कैलकुलस उदाहरण

$\int_{0}^{a} \frac{x^{3}}{\sqrt{a^{4} + x^{4}}} d x$

चरण 1

मान लीजिए $u = a^{4} + x^{4}$ .फिर $d u = 4 x^{3} d x$ , तो $\frac{1}{4} d u = x^{3} d x$ . $u$ और $d$ $u$ का उपयोग करके फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

मान लें $u = a^{4} + x^{4}$ . $\frac{d u}{d x}$ ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.1

$a^{4} + x^{4}$ को अवकलित करें.

$\frac{d}{d x} [a^{4} + x^{4}]$

चरण 1.1.2

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $a^{4} + x^{4}$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [a^{4}] + \frac{d}{d x} [x^{4}]$ है.

$\frac{d}{d x} [a^{4}] + \frac{d}{d x} [x^{4}]$

चरण 1.1.3

चूंकि $x$ के संबंध में $a^{4}$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $a^{4}$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$0 + \frac{d}{d x} [x^{4}]$

चरण 1.1.4

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 4$ है.

$0 + 4 x^{3}$

चरण 1.1.5

$0$ और $4 x^{3}$ जोड़ें.

$4 x^{3}$

चरण 1.2

$x$ के लिए $u = a^{4} + x^{4}$ में निचली सीमा को प्रतिस्थापित करें.

$u_{lower} = a^{4} + 0^{4}$

चरण 1.3

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.3.1

$0$ को किसी भी धनात्मक घात तक बढ़ाने से $0$ प्राप्त होता है.

$u_{lower} = a^{4} + 0$

चरण 1.3.2

$a^{4}$ और $0$ जोड़ें.

$u_{lower} = a^{4}$

चरण 1.4

$x$ के लिए $u = a^{4} + x^{4}$ में ऊपरी सीमा को प्रतिस्थापित करें.

$u_{upper} = a^{4} + a^{4}$

चरण 1.5

$a^{4}$ और $a^{4}$ जोड़ें.

$u_{upper} = 2 a^{4}$

चरण 1.6

$u_{lower}$ और $u_{upper}$ के लिए पाए गए मानों का उपयोग निश्चित समाकल का मूल्यांकन करने के लिए किया जाएगा.

$u_{lower} = a^{4}$

$u_{upper} = 2 a^{4}$

चरण 1.7

$u$ , $d u$ और समाकलन की नई सीमाओं का उपयोग करके समस्या को फिर से लिखें.

$\int_{a^{4}}^{2 a^{4}} \frac{1}{\sqrt{u}} \cdot \frac{1}{4} d u$

चरण 2

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

$\frac{1}{\sqrt{u}}$ को $\frac{1}{4}$ से गुणा करें.

$\int_{a^{4}}^{2 a^{4}} \frac{1}{\sqrt{u} \cdot 4} d u$

चरण 2.2

$4$ को $\sqrt{u}$ के बाईं ओर ले जाएं.

$\int_{a^{4}}^{2 a^{4}} \frac{1}{4 \sqrt{u}} d u$

चरण 3

चूँकि $\frac{1}{4}$ बटे $u$ अचर है, $\frac{1}{4}$ को समाकलन से हटा दें.

$\frac{1}{4} \int_{a^{4}}^{2 a^{4}} \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

चरण 4

घातांक के बुनियादी नियम लागू करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1

$\sqrt{u}$ को $u^{\frac{1}{2}}$ के रूप में फिर से लिखने के लिए $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ का उपयोग करें.

$\frac{1}{4} \int_{a^{4}}^{2 a^{4}} \frac{1}{u^{\frac{1}{2}}} d u$

चरण 4.2

$u^{\frac{1}{2}}$ को भाजक में से $- 1$ पावर तक बढ़ा कर हटा दें.

$\frac{1}{4} \int_{a^{4}}^{2 a^{4}} {(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u$

चरण 4.3

घातांक को ${(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ में गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.3.1

घात नियम लागू करें और घातांक गुणा करें, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{4} \int_{a^{4}}^{2 a^{4}} u^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u$

चरण 4.3.2

$\frac{1}{2}$ और $- 1$ को मिलाएं.

$\frac{1}{4} \int_{a^{4}}^{2 a^{4}} u^{\frac{- 1}{2}} d u$

चरण 4.3.3

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$\frac{1}{4} \int_{a^{4}}^{2 a^{4}} u^{- \frac{1}{2}} d u$

चरण 5

घात नियम के अनुसार, $u$ के संबंध में $u^{- \frac{1}{2}}$ का समाकलन $2 u^{\frac{1}{2}}$ है.

$\frac{1}{4} 2 u^{\frac{1}{2}}]_{a^{4}}^{2 a^{4}}$

चरण 6

प्रतिस्थापित करें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1

$2 a^{4}$ पर और $a^{4}$ पर $2 u^{\frac{1}{2}}$ का मान ज्ञात करें.

