कैलकुलस उदाहरण

$x^{4} - 8 x^{3} + 18 x^{2}$

चरण 1

$x^{4} - 8 x^{3} + 18 x^{2}$ को एक फलन के रूप में लिखें.

$f (x) = x^{4} - 8 x^{3} + 18 x^{2}$

चरण 2

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

दूसरा व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.1

पहला व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.1.1

अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.1.1.1

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x^{4} - 8 x^{3} + 18 x^{2}$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 8 x^{3}] + \frac{d}{d x} [18 x^{2}]$ है.

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 8 x^{3}) + \frac{d}{d x} (18 x^{2})$

चरण 2.1.1.1.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 4$ है.

$f' (x) = 4 x^{3} + \frac{d}{d x} (- 8 x^{3}) + \frac{d}{d x} (18 x^{2})$

चरण 2.1.1.2

$\frac{d}{d x} [- 8 x^{3}]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.1.2.1

चूंकि $- 8$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $- 8 x^{3}$ का व्युत्पन्न $- 8 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ है.

$f' (x) = 4 x^{3} - 8 \frac{d}{d x} x^{3} + \frac{d}{d x} (18 x^{2})$

चरण 2.1.1.2.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 3$ है.

$f' (x) = 4 x^{3} - 8 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (18 x^{2})$

चरण 2.1.1.2.3

$3$ को $- 8$ से गुणा करें.

$f' (x) = 4 x^{3} - 24 x^{2} + \frac{d}{d x} (18 x^{2})$

चरण 2.1.1.3

$\frac{d}{d x} [18 x^{2}]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.1.3.1

चूंकि $18$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $18 x^{2}$ का व्युत्पन्न $18 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ है.

$f' (x) = 4 x^{3} - 24 x^{2} + 18 \frac{d}{d x} (x^{2})$

चरण 2.1.1.3.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 2$ है.

$f' (x) = 4 x^{3} - 24 x^{2} + 18 (2 x)$

चरण 2.1.1.3.3

$2$ को $18$ से गुणा करें.

$f' (x) = 4 x^{3} - 24 x^{2} + 36 x$

चरण 2.1.2

दूसरा व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.2.1

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $4 x^{3} - 24 x^{2} + 36 x$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 24 x^{2}] + \frac{d}{d x} [36 x]$ है.

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 24 x^{2}) + \frac{d}{d x} (36 x)$

चरण 2.1.2.2

$\frac{d}{d x} [4 x^{3}]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.2.2.1

चूंकि $4$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $4 x^{3}$ का व्युत्पन्न $4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ है.

$f'' (x) = 4 \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 24 x^{2}) + \frac{d}{d x} (36 x)$

चरण 2.1.2.2.2

$f'' (x) = 4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 24 x^{2}) + \frac{d}{d x} (36 x)$

चरण 2.1.2.2.3

$3$ को $4$ से गुणा करें.

$f'' (x) = 12 x^{2} + \frac{d}{d x} (- 24 x^{2}) + \frac{d}{d x} (36 x)$

चरण 2.1.2.3

$\frac{d}{d x} [- 24 x^{2}]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.2.3.1

चूंकि $- 24$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $- 24 x^{2}$ का व्युत्पन्न $- 24 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ है.

$f'' (x) = 12 x^{2} - 24 \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (36 x)$

चरण 2.1.2.3.2

$f'' (x) = 12 x^{2} - 24 (2 x) + \frac{d}{d x} (36 x)$

चरण 2.1.2.3.3

$2$ को $- 24$ से गुणा करें.

$f'' (x) = 12 x^{2} - 48 x + \frac{d}{d x} (36 x)$

चरण 2.1.2.4

$\frac{d}{d x} [36 x]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.2.4.1

चूंकि $36$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $36 x$ का व्युत्पन्न $36 \frac{d}{d x} [x]$ है.

$f'' (x) = 12 x^{2} - 48 x + 36 \frac{d}{d x} (x)$

चरण 2.1.2.4.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$f'' (x) = 12 x^{2} - 48 x + 36 \cdot 1$

चरण 2.1.2.4.3

$36$ को $1$ से गुणा करें.

$f'' (x) = 12 x^{2} - 48 x + 36$

चरण 2.1.3

$f (x)$ का दूसरा व्युत्पन्न बटे $x$ , $12 x^{2} - 48 x + 36$ है.

