कैलकुलस उदाहरण

$f (x) = x^{3} + a x$

चरण 1

पहला व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

पहला व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.1

अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.1.1

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x^{3} + a x$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [a x]$ है.

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [a x]$

चरण 1.1.1.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 3$ है.

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [a x]$

चरण 1.1.2

$\frac{d}{d x} [a x]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.2.1

चूंकि $a$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $a x$ का व्युत्पन्न $a \frac{d}{d x} [x]$ है.

$3 x^{2} + a \frac{d}{d x} [x]$

चरण 1.1.2.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$3 x^{2} + a \cdot 1$

चरण 1.1.2.3

$a$ को $1$ से गुणा करें.

$f' (x) = 3 x^{2} + a$

चरण 1.2

$f (x)$ का पहला व्युत्पन्न बटे $x$ , $3 x^{2} + a$ है.

$3 x^{2} + a$

चरण 2

पहले व्युत्पन्न को $0$ के बराबर सेट करें, फिर समीकरण $3 x^{2} + a = 0$ को हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

पहले व्युत्पन्न को $0$ के बराबर सेट करें.

$3 x^{2} + a = 0$

चरण 2.2

समीकरण के दोनों पक्षों से $a$ घटाएं.

$3 x^{2} = - a$

चरण 2.3

$3 x^{2} = - a$ के प्रत्येक पद को $3$ से भाग दें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.1

$3 x^{2} = - a$ के प्रत्येक पद को $3$ से विभाजित करें.

$\frac{3 x^{2}}{3} = \frac{- a}{3}$

चरण 2.3.2

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.2.1

$3$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.2.1.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{3 x^{2}}{3} = \frac{- a}{3}$

चरण 2.3.2.1.2

$x^{2}$ को $1$ से विभाजित करें.

$x^{2} = \frac{- a}{3}$

चरण 2.3.3

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.3.1

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$x^{2} = - \frac{a}{3}$

चरण 2.4

बाईं ओर के घातांक को समाप्त करने के लिए समीकरण के दोनों पक्षों का निर्दिष्ट मूल लें I

$x = \pm \sqrt{- \frac{a}{3}}$

चरण 2.5

पूर्ण हल के धनात्मक और ऋणात्मक दोनों भागों का परिणाम है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.5.1

सबसे पहले, पहला समाधान पता करने के लिए $\pm$ के धनात्मक मान का उपयोग करें.

$x = \sqrt{- \frac{a}{3}}$

चरण 2.5.2

इसके बाद, दूसरा हल ज्ञात करने के लिए $\pm$ के ऋणात्मक मान का उपयोग करें.

$x = - \sqrt{- \frac{a}{3}}$

चरण 2.5.3

पूर्ण हल के धनात्मक और ऋणात्मक दोनों भागों का परिणाम है.

$x = \sqrt{- \frac{a}{3}}$

$x = - \sqrt{- \frac{a}{3}}$

$x = \sqrt{- \frac{a}{3}}$

$x = - \sqrt{- \frac{a}{3}}$

$x = \sqrt{- \frac{a}{3}}$

$x = - \sqrt{- \frac{a}{3}}$

चरण 3

वे मान ज्ञात करें जहाँ व्युत्पन्न अपरिभाषित है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

व्यंजक का डोमेन सभी वास्तविक संख्याएँ हैं सिवाय जहाँ व्यंजक अपरिभाषित है. इस स्थिति में, कोई वास्तविक संख्या नहीं है जो व्यंजक को अपरिभाषित बनाती है.

चरण 4

प्रत्येक $x$ मान पर $x^{3} + a x$ का मूल्यांकन करें जहां व्युत्पन्न $0$ या अपरिभाषित है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1

$x = \sqrt{- \frac{a}{3}}$ पर मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1.1

$\sqrt{- \frac{a}{3}}$ को $x$ से प्रतिस्थापित करें.

${(\sqrt{- \frac{a}{3}})}^{3} + a (\sqrt{- \frac{a}{3}})$

चरण 4.1.2

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1.2.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1.2.1.1

${\sqrt{- \frac{a}{3}}}^{3}$ को $\sqrt{{(- \frac{a}{3})}^{3}}$ के रूप में फिर से लिखें.

$\sqrt{{(- \frac{a}{3})}^{3}} + a (\sqrt{- \frac{a}{3}})$

चरण 4.1.2.1.2

उत्पाद नियम को $- \frac{a}{3}$ पर लागू करें.

