कैलकुलस उदाहरण

$\int \frac{44}{x^{2} \sqrt{x^{2} + 16}} d x$

चरण 1

चूँकि $44$ बटे $x$ अचर है, $44$ को समाकलन से हटा दें.

$44 \int \frac{1}{x^{2} \sqrt{x^{2} + 16}} d x$

चरण 2

मान लीजिए $x = 4 \tan (t)$ , जहां $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . फिर $d x = 4 \sec^{2} (t) d t$ . ध्यान दें कि $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ से, $4 \sec^{2} (t)$ सकारात्मक है.

$44 \int \frac{1}{{(4 \tan (t))}^{2} \sqrt{{(4 \tan (t))}^{2} + 16}} (4 \sec^{2} (t)) d t$

चरण 3

पदों को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

$\sqrt{{(4 \tan (t))}^{2} + 16}$ को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1.1.1

उत्पाद नियम को $4 \tan (t)$ पर लागू करें.

$44 \int \frac{1}{{(4 \tan (t))}^{2} \sqrt{4^{2} \tan^{2} (t) + 16}} (4 \sec^{2} (t)) d t$

चरण 3.1.1.2

$4$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$44 \int \frac{1}{{(4 \tan (t))}^{2} \sqrt{16 \tan^{2} (t) + 16}} (4 \sec^{2} (t)) d t$

चरण 3.1.2

$16 \tan^{2} (t) + 16$ में से $16$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1.2.1

$16 \tan^{2} (t)$ में से $16$ का गुणनखंड करें.

$44 \int \frac{1}{{(4 \tan (t))}^{2} \sqrt{16 (\tan^{2} (t)) + 16}} (4 \sec^{2} (t)) d t$

चरण 3.1.2.2

$16$ में से $16$ का गुणनखंड करें.

$44 \int \frac{1}{{(4 \tan (t))}^{2} \sqrt{16 (\tan^{2} (t)) + 16 (1)}} (4 \sec^{2} (t)) d t$

चरण 3.1.2.3

$16 (\tan^{2} (t)) + 16 (1)$ में से $16$ का गुणनखंड करें.

$44 \int \frac{1}{{(4 \tan (t))}^{2} \sqrt{16 (\tan^{2} (t) + 1)}} (4 \sec^{2} (t)) d t$

चरण 3.1.3

पाइथागोरस सर्वसमिका लागू करें.

$44 \int \frac{1}{{(4 \tan (t))}^{2} \sqrt{16 \sec^{2} (t)}} (4 \sec^{2} (t)) d t$

चरण 3.1.4

$16 \sec^{2} (t)$ को ${(4 \sec (t))}^{2}$ के रूप में फिर से लिखें.

$44 \int \frac{1}{{(4 \tan (t))}^{2} \sqrt{{(4 \sec (t))}^{2}}} (4 \sec^{2} (t)) d t$

चरण 3.1.5

धनात्मक वास्तविक संख्या मानकर, करणी के अंतर्गत पदों को बाहर निकालें.

$44 \int \frac{1}{{(4 \tan (t))}^{2} (4 \sec (t))} (4 \sec^{2} (t)) d t$

चरण 3.2

पदों को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.1

$4 \sec (t)$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.1.1

${(4 \tan (t))}^{2} (4 \sec (t))$ में से $4 \sec (t)$ का गुणनखंड करें.

$44 \int \frac{1}{4 \sec (t) ({(4 \tan (t))}^{2})} (4 \sec^{2} (t)) d t$

चरण 3.2.1.2

$4 \sec^{2} (t)$ में से $4 \sec (t)$ का गुणनखंड करें.

$44 \int \frac{1}{4 \sec (t) ({(4 \tan (t))}^{2})} (4 \sec (t) (\sec (t))) d t$

चरण 3.2.1.3

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$44 \int \frac{1}{4 \sec (t) {(4 \tan (t))}^{2}} (4 \sec (t) \sec (t)) d t$

चरण 3.2.1.4

व्यंजक को फिर से लिखें.

$44 \int \frac{1}{{(4 \tan (t))}^{2}} \sec (t) d t$

चरण 3.2.2

$\frac{1}{{(4 \tan (t))}^{2}}$ और $\sec (t)$ को मिलाएं.

$44 \int \frac{\sec (t)}{{(4 \tan (t))}^{2}} d t$

चरण 3.2.3

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.3.1

$4 \tan (t)$ में से $4$ का गुणनखंड करें.

$44 \int \frac{\sec (t)}{{(4 (\tan (t)))}^{2}} d t$

चरण 3.2.3.2

उत्पाद नियम को $4 (\tan (t))$ पर लागू करें.