$\frac{1}{4} ((2 {(2 a^{4})}^{\frac{1}{2}}) - 2 {(a^{4})}^{\frac{1}{2}})$

चरण 6.2

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.1

$2 a^{4}$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$\frac{1}{4} (2 {(2 (a^{4}))}^{\frac{1}{2}} - 2 {(a^{4})}^{\frac{1}{2}})$

चरण 6.2.2

उत्पाद नियम को $2 (a^{4})$ पर लागू करें.

$\frac{1}{4} (2 (2^{\frac{1}{2}} {(a^{4})}^{\frac{1}{2}}) - 2 {(a^{4})}^{\frac{1}{2}})$

चरण 6.2.3

घातांक को ${(a^{4})}^{\frac{1}{2}}$ में गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.3.1

घात नियम लागू करें और घातांक गुणा करें, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{4} (2 (2^{\frac{1}{2}} a^{4 (\frac{1}{2})}) - 2 {(a^{4})}^{\frac{1}{2}})$

चरण 6.2.3.2

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.3.2.1

$4$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$\frac{1}{4} (2 (2^{\frac{1}{2}} a^{2 (2) \frac{1}{2}}) - 2 {(a^{4})}^{\frac{1}{2}})$

चरण 6.2.3.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{1}{4} (2 (2^{\frac{1}{2}} a^{2 \cdot 2 \frac{1}{2}}) - 2 {(a^{4})}^{\frac{1}{2}})$

चरण 6.2.3.2.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{1}{4} (2 (2^{\frac{1}{2}} a^{2}) - 2 {(a^{4})}^{\frac{1}{2}})$

चरण 6.2.4

$2$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$\frac{1}{4} (2^{\frac{1}{2}} \cdot 2^{1} a^{2} - 2 {(a^{4})}^{\frac{1}{2}})$

चरण 6.2.5

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$\frac{1}{4} (2^{\frac{1}{2} + 1} a^{2} - 2 {(a^{4})}^{\frac{1}{2}})$

चरण 6.2.6

एक सामान्य भाजक के साथ $1$ को भिन्न के रूप में लिखें.

$\frac{1}{4} (2^{\frac{1}{2} + \frac{2}{2}} a^{2} - 2 {(a^{4})}^{\frac{1}{2}})$

चरण 6.2.7

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$\frac{1}{4} (2^{\frac{1 + 2}{2}} a^{2} - 2 {(a^{4})}^{\frac{1}{2}})$

चरण 6.2.8

$1$ और $2$ जोड़ें.

$\frac{1}{4} (2^{\frac{3}{2}} a^{2} - 2 {(a^{4})}^{\frac{1}{2}})$

चरण 6.2.9

घातांक को ${(a^{4})}^{\frac{1}{2}}$ में गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.9.1

घात नियम लागू करें और घातांक गुणा करें, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{4} (2^{\frac{3}{2}} a^{2} - 2 a^{4 (\frac{1}{2})})$

चरण 6.2.9.2

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.9.2.1

$4$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$\frac{1}{4} (2^{\frac{3}{2}} a^{2} - 2 a^{2 (2) \frac{1}{2}})$

चरण 6.2.9.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{1}{4} (2^{\frac{3}{2}} a^{2} - 2 a^{2 \cdot 2 \frac{1}{2}})$

चरण 6.2.9.2.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{1}{4} (2^{\frac{3}{2}} a^{2} - 2 a^{2})$

चरण 7

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{1}{4} (2^{\frac{3}{2}} a^{2}) + \frac{1}{4} (- 2 a^{2})$

चरण 7.2

$\frac{1}{4} (2^{\frac{3}{2}} a^{2})$ गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.2.1

$2^{\frac{3}{2}}$ और $\frac{1}{4}$ को मिलाएं.

$\frac{2^{\frac{3}{2}}}{4} a^{2} + \frac{1}{4} (- 2 a^{2})$

चरण 7.2.2

$\frac{2^{\frac{3}{2}}}{4}$ और $a^{2}$ को मिलाएं.

$\frac{2^{\frac{3}{2}} a^{2}}{4} + \frac{1}{4} (- 2 a^{2})$

चरण 7.3

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.3.1

$4$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$\frac{2^{\frac{3}{2}} a^{2}}{4} + \frac{1}{2 (2)} (- 2 a^{2})$

चरण 7.3.2

$- 2 a^{2}$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$\frac{2^{\frac{3}{2}} a^{2}}{4} + \frac{1}{2 (2)} (2 (- a^{2}))$

चरण 7.3.3

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{2^{\frac{3}{2}} a^{2}}{4} + \frac{1}{2 \cdot 2} (2 (- a^{2}))$

चरण 7.3.4

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{2^{\frac{3}{2}} a^{2}}{4} + \frac{1}{2} (- a^{2})$

चरण 7.4

$\frac{1}{2}$ और $a^{2}$ को मिलाएं.

$\frac{2^{\frac{3}{2}} a^{2}}{4} - \frac{a^{2}}{2}$