कैलकुलस उदाहरण

$x^{y} = e^{x - y}$

चरण 1

समीकरण के दोनों पक्षों का अवकलन करें.

$\frac{d}{d x} (x^{y}) = \frac{d}{d x} (e^{x - y})$

चरण 2

समीकरण के बाएँ पक्ष का अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

सामान्यीकृत घात नियम का उपयोग करके अंतर करें जिसमें कहा गया है कि $\frac{d}{d x} [f^{g}]$ $f^{g} (f' \frac{g}{f} + g' \ln (f))$ है जहां $f = x$ और $g = y$ हैं.

$\frac{d}{d x} [x] (y x^{y - 1}) + \frac{d}{d x} [y] (x^{y} \ln (x))$

चरण 2.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.1

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$1 (y x^{y - 1}) + \frac{d}{d x} [y] (x^{y} \ln (x))$

चरण 2.2.2

$y$ को $1$ से गुणा करें.

$y x^{y - 1} + \frac{d}{d x} [y] (x^{y} \ln (x))$

चरण 2.3

$\frac{d}{d x} [y]$ को $y'$ के रूप में फिर से लिखें.

$y x^{y - 1} + y' (x^{y} \ln (x))$

चरण 2.4

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.4.1

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$x^{y - 1} y + x^{y} \ln (x) y'$

चरण 2.4.2

गुणनखंडों को $x^{y - 1} y + x^{y} \ln (x) y'$ में पुन: क्रमित करें.

$y x^{y - 1} + x^{y} \ln (x) y'$

चरण 3

समीकरण के दाएं पक्ष का अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = e^{x}$ और $g (x) = x - y$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u$ को $x - y$ के रूप में सेट करें.

$\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [x - y]$

चरण 3.1.2

चरघातांकी नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ $a^{u} \ln (a)$ है, जहाँ $a$ = $e$ है.

$e^{u} \frac{d}{d x} [x - y]$

चरण 3.1.3

$u$ की सभी घटनाओं को $x - y$ से बदलें.

$e^{x - y} \frac{d}{d x} [x - y]$

चरण 3.2

अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.1

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x - y$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- y]$ है.

$e^{x - y} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- y])$

चरण 3.2.2

$e^{x - y} (1 + \frac{d}{d x} [- y])$

चरण 3.2.3

चूंकि $- 1$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $- y$ का व्युत्पन्न $- \frac{d}{d x} [y]$ है.

$e^{x - y} (1 - \frac{d}{d x} [y])$

चरण 3.3

$\frac{d}{d x} [y]$ को $y'$ के रूप में फिर से लिखें.

$e^{x - y} (1 - y')$

चरण 4

बाईं ओर को दाईं ओर के बराबर सेट करके समीकरण को सुधारें.

$y x^{y - 1} + x^{y} \ln (x) y' = e^{x - y} (1 - y')$

चरण 5

$y'$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1

गुणनखंडों को $y x^{y - 1} + x^{y} \ln (x) y'$ में पुन: क्रमित करें.

$y x^{y - 1} + y' x^{y} \ln (x) = e^{x - y} (1 - y')$

चरण 5.2

$e^{x - y} (1 - y')$ को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$y x^{y - 1} + y' x^{y} \ln (x) = e^{x - y} \cdot 1 + e^{x - y} (- y')$

चरण 5.2.2

व्यंजक को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.2.1

$e^{x - y}$ को $1$ से गुणा करें.

$y x^{y - 1} + y' x^{y} \ln (x) = e^{x - y} + e^{x - y} (- y')$

चरण 5.2.2.2

गुणन के क्रमविनिमेय गुण का उपयोग करके फिर से लिखें.

$y x^{y - 1} + y' x^{y} \ln (x) = e^{x - y} - e^{x - y} y'$

चरण 5.2.2.3

गुणनखंडों को $e^{x - y} - e^{x - y} y'$ में पुन: क्रमित करें.

$y x^{y - 1} + y' x^{y} \ln (x) = e^{x - y} - y' e^{x - y}$

चरण 5.3

समीकरण के दोनों पक्षों में $y' e^{x - y}$ जोड़ें.

$y x^{y - 1} + y' x^{y} \ln (x) + y' e^{x - y} = e^{x - y}$

चरण 5.4

समीकरण के दोनों पक्षों से $y x^{y - 1}$ घटाएं.

$y' x^{y} \ln (x) + y' e^{x - y} = e^{x - y} - y x^{y - 1}$

चरण 5.5

$y' x^{y} \ln (x) + y' e^{x - y}$ में से $y'$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.5.1

$y' x^{y} \ln (x)$ में से $y'$ का गुणनखंड करें.

$y' (x^{y} \ln (x)) + y' (e^{x - y}) = e^{x - y} - y x^{y - 1}$

चरण 5.5.2

$y' e^{x - y}$ में से $y'$ का गुणनखंड करें.

$y' (x^{y} \ln (x)) + y' (e^{x - y}) = e^{x - y} - y x^{y - 1}$

चरण 5.5.3

$y' (x^{y} \ln (x)) + y' (e^{x - y})$ में से $y'$ का गुणनखंड करें.

$y' (x^{y} \ln (x) + e^{x - y}) = e^{x - y} - y x^{y - 1}$

चरण 5.6

$y' (x^{y} \ln (x) + e^{x - y}) = e^{x - y} - y x^{y - 1}$ के प्रत्येक पद को $x^{y} \ln (x) + e^{x - y}$ से भाग दें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.6.1

$y' (x^{y} \ln (x) + e^{x - y}) = e^{x - y} - y x^{y - 1}$ के प्रत्येक पद को $x^{y} \ln (x) + e^{x - y}$ से विभाजित करें.

$\frac{y' (x^{y} \ln (x) + e^{x - y})}{x^{y} \ln (x) + e^{x - y}} = \frac{e^{x - y}}{x^{y} \ln (x) + e^{x - y}} + \frac{- y x^{y - 1}}{x^{y} \ln (x) + e^{x - y}}$

चरण 5.6.2

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.6.2.1

$x^{y} \ln (x) + e^{x - y}$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.6.2.1.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{y' (x^{y} \ln (x) + e^{x - y})}{x^{y} \ln (x) + e^{x - y}} = \frac{e^{x - y}}{x^{y} \ln (x) + e^{x - y}} + \frac{- y x^{y - 1}}{x^{y} \ln (x) + e^{x - y}}$

चरण 5.6.2.1.2

$y'$ को $1$ से विभाजित करें.

$y' = \frac{e^{x - y}}{x^{y} \ln (x) + e^{x - y}} + \frac{- y x^{y - 1}}{x^{y} \ln (x) + e^{x - y}}$

चरण 5.6.3

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.6.3.1

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$y' = \frac{e^{x - y} - y x^{y - 1}}{x^{y} \ln (x) + e^{x - y}}$

चरण 6

$y'$ को $\frac{d y}{d x}$ से बदलें.

$\frac{d y}{d x} = \frac{e^{x - y} - y x^{y - 1}}{x^{y} \ln (x) + e^{x - y}}$