कैलकुलस उदाहरण

$2 y^{2} + 3 - y^{3} + x^{3} = y$

चरण 1

समीकरण के दोनों पक्षों का अवकलन करें.

$\frac{d}{d x} (2 y^{2} + 3 - y^{3} + x^{3}) = \frac{d}{d x} (y)$

चरण 2

समीकरण के बाएँ पक्ष का अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $2 y^{2} + 3 - y^{3} + x^{3}$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [2 y^{2}] + \frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [- y^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{3}]$ है.

$\frac{d}{d x} [2 y^{2}] + \frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [- y^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{3}]$

चरण 2.2

$\frac{d}{d x} [2 y^{2}]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.1

चूंकि $2$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $2 y^{2}$ का व्युत्पन्न $2 \frac{d}{d x} [y^{2}]$ है.

$2 \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [- y^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{3}]$

चरण 2.2.2

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = x^{2}$ और $g (x) = y$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.2.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u_{1}$ को $y$ के रूप में सेट करें.

$2 (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [- y^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{3}]$

चरण 2.2.2.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ $n {u_{1}}^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 2$ है.

$2 (2 u_{1} \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [- y^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{3}]$

चरण 2.2.2.3

$u_{1}$ की सभी घटनाओं को $y$ से बदलें.

$2 (2 y \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [- y^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{3}]$

चरण 2.2.3

$\frac{d}{d x} [y]$ को $y'$ के रूप में फिर से लिखें.

$2 (2 y y') + \frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [- y^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{3}]$

चरण 2.2.4

$2$ को $2$ से गुणा करें.

$4 y y' + \frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [- y^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{3}]$

चरण 2.3

चूंकि $x$ के संबंध में $3$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $3$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$4 y y' + 0 + \frac{d}{d x} [- y^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{3}]$

चरण 2.4

$\frac{d}{d x} [- y^{3}]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.4.1

चूंकि $- 1$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $- y^{3}$ का व्युत्पन्न $- \frac{d}{d x} [y^{3}]$ है.

$4 y y' + 0 - \frac{d}{d x} [y^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{3}]$

चरण 2.4.2

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = x^{3}$ और $g (x) = y$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.4.2.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u_{2}$ को $y$ के रूप में सेट करें.

$4 y y' + 0 - (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{3}] \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [x^{3}]$

चरण 2.4.2.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ $n {u_{2}}^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 3$ है.

$4 y y' + 0 - (3 {u_{2}}^{2} \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [x^{3}]$

चरण 2.4.2.3

$u_{2}$ की सभी घटनाओं को $y$ से बदलें.

$4 y y' + 0 - (3 y^{2} \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [x^{3}]$

चरण 2.4.3

$\frac{d}{d x} [y]$ को $y'$ के रूप में फिर से लिखें.

$4 y y' + 0 - (3 y^{2} y') + \frac{d}{d x} [x^{3}]$

चरण 2.4.4

$3$ को $- 1$ से गुणा करें.

$4 y y' + 0 - 3 y^{2} y' + \frac{d}{d x} [x^{3}]$

चरण 2.5

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 3$ है.

$4 y y' + 0 - 3 y^{2} y' + 3 x^{2}$

चरण 2.6

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.6.1

$4 y y'$ और $0$ जोड़ें.

$4 y y' - 3 y^{2} y' + 3 x^{2}$

चरण 2.6.2

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$3 x^{2} + 4 y y' - 3 y^{2} y'$

चरण 3

$\frac{d}{d x} [y]$ को $y'$ के रूप में फिर से लिखें.

$y'$

चरण 4

बाईं ओर को दाईं ओर के बराबर सेट करके समीकरण को सुधारें.

$3 x^{2} + 4 y y' - 3 y^{2} y' = y'$

चरण 5

$y'$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1

समीकरण के दोनों पक्षों से $y'$ घटाएं.

$3 x^{2} + 4 y y' - 3 y^{2} y' - y' = 0$

चरण 5.2

समीकरण के दोनों पक्षों से $3 x^{2}$ घटाएं.

$4 y y' - 3 y^{2} y' - y' = - 3 x^{2}$

चरण 5.3

$4 y y' - 3 y^{2} y' - y'$ में से $y'$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.3.1

$4 y y'$ में से $y'$ का गुणनखंड करें.

$y' (4 y) - 3 y^{2} y' - y' = - 3 x^{2}$

चरण 5.3.2

$- 3 y^{2} y'$ में से $y'$ का गुणनखंड करें.

$y' (4 y) + y' (- 3 y^{2}) - y' = - 3 x^{2}$

चरण 5.3.3

$- y'$ में से $y'$ का गुणनखंड करें.

$y' (4 y) + y' (- 3 y^{2}) + y' \cdot - 1 = - 3 x^{2}$

चरण 5.3.4

$y' (4 y) + y' (- 3 y^{2})$ में से $y'$ का गुणनखंड करें.

$y' (4 y - 3 y^{2}) + y' \cdot - 1 = - 3 x^{2}$

चरण 5.3.5

$y' (4 y - 3 y^{2}) + y' \cdot - 1$ में से $y'$ का गुणनखंड करें.

$y' (4 y - 3 y^{2} - 1) = - 3 x^{2}$

चरण 5.4

मान लीजिए $u = y$ . $y$ की सभी घटनाओं के लिए $u$ को प्रतिस्थापित करें.