$12 x^{2} - 48 x + 36$

चरण 2.2

दूसरे व्युत्पन्न को $0$ के बराबर सेट करें, फिर समीकरण $12 x^{2} - 48 x + 36 = 0$ को हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.1

दूसरे व्युत्पन्न को $0$ के बराबर सेट करें.

$12 x^{2} - 48 x + 36 = 0$

चरण 2.2.2

समीकरण के बाएँ पक्ष का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.2.1

$12 x^{2} - 48 x + 36$ में से $12$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.2.1.1

$12 x^{2}$ में से $12$ का गुणनखंड करें.

$12 (x^{2}) - 48 x + 36 = 0$

चरण 2.2.2.1.2

$- 48 x$ में से $12$ का गुणनखंड करें.

$12 (x^{2}) + 12 (- 4 x) + 36 = 0$

चरण 2.2.2.1.3

$36$ में से $12$ का गुणनखंड करें.

$12 x^{2} + 12 (- 4 x) + 12 \cdot 3 = 0$

चरण 2.2.2.1.4

$12 x^{2} + 12 (- 4 x)$ में से $12$ का गुणनखंड करें.

$12 (x^{2} - 4 x) + 12 \cdot 3 = 0$

चरण 2.2.2.1.5

$12 (x^{2} - 4 x) + 12 \cdot 3$ में से $12$ का गुणनखंड करें.

$12 (x^{2} - 4 x + 3) = 0$

चरण 2.2.2.2

गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.2.2.1

AC विधि का उपयोग करके $x^{2} - 4 x + 3$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.2.2.1.1

$x^{2} + b x + c$ के स्वरूप पर विचार करें. पूर्णांकों का एक ऐसा युग्म ज्ञात कीजिए जिसका गुणनफल $c$ है और जिसका योग $b$ है और इस स्थिति में जिसका गुणनफल $3$ है और जिसका योग $- 4$ है.

$- 3, - 1$

चरण 2.2.2.2.1.2

इन पूर्णांकों का प्रयोग करते हुए गुणनखंड लिखें.

$12 ((x - 3) (x - 1)) = 0$

चरण 2.2.2.2.2

अनावश्यक कोष्ठक हटा दें.

$12 (x - 3) (x - 1) = 0$

चरण 2.2.3

यदि समीकरण के बांये पक्ष में कोई अकेला गुणनखंड $0$ के बराबर हो, तो सम्पूर्ण व्यंजक $0$ के बराबर होगा.

$x - 3 = 0$

$x - 1 = 0$

चरण 2.2.4

$x - 3$ को $0$ के बराबर सेट करें और $x$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.4.1

$x - 3$ को $0$ के बराबर सेट करें.

$x - 3 = 0$

चरण 2.2.4.2

समीकरण के दोनों पक्षों में $3$ जोड़ें.

$x = 3$

चरण 2.2.5

$x - 1$ को $0$ के बराबर सेट करें और $x$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.5.1

$x - 1$ को $0$ के बराबर सेट करें.

$x - 1 = 0$

चरण 2.2.5.2

समीकरण के दोनों पक्षों में $1$ जोड़ें.

$x = 1$

चरण 2.2.6

अंतिम हल वो सभी मान हैं जो $12 (x - 3) (x - 1) = 0$ को सिद्ध करते हैं.

$x = 3, 1$

चरण 3

व्यंजक का डोमेन सभी वास्तविक संख्याएँ हैं सिवाय जहाँ व्यंजक अपरिभाषित है. इस स्थिति में, कोई वास्तविक संख्या नहीं है जो व्यंजक को अपरिभाषित बनाती है.

मध्यवर्ती संकेतन:

$(- \infty, \infty)$

सेट-बिल्डर संकेतन:

${x | x \in ℝ}$

चरण 4

$x$ -मानों के आसपास अंतराल करें जहां दूसरा व्युत्पन्न शून्य या अपरिभाषित हो.

$(- \infty, 1) \cup (1, 3) \cup (3, \infty)$

चरण 5

अंतराल $(- \infty, 1)$ से किसी भी संख्या को दूसरे व्युत्पन्न में प्रतिस्थापित करें और अंतराल को निर्धारित करने के लिए मूल्यांकन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1

व्यंजक में चर $x$ को $0$ से बदलें.

$f'' (0) = 12 {(0)}^{2} - 48 \cdot 0 + 36$

चरण 5.2

परिणाम को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.1.1

$0$ को किसी भी धनात्मक घात तक बढ़ाने से $0$ प्राप्त होता है.