$\sqrt{{(- 1)}^{3} {(\frac{a}{3})}^{3}} + a (\sqrt{- \frac{a}{3}})$

चरण 4.1.2.1.3

$- 1$ को $3$ के घात तक बढ़ाएं.

$\sqrt{- {(\frac{a}{3})}^{3}} + a (\sqrt{- \frac{a}{3}})$

चरण 4.1.2.1.4

उत्पाद नियम को $\frac{a}{3}$ पर लागू करें.

$\sqrt{- \frac{a^{3}}{3^{3}}} + a (\sqrt{- \frac{a}{3}})$

चरण 4.1.2.1.5

$3$ को $3$ के घात तक बढ़ाएं.

$\sqrt{- \frac{a^{3}}{27}} + a (\sqrt{- \frac{a}{3}})$

चरण 4.1.2.1.6

$- \frac{a^{3}}{27}$ को ${(\frac{a}{3})}^{2} \cdot (- \frac{a}{3})$ के रूप में फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1.2.1.6.1

$a^{3}$ में से पूर्ण घात $a^{2}$ का गुणनखंड करें.

$\sqrt{- \frac{a^{2} a}{27}} + a (\sqrt{- \frac{a}{3}})$

चरण 4.1.2.1.6.2

$27$ में से पूर्ण घात $3^{2}$ का गुणनखंड करें.

$\sqrt{- \frac{a^{2} a}{3^{2} \cdot 3}} + a (\sqrt{- \frac{a}{3}})$

चरण 4.1.2.1.6.3

भिन्न को पुनर्व्यवस्थित करें $\frac{a^{2} a}{3^{2} \cdot 3}$ .

$\sqrt{- ({(\frac{a}{3})}^{2} \frac{a}{3})} + a (\sqrt{- \frac{a}{3}})$

चरण 4.1.2.1.6.4

$- 1$ और ${(\frac{a}{3})}^{2}$ को पुन: क्रमित करें.

$\sqrt{{(\frac{a}{3})}^{2} \cdot - 1 \frac{a}{3}} + a (\sqrt{- \frac{a}{3}})$

चरण 4.1.2.1.6.5

कोष्ठक लगाएं.

$\sqrt{{(\frac{a}{3})}^{2} \cdot (- \frac{a}{3})} + a (\sqrt{- \frac{a}{3}})$

चरण 4.1.2.1.7

करणी से पदों को बाहर निकालें.

$\frac{a}{3} \sqrt{- \frac{a}{3}} + a (\sqrt{- \frac{a}{3}})$

चरण 4.1.2.1.8

$\frac{a}{3}$ और $\sqrt{- \frac{a}{3}}$ को मिलाएं.

$\frac{a \sqrt{- \frac{a}{3}}}{3} + a (\sqrt{- \frac{a}{3}})$

चरण 4.1.2.2

$a (\sqrt{- \frac{a}{3}})$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{3}{3}$ से गुणा करें.

$\frac{a \sqrt{- \frac{a}{3}}}{3} + a (\sqrt{- \frac{a}{3}}) \cdot \frac{3}{3}$

चरण 4.1.2.3

पदों को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1.2.3.1

$a (\sqrt{- \frac{a}{3}})$ और $\frac{3}{3}$ को मिलाएं.

$\frac{a \sqrt{- \frac{a}{3}}}{3} + \frac{a (\sqrt{- \frac{a}{3}}) \cdot 3}{3}$

चरण 4.1.2.3.2

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$\frac{a \sqrt{- \frac{a}{3}} + a (\sqrt{- \frac{a}{3}}) \cdot 3}{3}$

चरण 4.1.2.4

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1.2.4.1

$3$ को $a (\sqrt{- \frac{a}{3}})$ के बाईं ओर ले जाएं.

$\frac{a \sqrt{- \frac{a}{3}} + 3 \cdot (a (\sqrt{- \frac{a}{3}}))}{3}$

चरण 4.1.2.4.2

$a \sqrt{- \frac{a}{3}}$ और $3 a \sqrt{- \frac{a}{3}}$ जोड़ें.

$\frac{4 a \sqrt{- \frac{a}{3}}}{3}$

चरण 4.2

$x = - \sqrt{- \frac{a}{3}}$ पर मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.2.1

$- \sqrt{- \frac{a}{3}}$ को $x$ से प्रतिस्थापित करें.

