कैलकुलस उदाहरण

$\int_{2}^{\infty} \frac{5}{(x + 2) \ln^{2} (x + 2)} d x$

चरण 1

$t$ $\infty$ की ओर एप्रोच करता है, समाकलन को एक लिमिट के रूप में लिखें.

$lim_{t \to \infty} \int_{2}^{t} \frac{5}{(x + 2) \ln^{2} (x + 2)} d x$

चरण 2

चूँकि $5$ बटे $x$ अचर है, $5$ को समाकलन से हटा दें.

$lim_{t \to \infty} 5 \int_{2}^{t} \frac{1}{(x + 2) \ln^{2} (x + 2)} d x$

चरण 3

मान लीजिए $u_{1} = x + 2$ . फिर $d u_{1} = d x$ . $u_{1}$ और $d$ $u_{1}$ का उपयोग करके फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

मान लें $u_{1} = x + 2$ . $\frac{d u_{1}}{d x}$ ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1.1

$x + 2$ को अवकलित करें.

$\frac{d}{d x} [x + 2]$

चरण 3.1.2

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x + 2$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$ है.

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$

चरण 3.1.3

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$1 + \frac{d}{d x} [2]$

चरण 3.1.4

चूंकि $x$ के संबंध में $2$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $2$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$1 + 0$

चरण 3.1.5

$1$ और $0$ जोड़ें.

$1$

चरण 3.2

$x$ के लिए $u_{1} = x + 2$ में निचली सीमा को प्रतिस्थापित करें.

$u_{lower} = 2 + 2$

चरण 3.3

$2$ और $2$ जोड़ें.

$u_{lower} = 4$

चरण 3.4

$x$ के लिए $u_{1} = x + 2$ में ऊपरी सीमा को प्रतिस्थापित करें.

$u_{upper} = t + 2$

चरण 3.5

$u_{lower}$ और $u_{upper}$ के लिए पाए गए मानों का उपयोग निश्चित समाकल का मूल्यांकन करने के लिए किया जाएगा.

$u_{lower} = 4$

$u_{upper} = t + 2$

चरण 3.6

$u_{1}$ , $d u_{1}$ और समाकलन की नई सीमाओं का उपयोग करके समस्या को फिर से लिखें.

$lim_{t \to \infty} 5 \int_{4}^{t + 2} \frac{1}{u_{1} \ln^{2} (u_{1})} d u_{1}$

चरण 4

मान लीजिए $u_{2} = \ln (u_{1})$ .फिर $d u_{2} = \frac{1}{u_{1}} d u_{1}$ , तो $u_{1} d u_{2} = d u_{1}$ . $u_{2}$ और $d$ $u_{2}$ का उपयोग करके फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1

मान लें $u_{2} = \ln (u_{1})$ . $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1.1

$\ln (u_{1})$ को अवकलित करें.

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})]$

चरण 4.1.2

$u_{1}$ के संबंध में $\ln (u_{1})$ का व्युत्पन्न $\frac{1}{u_{1}}$ है.

$\frac{1}{u_{1}}$

चरण 4.2

$u_{1}$ के लिए $u_{2} = \ln (u_{1})$ में निचली सीमा को प्रतिस्थापित करें.

$u_{lower} = \ln (4)$

चरण 4.3

$u_{1}$ के लिए $u_{2} = \ln (u_{1})$ में ऊपरी सीमा को प्रतिस्थापित करें.

$u_{upper} = \ln (t + 2)$

चरण 4.4

$u_{lower} = \ln (4)$

$u_{upper} = \ln (t + 2)$

चरण 4.5

$u_{2}$ , $d u_{2}$ और समाकलन की नई सीमाओं का उपयोग करके समस्या को फिर से लिखें.

$lim_{t \to \infty} 5 \int_{\ln (4)}^{\ln (t + 2)} \frac{1}{{u_{2}}^{2}} d u_{2}$

चरण 5

घातांक के बुनियादी नियम लागू करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1

${u_{2}}^{2}$ को भाजक में से $- 1$ पावर तक बढ़ा कर हटा दें.

$lim_{t \to \infty} 5 \int_{\ln (4)}^{\ln (t + 2)} {({u_{2}}^{2})}^{- 1} d u_{2}$

चरण 5.2

घातांक को ${({u_{2}}^{2})}^{- 1}$ में गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.1

घात नियम लागू करें और घातांक गुणा करें, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$lim_{t \to \infty} 5 \int_{\ln (4)}^{\ln (t + 2)} {u_{2}}^{2 \cdot - 1} d u_{2}$

चरण 5.2.2

$2$ को $- 1$ से गुणा करें.

$lim_{t \to \infty} 5 \int_{\ln (4)}^{\ln (t + 2)} {u_{2}}^{- 2} d u_{2}$

चरण 6

घात नियम के अनुसार, $u_{2}$ के संबंध में ${u_{2}}^{- 2}$ का समाकलन $- {u_{2}}^{- 1}$ है.

$lim_{t \to \infty} 5 (- {u_{2}}^{- 1}]_{\ln (4)}^{\ln (t + 2)})$

चरण 7

$\ln (t + 2)$ पर और $\ln (4)$ पर $- {u_{2}}^{- 1}$ का मान ज्ञात करें.

$lim_{t \to \infty} 5 (- \ln^{- 1} (t + 2) + \ln^{- 1} (4))$

चरण 8

सीमा का मूल्यांकन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.1

$5$ पद को सीमा से बाभाजक ले जाएं क्योंकि यह $t$ के संबंध में स्थिर है.

$5 lim_{t \to \infty} - \ln^{- 1} (t + 2) + \ln^{- 1} (4)$

चरण 8.2

जैसे-जैसे $t$ $\infty$ के करीब पहुंचता है, सीमा पर योग नियम का उपयोग करके सीमा को विभाजित करें.

$5 (- lim_{t \to \infty} \ln^{- 1} (t + 2) + lim_{t \to \infty} \ln^{- 1} (4))$

चरण 8.3

ऋणात्मक घातांक नियम $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ का प्रयोग करके व्यंजक को फिर से लिखें.

$5 (- lim_{t \to \infty} \frac{1}{\ln (t + 2)} + lim_{t \to \infty} \ln^{- 1} (4))$

चरण 8.4

चूँकि इसका न्यूमेरेटर एक वास्तविक संख्या तक पहुँचता है, जबकि इसका भाजक असीम होता है, इसलिए भिन्न $\frac{1}{\ln (t + 2)}$ $0$ के करीब पहुंच जाता है.

$5 (- 0 + lim_{t \to \infty} \ln^{- 1} (4))$

चरण 8.5

सीमा का मूल्यांकन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.5.1

$\ln^{- 1} (4)$ की सीमा का मान ज्ञात करें जो $t$ के $\infty$ पर पहुँचने पर स्थिर होती है.

$5 (0 + \ln^{- 1} (4))$

चरण 8.5.2

उत्तर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.5.2.1

ऋणात्मक घातांक नियम $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ का प्रयोग करके व्यंजक को फिर से लिखें.

$5 (0 + \frac{1}{\ln (4)})$

चरण 8.5.2.2

$0$ और $\frac{1}{\ln (4)}$ जोड़ें.

$5 \frac{1}{\ln (4)}$

चरण 8.5.2.3

$5$ और $\frac{1}{\ln (4)}$ को मिलाएं.

$\frac{5}{\ln (4)}$

चरण 9

परिणाम कई रूपों में दिखाया जा सकता है.

सटीक रूप:

$\frac{5}{\ln (4)}$

दशमलव रूप:

$3.60673760 \dots$