 2 \ln (5 x^{2})$

चरण 1.5.2

$2$ को $2$ से गुणा करें.

$4 + 2 \ln (5 x^{2})$

चरण 1.5.3

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$f' (x) = 2 \ln (5 x^{2}) + 4$

चरण 2

दूसरा व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $2 \ln (5 x^{2}) + 4$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [2 \ln (5 x^{2})] + \frac{d}{d x} [4]$ है.

$\frac{d}{d x} [2 \ln (5 x^{2})] + \frac{d}{d x} [4]$

चरण 2.2

$\frac{d}{d x} [2 \ln (5 x^{2})]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.1

चूंकि $2$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $2 \ln (5 x^{2})$ का व्युत्पन्न $2 \frac{d}{d x} [\ln (5 x^{2})]$ है.

$2 \frac{d}{d x} [\ln (5 x^{2})] + \frac{d}{d x} [4]$

चरण 2.2.2

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.2.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u$ को $5 x^{2}$ के रूप में सेट करें.

$2 (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [5 x^{2}]) + \frac{d}{d x} [4]$

चरण 2.2.2.2

$u$ के संबंध में $\ln (u)$ का व्युत्पन्न $\frac{1}{u}$ है.

$2 (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [5 x^{2}]) + \frac{d}{d x} [4]$

चरण 2.2.2.3

$u$ की सभी घटनाओं को $5 x^{2}$ से बदलें.

$2 (\frac{1}{5 x^{2}} \frac{d}{d x} [5 x^{2}]) + \frac{d}{d x} [4]$

चरण 2.2.3

चूंकि $5$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $5 x^{2}$ का व्युत्पन्न $5 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ है.

$2 (\frac{1}{5 x^{2}} (5 \frac{d}{d x} [x^{2}])) + \frac{d}{d x} [4]$

चरण 2.2.4

$2 (\frac{1}{5 x^{2}} (5 (2 x))) + \frac{d}{d x} [4]$

चरण 2.2.5

$2$ को $5$ से गुणा करें.

$2 (\frac{1}{5 x^{2}} (10 x)) + \frac{d}{d x} [4]$

चरण 2.2.6

$10$ और $\frac{1}{5 x^{2}}$ को मिलाएं.

$2 (\frac{10}{5 x^{2}} x) + \frac{d}{d x} [4]$

चरण 2.2.7

$\frac{10}{5 x^{2}}$ और $x$ को मिलाएं.

$2 \frac{10 x}{5 x^{2}} + \frac{d}{d x} [4]$

चरण 2.2.8

$10$ और $5$ के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.8.1

$10 x$ में से $5$ का गुणनखंड करें.

$2 \frac{5 (2 x)}{5 x^{2}} + \frac{d}{d x} [4]$

चरण 2.2.8.2

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.8.2.1

$5 x^{2}$ में से $5$ का गुणनखंड करें.

$2 \frac{5 (2 x)}{5 (x^{2})} + \frac{d}{d x} [4]$

चरण 2.2.8.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$2 \frac{5 (2 x)}{5 x^{2}} + \frac{d}{d x} [4]$

चरण 2.2.8.2.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$2 \frac{2 x}{x^{2}} + \frac{d}{d x} [4]$

चरण 2.2.9

$x$ और $x^{2}$ के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.9.1

$2 x$ में से $x$ का गुणनखंड करें.

$2 \frac{x \cdot 2}{x^{2}} + \frac{d}{d x} [4]$

चरण 2.2.9.2

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.9.2.1

$x^{2}$ में से $x$ का गुणनखंड करें.

$2 \frac{x \cdot 2}{x \cdot x} + \frac{d}{d x} [4]$

चरण 2.2.9.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$2 \frac{x \cdot 2}{x \cdot x} + \frac{d}{d x} [4]$

चरण 2.2.9.2.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$2 \frac{2}{x} + \frac{d}{d x} [4]$

चरण 2.2.10

$2$ और $\frac{2}{x}$ को मिलाएं.

$\frac{2 \cdot 2}{x} + \frac{d}{d x} [4]$

चरण 2.2.11

$2$ को $2$ से गुणा करें.

$\frac{4}{x} + \frac{d}{d x} [4]$

चरण 2.3

स्थिरांक नियम का उपयोग करके अंतर करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.1

चूंकि $x$ के संबंध में $4$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $4$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$\frac{4}{x} + 0$

चरण 2.3.2

$\frac{4}{x}$ और $0$ जोड़ें.

$f'' (x) = \frac{4}{x}$

चरण 3

व्युत्पन्न ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

चूंकि $4$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $\frac{4}{x}$ का व्युत्पन्न $4 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ है.

$4 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

चरण 3.2

$\frac{1}{x}$ को $x^{- 1}$ के रूप में फिर से लिखें.

$4 \frac{d}{d x} [x^{- 1}]$

चरण 3.3

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = - 1$ है.

$4 (- x^{- 2})$

चरण 3.4

$- 1$ को $4$ से गुणा करें.

$- 4 x^{- 2}$

चरण 3.5

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.5.1

ऋणात्मक घातांक नियम $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ का प्रयोग करके व्यंजक को फिर से लिखें.

$- 4 \frac{1}{x^{2}}$

चरण 3.5.2

पदों को मिलाएं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.5.2.1

$- 4$ और $\frac{1}{x^{2}}$ को मिलाएं.

$\frac{- 4}{x^{2}}$

चरण 3.5.2.2

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$f''' (x) = - \frac{4}{x^{2}}$