${(- \sqrt{- \frac{a}{3}})}^{3} + a (- \sqrt{- \frac{a}{3}})$

चरण 4.2.2

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.2.2.1

उत्पाद नियम को $- \sqrt{- \frac{a}{3}}$ पर लागू करें.

${(- 1)}^{3} {\sqrt{- \frac{a}{3}}}^{3} + a (- \sqrt{- \frac{a}{3}})$

चरण 4.2.2.2

$- 1$ को $3$ के घात तक बढ़ाएं.

$- {\sqrt{- \frac{a}{3}}}^{3} + a (- \sqrt{- \frac{a}{3}})$

चरण 4.2.2.3

${\sqrt{- \frac{a}{3}}}^{3}$ को $\sqrt{{(- \frac{a}{3})}^{3}}$ के रूप में फिर से लिखें.

$- \sqrt{{(- \frac{a}{3})}^{3}} + a (- \sqrt{- \frac{a}{3}})$

चरण 4.2.2.4

उत्पाद नियम को $- \frac{a}{3}$ पर लागू करें.

$- \sqrt{{(- 1)}^{3} {(\frac{a}{3})}^{3}} + a (- \sqrt{- \frac{a}{3}})$

चरण 4.2.2.5

$- 1$ को $3$ के घात तक बढ़ाएं.

$- \sqrt{- {(\frac{a}{3})}^{3}} + a (- \sqrt{- \frac{a}{3}})$

चरण 4.2.2.6

उत्पाद नियम को $\frac{a}{3}$ पर लागू करें.

$- \sqrt{- \frac{a^{3}}{3^{3}}} + a (- \sqrt{- \frac{a}{3}})$

चरण 4.2.2.7

$3$ को $3$ के घात तक बढ़ाएं.

$- \sqrt{- \frac{a^{3}}{27}} + a (- \sqrt{- \frac{a}{3}})$

चरण 4.2.2.8

$- \frac{a^{3}}{27}$ को ${(\frac{a}{3})}^{2} \cdot (- \frac{a}{3})$ के रूप में फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.2.2.8.1

$a^{3}$ में से पूर्ण घात $a^{2}$ का गुणनखंड करें.

$- \sqrt{- \frac{a^{2} a}{27}} + a (- \sqrt{- \frac{a}{3}})$

चरण 4.2.2.8.2

$27$ में से पूर्ण घात $3^{2}$ का गुणनखंड करें.

$- \sqrt{- \frac{a^{2} a}{3^{2} \cdot 3}} + a (- \sqrt{- \frac{a}{3}})$

चरण 4.2.2.8.3

भिन्न को पुनर्व्यवस्थित करें $\frac{a^{2} a}{3^{2} \cdot 3}$ .

$- \sqrt{- ({(\frac{a}{3})}^{2} \frac{a}{3})} + a (- \sqrt{- \frac{a}{3}})$

चरण 4.2.2.8.4

$- 1$ और ${(\frac{a}{3})}^{2}$ को पुन: क्रमित करें.

$- \sqrt{{(\frac{a}{3})}^{2} \cdot - 1 \frac{a}{3}} + a (- \sqrt{- \frac{a}{3}})$

चरण 4.2.2.8.5

कोष्ठक लगाएं.

$- \sqrt{{(\frac{a}{3})}^{2} \cdot (- \frac{a}{3})} + a (- \sqrt{- \frac{a}{3}})$

चरण 4.2.2.9

करणी से पदों को बाहर निकालें.

$- (\frac{a}{3} \sqrt{- \frac{a}{3}}) + a (- \sqrt{- \frac{a}{3}})$

चरण 4.2.2.10

$\frac{a}{3}$ और $\sqrt{- \frac{a}{3}}$ को मिलाएं.

$- \frac{a \sqrt{- \frac{a}{3}}}{3} + a (- \sqrt{- \frac{a}{3}})$

चरण 4.2.2.11

गुणन के क्रमविनिमेय गुण का उपयोग करके फिर से लिखें.

$- \frac{a \sqrt{- \frac{a}{3}}}{3} - a \sqrt{- \frac{a}{3}}$

चरण 4.3

सभी बिंदुओं को सूचीबद्ध करें.

$(\sqrt{- \frac{a}{3}}, \frac{4 a \sqrt{- \frac{a}{3}}}{3}), (- \sqrt{- \frac{a}{3}}, - \frac{a \sqrt{- \frac{a}{3}}}{3} - a \sqrt{- \frac{a}{3}})$

चरण 5