$44 \int \frac{\sec (t)}{4^{2} \tan^{2} (t)} d t$

चरण 3.2.3.3

$4$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$44 \int \frac{\sec (t)}{16 \tan^{2} (t)} d t$

चरण 4

चूँकि $\frac{1}{16}$ बटे $t$ अचर है, $\frac{1}{16}$ को समाकलन से हटा दें.

$44 (\frac{1}{16} \int \frac{\sec (t)}{\tan^{2} (t)} d t)$

चरण 5

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1

$\frac{1}{16}$ और $44$ को मिलाएं.

$\frac{44}{16} \int \frac{\sec (t)}{\tan^{2} (t)} d t$

चरण 5.2

$44$ और $16$ के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.1

$44$ में से $4$ का गुणनखंड करें.

$\frac{4 (11)}{16} \int \frac{\sec (t)}{\tan^{2} (t)} d t$

चरण 5.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.2.1

$16$ में से $4$ का गुणनखंड करें.

$\frac{4 \cdot 11}{4 \cdot 4} \int \frac{\sec (t)}{\tan^{2} (t)} d t$

चरण 5.2.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{4 \cdot 11}{4 \cdot 4} \int \frac{\sec (t)}{\tan^{2} (t)} d t$

चरण 5.2.2.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{11}{4} \int \frac{\sec (t)}{\tan^{2} (t)} d t$

चरण 6

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1

$\sec (x)$ को $\frac{\csc (x)}{\cot (x)}$ के रूप में फिर से लिखें.

$\frac{11}{4} \int \frac{\frac{\csc (t)}{\cot (t)}}{\tan^{2} (t)} d t$

चरण 6.2

प्रतिलोम सर्वसमिका को लागू करें.

$\frac{11}{4} \int \frac{\frac{\csc (t)}{\cot (t)}}{{(\frac{1}{\cot (t)})}^{2}} d t$

चरण 6.3

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.3.1

भाजक के प्रतिलोम से न्यूमेरेटर को गुणा करें.

$\frac{11}{4} \int \frac{\csc (t)}{\cot (t)} \cdot \frac{1}{{(\frac{1}{\cot (t)})}^{2}} d t$

चरण 6.3.2

जोड़ना.

$\frac{11}{4} \int \frac{\csc (t) \cdot 1}{\cot (t) {(\frac{1}{\cot (t)})}^{2}} d t$

चरण 6.3.3

$\csc (t)$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{11}{4} \int \frac{\csc (t)}{\cot (t) {(\frac{1}{\cot (t)})}^{2}} d t$

चरण 6.3.4

भाजक को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.3.4.1

उत्पाद नियम को $\frac{1}{\cot (t)}$ पर लागू करें.

$\frac{11}{4} \int \frac{\csc (t)}{\cot (t) \frac{1^{2}}{{\cot (t)}^{2}}} d t$

चरण 6.3.4.2

एक का कोई भी घात एक होता है.

$\frac{11}{4} \int \frac{\csc (t)}{\cot (t) \frac{1}{{\cot (t)}^{2}}} d t$

चरण 6.3.5

$\cot (t)$ और $\frac{1}{{\cot (t)}^{2}}$ को मिलाएं.

$\frac{11}{4} \int \frac{\csc (t)}{\frac{\cot (t)}{{\cot (t)}^{2}}} d t$

चरण 6.3.6

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करके व्यंजक $\frac{\cot (t)}{{\cot (t)}^{2}}$ को छोटा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.3.6.1

$1$ से गुणा करें.

$\frac{11}{4} \int \frac{\csc (t)}{\frac{\cot (t) \cdot 1}{{\cot (t)}^{2}}} d t$

चरण 6.3.6.2

${\cot (t)}^{2}$ में से $\cot (t)$ का गुणनखंड करें.

$\frac{11}{4} \int \frac{\csc (t)}{\frac{\cot (t) \cdot 1}{\cot (t) \cot (t)}} d t$

चरण 6.3.6.3

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{11}{4} \int \frac{\csc (t)}{\frac{\cot (t) \cdot 1}{\cot (t) \cot (t)}} d t$

चरण 6.3.6.4

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{11}{4} \int \frac{\csc (t)}{\frac{1}{\cot (t)}} d t$

चरण 6.3.7

भाजक के प्रतिलोम से न्यूमेरेटर को गुणा करें.

$\frac{11}{4} \int \csc (t) \cot (t) d t$

चरण 7

चूंकि $- \csc (t)$ का व्युत्पन्न $\csc (t) \cot (t)$ है, $\csc (t) \cot (t)$ का समाकलन $- \csc (t)$ है.

$\frac{11}{4} (- \csc (t) + C)$

चरण 8

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.1

सरल करें.

$\frac{11}{4} (- \csc (t)) + C$

चरण 8.2

$\frac{11}{4}$ और $\csc (t)$ को मिलाएं.

$- \frac{11 \csc (t)}{4} + C$

चरण 9

$t$ की सभी घटनाओं को $\arctan (\frac{x}{4})$ से बदलें.