$f'' (0) = 12 \cdot 0 - 48 \cdot 0 + 36$

चरण 5.2.1.2

$12$ को $0$ से गुणा करें.

$f'' (0) = 0 - 48 \cdot 0 + 36$

चरण 5.2.1.3

$- 48$ को $0$ से गुणा करें.

$f'' (0) = 0 + 0 + 36$

चरण 5.2.2

संख्याओं को जोड़कर सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.2.1

$0$ और $0$ जोड़ें.

$f'' (0) = 0 + 36$

चरण 5.2.2.2

$0$ और $36$ जोड़ें.

$f'' (0) = 36$

चरण 5.2.3

अंतिम उत्तर $36$ है.

$36$

चरण 5.3

अंतराल $(- \infty, 1)$ पर ग्राफ अवतल ऊपर है क्योंकि $f'' (0)$ धनात्मक है.

$(- \infty, 1)$ को अवतल ऊपर है क्योंकि $f'' (x)$ धनात्मक है

चरण 6

अंतराल $(1, 3)$ से किसी भी संख्या को दूसरे व्युत्पन्न में प्रतिस्थापित करें और अंतराल को निर्धारित करने के लिए मूल्यांकन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1

व्यंजक में चर $x$ को $2$ से बदलें.

$f'' (2) = 12 {(2)}^{2} - 48 \cdot 2 + 36$

चरण 6.2

परिणाम को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.1.1

$2$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$f'' (2) = 12 \cdot 4 - 48 \cdot 2 + 36$

चरण 6.2.1.2

$12$ को $4$ से गुणा करें.

$f'' (2) = 48 - 48 \cdot 2 + 36$

चरण 6.2.1.3

$- 48$ को $2$ से गुणा करें.

$f'' (2) = 48 - 96 + 36$

चरण 6.2.2

जोड़कर और घटाकर सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.2.1

$48$ में से $96$ घटाएं.

$f'' (2) = - 48 + 36$

चरण 6.2.2.2

$- 48$ और $36$ जोड़ें.

$f'' (2) = - 12$

चरण 6.2.3

अंतिम उत्तर $- 12$ है.

$- 12$

चरण 6.3

अंतराल $(1, 3)$ पर ग्राफ अवतल नीचे है क्योंकि $f'' (2)$ ऋणात्मक है.

$(1, 3)$ पर अवतल नीचे है क्योंकि $f'' (x)$ ऋणात्मक है

चरण 7

अंतराल $(3, \infty)$ से किसी भी संख्या को दूसरे व्युत्पन्न में प्रतिस्थापित करें और अंतराल को निर्धारित करने के लिए मूल्यांकन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.1

व्यंजक में चर $x$ को $6$ से बदलें.

$f'' (6) = 12 {(6)}^{2} - 48 \cdot 6 + 36$

चरण 7.2

परिणाम को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.2.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.2.1.1

$6$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$f'' (6) = 12 \cdot 36 - 48 \cdot 6 + 36$

चरण 7.2.1.2

$12$ को $36$ से गुणा करें.

$f'' (6) = 432 - 48 \cdot 6 + 36$

चरण 7.2.1.3

$- 48$ को $6$ से गुणा करें.

$f'' (6) = 432 - 288 + 36$

चरण 7.2.2

जोड़कर और घटाकर सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.2.2.1

$432$ में से $288$ घटाएं.

$f'' (6) = 144 + 36$

चरण 7.2.2.2

$144$ और $36$ जोड़ें.

$f'' (6) = 180$

चरण 7.2.3

अंतिम उत्तर $180$ है.

$180$

चरण 7.3

अंतराल $(3, \infty)$ पर ग्राफ अवतल ऊपर है क्योंकि $f'' (6)$ धनात्मक है.

$(3, \infty)$ को अवतल ऊपर है क्योंकि $f'' (x)$ धनात्मक है

चरण 8

जब दूसरा व्युत्पन्न ऋणात्मक होता है तो ग्राफ अवतल नीचे होता है और दूसरा व्युत्पन्न धनात्मक होने पर अवतल ऊपर होता है.

$(- \infty, 1)$ को अवतल ऊपर है क्योंकि $f'' (x)$ धनात्मक है

$(1, 3)$ पर अवतल नीचे है क्योंकि $f'' (x)$ ऋणात्मक है

$(3, \infty)$ को अवतल ऊपर है क्योंकि $f'' (x)$ धनात्मक है

चरण 9