$y' (4 u - 3 u^{2} - 1) = - 3 x^{2}$

चरण 5.5

वर्गीकरण द्वारा गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.5.1

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$y' (- 3 u^{2} + 4 u - 1) = - 3 x^{2}$

चरण 5.5.2

फॉर्म $a x^{2} + b x + c$ के बहुपद के लिए, मध्य पद को दो पदों के योग के रूप में फिर से लिखें, जिसका गुणनफल $a \cdot c = - 3 \cdot - 1 = 3$ है और जिसका योग $b = 4$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.5.2.1

$4 u$ में से $4$ का गुणनखंड करें.

$y' (- 3 u^{2} + 4 (u) - 1) = - 3 x^{2}$

चरण 5.5.2.2

$4$ को $1$ जोड़ $3$ के रूप में फिर से लिखें

$y' (- 3 u^{2} + (1 + 3) u - 1) = - 3 x^{2}$

चरण 5.5.2.3

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$y' (- 3 u^{2} + 1 u + 3 u - 1) = - 3 x^{2}$

चरण 5.5.2.4

$u$ को $1$ से गुणा करें.

$y' (- 3 u^{2} + u + 3 u - 1) = - 3 x^{2}$

चरण 5.5.3

प्रत्येक समूह के महत्तम समापवर्तक का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.5.3.1

पहले दो पदों और अंतिम दो पदों को समूहित करें.

$y' ((- 3 u^{2} + u) + 3 u - 1) = - 3 x^{2}$

चरण 5.5.3.2

प्रत्येक समूह के महत्तम समापवर्तक (GCF) का गुणनखंड करें.

$y' (u (- 3 u + 1) - (- 3 u + 1)) = - 3 x^{2}$

चरण 5.5.4

महत्तम समापवर्तक, $- 3 u + 1$ का गुणनखंड करके बहुपद का गुणनखंड करें.

$y' ((- 3 u + 1) (u - 1)) = - 3 x^{2}$

चरण 5.6

गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.6.1

$u$ की सभी घटनाओं को $y$ से बदलें.

$y' ((- 3 y + 1) (y - 1)) = - 3 x^{2}$

चरण 5.6.2

अनावश्यक कोष्ठक हटा दें.

$y' (- 3 y + 1) (y - 1) = - 3 x^{2}$

चरण 5.7

$y' (- 3 y + 1) (y - 1) = - 3 x^{2}$ के प्रत्येक पद को $(- 3 y + 1) (y - 1)$ से भाग दें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.7.1

$y' (- 3 y + 1) (y - 1) = - 3 x^{2}$ के प्रत्येक पद को $(- 3 y + 1) (y - 1)$ से विभाजित करें.

$\frac{y' (- 3 y + 1) (y - 1)}{(- 3 y + 1) (y - 1)} = \frac{- 3 x^{2}}{(- 3 y + 1) (y - 1)}$

चरण 5.7.2

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.7.2.1

$- 3 y + 1$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.7.2.1.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{y' (- 3 y + 1) (y - 1)}{(- 3 y + 1) (y - 1)} = \frac{- 3 x^{2}}{(- 3 y + 1) (y - 1)}$

चरण 5.7.2.1.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{y' (y - 1)}{y - 1} = \frac{- 3 x^{2}}{(- 3 y + 1) (y - 1)}$

चरण 5.7.2.2

$y - 1$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.7.2.2.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{y' (y - 1)}{y - 1} = \frac{- 3 x^{2}}{(- 3 y + 1) (y - 1)}$

चरण 5.7.2.2.2

$y'$ को $1$ से विभाजित करें.

$y' = \frac{- 3 x^{2}}{(- 3 y + 1) (y - 1)}$

चरण 5.7.3

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.7.3.1

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$y' = - \frac{3 x^{2}}{(- 3 y + 1) (y - 1)}$

चरण 5.7.3.2

$- 3 y$ में से $- 1$ का गुणनखंड करें.

$y' = - \frac{3 x^{2}}{(- (3 y) + 1) (y - 1)}$

चरण 5.7.3.3

$1$ को $- 1 (- 1)$ के रूप में फिर से लिखें.

$y' = - \frac{3 x^{2}}{(- (3 y) - 1 (- 1)) (y - 1)}$

चरण 5.7.3.4

$- (3 y) - 1 (- 1)$ में से $- 1$ का गुणनखंड करें.

$y' = - \frac{3 x^{2}}{- (3 y - 1) (y - 1)}$

चरण 5.7.3.5

व्यंजक को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.7.3.5.1

$- (3 y - 1)$ को $- 1 (3 y - 1)$ के रूप में फिर से लिखें.

$y' = - \frac{3 x^{2}}{- 1 (3 y - 1) (y - 1)}$

चरण 5.7.3.5.2

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$y' = - - \frac{3 x^{2}}{(3 y - 1) (y - 1)}$

चरण 5.7.3.5.3

$- 1$ को $- 1$ से गुणा करें.

$y' = 1 \frac{3 x^{2}}{(3 y - 1) (y - 1)}$

चरण 5.7.3.5.4

$\frac{3 x^{2}}{(3 y - 1) (y - 1)}$ को $1$ से गुणा करें.

$y' = \frac{3 x^{2}}{(3 y - 1) (y - 1)}$

चरण 6

$y'$ को $\frac{d y}{d x}$ से बदलें.

$\frac{d y}{d x} = \frac{3 x^{2}}{(3 y - 1) (y - 1)}$