$- \frac{11 \csc (\arctan (\frac{x}{4}))}{4} + C$

चरण 10

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 10.1

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 10.1.1

समतल में एक त्रिभुज बनाएंं जिसमें शीर्ष $(1, \frac{x}{4})$ , $(1, 0)$ और मूल बिंदु हों. फिर $\arctan (\frac{x}{4})$ धनात्मक x-अक्ष और किरण के बीच का कोण है जो मूल बिंदु से शुरू होकर $(1, \frac{x}{4})$ से होकर गुजरती है. इसलिए, $\csc (\arctan (\frac{x}{4}))$ $\frac{\sqrt{1 + {(\frac{x}{4})}^{2}}}{\frac{x}{4}}$ है.

$- \frac{11 \frac{\sqrt{1 + {(\frac{x}{4})}^{2}}}{\frac{x}{4}}}{4} + C$

चरण 10.1.2

भाजक के प्रतिलोम से न्यूमेरेटर को गुणा करें.

$- \frac{11 (\sqrt{1 + {(\frac{x}{4})}^{2}} \frac{4}{x})}{4} + C$

चरण 10.1.3

उत्पाद नियम को $\frac{x}{4}$ पर लागू करें.

$- \frac{11 (\sqrt{1 + \frac{x^{2}}{4^{2}}} \frac{4}{x})}{4} + C$

चरण 10.1.4

$4$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$- \frac{11 (\sqrt{1 + \frac{x^{2}}{16}} \frac{4}{x})}{4} + C$

चरण 10.1.5

एक सामान्य भाजक के साथ $1$ को भिन्न के रूप में लिखें.

$- \frac{11 (\sqrt{\frac{16}{16} + \frac{x^{2}}{16}} \frac{4}{x})}{4} + C$

चरण 10.1.6

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$- \frac{11 (\sqrt{\frac{16 + x^{2}}{16}} \frac{4}{x})}{4} + C$

चरण 10.1.7

$\frac{16 + x^{2}}{16}$ को ${(\frac{1}{4})}^{2} (16 + x^{2})$ के रूप में फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 10.1.7.1

$16 + x^{2}$ में से पूर्ण घात $1^{2}$ का गुणनखंड करें.

$- \frac{11 (\sqrt{\frac{1^{2} (16 + x^{2})}{16}} \frac{4}{x})}{4} + C$

चरण 10.1.7.2

$16$ में से पूर्ण घात $4^{2}$ का गुणनखंड करें.

$- \frac{11 (\sqrt{\frac{1^{2} (16 + x^{2})}{4^{2} \cdot 1}} \frac{4}{x})}{4} + C$

चरण 10.1.7.3

भिन्न को पुनर्व्यवस्थित करें $\frac{1^{2} (16 + x^{2})}{4^{2} \cdot 1}$ .

$- \frac{11 (\sqrt{{(\frac{1}{4})}^{2} (16 + x^{2})} \frac{4}{x})}{4} + C$

चरण 10.1.8

करणी से पदों को बाहर निकालें.

$- \frac{11 (\frac{1}{4} \sqrt{16 + x^{2}} \frac{4}{x})}{4} + C$

चरण 10.1.9

$\frac{1}{4}$ और $\sqrt{16 + x^{2}}$ को मिलाएं.

$- \frac{11 (\frac{\sqrt{16 + x^{2}}}{4} \cdot \frac{4}{x})}{4} + C$

चरण 10.1.10

जोड़ना.

$- \frac{11 \frac{\sqrt{16 + x^{2}} \cdot 4}{4 x}}{4} + C$

चरण 10.1.11

$4$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 10.1.11.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$- \frac{11 \frac{\sqrt{16 + x^{2}} \cdot 4}{4 x}}{4} + C$

चरण 10.1.11.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$- \frac{11 \frac{\sqrt{16 + x^{2}}}{x}}{4} + C$

चरण 10.2

$11$ और $\frac{\sqrt{16 + x^{2}}}{x}$ को मिलाएं.

$- \frac{\frac{11 \sqrt{16 + x^{2}}}{x}}{4} + C$

चरण 10.3

भाजक के प्रतिलोम से न्यूमेरेटर को गुणा करें.

$- (\frac{11 \sqrt{16 + x^{2}}}{x} \cdot \frac{1}{4}) + C$

चरण 10.4

जोड़ना.

$- \frac{11 \sqrt{16 + x^{2}} \cdot 1}{x \cdot 4} + C$

चरण 10.5

$11$ को $1$ से गुणा करें.

$- \frac{11 \sqrt{16 + x^{2}}}{x \cdot 4} + C$

चरण 10.6

$4$ को $x$ के बाईं ओर ले जाएं.

$- \frac{11 \sqrt{16 + x^{2}}}{4 x} + C$