कैलकुलस उदाहरण

$\frac{x^{3}}{x - 1}$

चरण 1

$\frac{x^{3}}{x - 1}$ को एक फलन के रूप में लिखें.

$f (x) = \frac{x^{3}}{x - 1}$

चरण 2

फलन $F (x)$ को व्युत्पन्न $f (x)$ का अनिश्चित समाकलन ज्ञात करके पता किया जा सकता है.

$F (x) = \int f (x) d x$

चरण 3

हल करने के लिए समाकलन सेट करें.

$F (x) = \int \frac{x^{3}}{x - 1} d x$

चरण 4

$x^{3}$ को $x - 1$ से विभाजित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1

बहुपदों को विभाजित करने के लिए सेट करें. यदि प्रत्येक घातांक के लिए कोई पद नहीं है, तो $0$ के मान वाला एक शब्द डालें.

$x$

$1$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

चरण 4.2

भाज्य $x^{3}$ के उच्च क्रम के पद को विभाजक $x$ के उच्च क्रम वाले पद से विभाजित करें.

					$x^{2}$
	$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$

चरण 4.3

भाजक से नए भागफल पद को गुणा करें.

				$x^{2}$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
			+	$x^{3}$	-	$x^{2}$

चरण 4.4

व्यंजक को भाज्य से घटाने की आवश्यकता है, इसलिए $x^{3} - x^{2}$ में सभी चिह्नों को प्रतिस्थापित करें

				$x^{2}$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$

चरण 4.5

संकेतों को बदलने के बाद, नया लाभांश खोजने के लिए गुणा बहुपद से अंतिम लाभांश जोड़ें.

				$x^{2}$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$

चरण 4.6

अगली पदों को मूल लाभांश से नीचे वर्तमान लाभांश में खींचें.

				$x^{2}$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$	+	$0 x$

चरण 4.7

भाज्य $x^{2}$ के उच्च क्रम के पद को विभाजक $x$ के उच्च क्रम वाले पद से विभाजित करें.

				$x^{2}$	+	$x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$	+	$0 x$

चरण 4.8

भाजक से नए भागफल पद को गुणा करें.

				$x^{2}$	+	$x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$	+	$0 x$
					+	$x^{2}$	-	$x$

चरण 4.9

व्यंजक को भाज्य से घटाने की आवश्यकता है, इसलिए $x^{2} - x$ में सभी चिह्नों को प्रतिस्थापित करें

				$x^{2}$	+	$x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$	+	$0 x$
					-	$x^{2}$	+	$x$

चरण 4.10

				$x^{2}$	+	$x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$	+	$0 x$
					-	$x^{2}$	+	$x$
							+	$x$

चरण 4.11

अगली पदों को मूल लाभांश से नीचे वर्तमान लाभांश में खींचें.

				$x^{2}$	+	$x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$	+	$0 x$
					-	$x^{2}$	+	$x$
							+	$x$	+	$0$

चरण 4.12

भाज्य $x$ के उच्च क्रम के पद को विभाजक $x$ के उच्च क्रम वाले पद से विभाजित करें.

				$x^{2}$	+	$x$	+	$1$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$	+	$0 x$
					-	$x^{2}$	+	$x$
							+	$x$	+	$0$

चरण 4.13

भाजक से नए भागफल पद को गुणा करें.

				$x^{2}$	+	$x$	+	$1$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$	+	$0 x$
					-	$x^{2}$	+	$x$
							+	$x$	+	$0$
							+	$x$	-	$1$

चरण 4.14

व्यंजक को भाज्य से घटाने की आवश्यकता है, इसलिए $x - 1$ में सभी चिह्नों को प्रतिस्थापित करें

				$x^{2}$	+	$x$	+	$1$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$	+	$0 x$
					-	$x^{2}$	+	$x$
							+	$x$	+	$0$
							-	$x$	+	$1$

चरण 4.15

				$x^{2}$	+	$x$	+	$1$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$	+	$0 x$
					-	$x^{2}$	+	$x$
							+	$x$	+	$0$
							-	$x$	+	$1$
									+	$1$

चरण 4.16

अंतिम उत्तर भागफल और भाजक पर शेषफल है.

$\int x^{2} + x + 1 + \frac{1}{x - 1} d x$

चरण 5

एकल समाकलन को कई समाकलन में विभाजित करें.

$\int x^{2} d x + \int x d x + \int d x + \int \frac{1}{x - 1} d x$

चरण 6

घात नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x^{2}$ का समाकलन $\frac{1}{3} x^{3}$ है.

$\frac{1}{3} x^{3} + C + \int x d x + \int d x + \int \frac{1}{x - 1} d x$

चरण 7

घात नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x$ का समाकलन $\frac{1}{2} x^{2}$ है.

$\frac{1}{3} x^{3} + C + \frac{1}{2} x^{2} + C + \int d x + \int \frac{1}{x - 1} d x$

चरण 8

स्थिरांक नियम लागू करें.

$\frac{1}{3} x^{3} + C + \frac{1}{2} x^{2} + C + x + C + \int \frac{1}{x - 1} d x$

चरण 9

मान लीजिए $u = x - 1$ . फिर $d u = d x$ . $u$ और $d$ $u$ का उपयोग करके फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.1

मान लें $u = x - 1$ . $\frac{d u}{d x}$ ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.1.1

$x - 1$ को अवकलित करें.

$\frac{d}{d x} [x - 1]$

चरण 9.1.2

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x - 1$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ है.

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

चरण 9.1.3

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$1 + \frac{d}{d x} [- 1]$

चरण 9.1.4

चूंकि $x$ के संबंध में $- 1$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $- 1$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$1 + 0$

चरण 9.1.5

$1$ और $0$ जोड़ें.

$1$

चरण 9.2

$u$ और $d u$ का उपयोग करके समस्या को फिर से लिखें.

$\frac{1}{3} x^{3} + C + \frac{1}{2} x^{2} + C + x + C + \int \frac{1}{u} d u$

चरण 10

$u$ के संबंध में $\frac{1}{u}$ का इंटीग्रल $\ln (| u |)$ है.

$\frac{1}{3} x^{3} + C + \frac{1}{2} x^{2} + C + x + C + \ln (| u |) + C$

चरण 11

सरल करें.

$\frac{1}{3} x^{3} + \frac{1}{2} x^{2} + x + \ln (| u |) + C$

चरण 12

$u$ की सभी घटनाओं को $x - 1$ से बदलें.

$\frac{1}{3} x^{3} + \frac{1}{2} x^{2} + x + \ln (| x - 1 |) + C$

चरण 13

उत्तर फलन $f (x) = \frac{x^{3}}{x - 1}$ का व्युत्पन्न है.

$F (x) =$ $\frac{1}{3} x^{3} + \frac{1}{2} x^{2} + x + \ln (| x - 1 |) + C$