कैलकुलस उदाहरण

$\frac{d y}{d x} = x e^{x - y}$

चरण 1

मान लीजिए $v = e^{x - y}$ . $e^{x - y}$ की सभी घटनाओं के लिए $v$ को प्रतिस्थापित करें.

$\frac{d y}{d x} = x v$

चरण 2

$e^{x - y}$ को अलग करके $\frac{d v}{d x}$ ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = e^{x}$ और $g (x) = x - y$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u$ को $x - y$ के रूप में सेट करें.

$\frac{d v}{d x} = \frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [x - y]$

चरण 2.1.2

चरघातांकी नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ $a^{u} \ln (a)$ है, जहाँ $a$ = $e$ है.

$\frac{d v}{d x} = e^{u} \frac{d}{d x} [x - y]$

चरण 2.1.3

$u$ की सभी घटनाओं को $x - y$ से बदलें.

$\frac{d v}{d x} = e^{x - y} \frac{d}{d x} [x - y]$

चरण 2.2

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x - y$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- y]$ है.

$\frac{d v}{d x} = e^{x - y} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- y])$

चरण 2.3

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$\frac{d v}{d x} = e^{x - y} (1 + \frac{d}{d x} [- y])$

चरण 2.4

चूंकि $- 1$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $- y$ का व्युत्पन्न $- \frac{d}{d x} [y]$ है.

$\frac{d v}{d x} = e^{x - y} (1 - \frac{d}{d x} [y])$

चरण 2.5

$\frac{d}{d x} [y]$ को $y'$ के रूप में फिर से लिखें.

$\frac{d v}{d x} = e^{x - y} (1 - y')$

चरण 3

$v$ को $e^{x - y}$ से प्रतिस्थापित करें.

$\frac{d v}{d x} = v (1 - y')$

चरण 4

व्युत्पन्न को डिफरेन्शल इक्वेश़न में वापस प्रतिस्थापित करें.

$- \frac{\frac{d v}{d x}}{v} + 1 = x v$

चरण 5

भिन्नों को हटाने के लिए $- \frac{\frac{d v}{d x}}{v} + 1 = x v$ के प्रत्येक पद को $- v$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1

$- \frac{\frac{d v}{d x}}{v} + 1 = x v$ के प्रत्येक पद को $- v$ से गुणा करें.

$- \frac{\frac{d v}{d x}}{v} (- v) + 1 (- v) = x v (- v)$

चरण 5.2

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.1.1

$v$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.1.1.1

$- \frac{\frac{d v}{d x}}{v}$ में अग्रणी ऋणात्मक को न्यूमेरेटर में ले जाएं.

$\frac{- \frac{d v}{d x}}{v} (- v) + 1 (- v) = x v (- v)$

चरण 5.2.1.1.2

$- v$ में से $v$ का गुणनखंड करें.

$\frac{- \frac{d v}{d x}}{v} (v \cdot - 1) + 1 (- v) = x v (- v)$

चरण 5.2.1.1.3

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{- \frac{d v}{d x}}{v} (v \cdot - 1) + 1 (- v) = x v (- v)$

चरण 5.2.1.1.4

व्यंजक को फिर से लिखें.

$- \frac{d v}{d x} \cdot - 1 + 1 (- v) = x v (- v)$

चरण 5.2.1.2

$- 1$ को $- 1$ से गुणा करें.

$1 \frac{d v}{d x} + 1 (- v) = x v (- v)$

चरण 5.2.1.3

$\frac{d v}{d x}$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{d v}{d x} + 1 (- v) = x v (- v)$

चरण 5.2.1.4

$- v$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{d v}{d x} - v = x v (- v)$

चरण 5.3

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.3.1

गुणन के क्रमविनिमेय गुण का उपयोग करके फिर से लिखें.

$\frac{d v}{d x} - v = - x v \cdot v$

चरण 5.3.2

घातांक जोड़कर $v$ को $v$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.3.2.1

$v$ ले जाएं.

$\frac{d v}{d x} - v = - x (v \cdot v)$

चरण 5.3.2.2

$v$ को $v$ से गुणा करें.

$\frac{d v}{d x} - v = - x v^{2}$

चरण 6

डिफरेन्शल इक्वेश़न को हल करने के लिए, मान लें कि $v = y^{1 - n}$ जहां $n$ , $v^{2}$ का घातांक है.

$v = v^{- 1}$

चरण 7

$v$ के लिए समीकरण को हल करें.

$y = v^{- 1}$

चरण 8

$x$ के संबंध में $y$ का व्युत्पन्न लें.

$y' = v^{- 1}$

चरण 9

$x$ के संबंध में $v^{- 1}$ का व्युत्पन्न लें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.1

$v^{- 1}$ का व्युत्पन्न लें.

$y' = \frac{d}{d x} [v^{- 1}]$

चरण 9.2

ऋणात्मक घातांक नियम $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ का प्रयोग करके व्यंजक को फिर से लिखें.

$y' = \frac{d}{d x} [\frac{1}{v}]$

चरण 9.3

भागफल नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ है, जहाँ $f (x) = 1$ और $g (x) = v$ है.

$y' = \frac{v \frac{d}{d x} [1] - 1 \cdot 1 \frac{d}{d x} [v]}{v^{2}}$

चरण 9.4

स्थिरांक नियम का उपयोग करके अंतर करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.4.1

$- 1$ को $1$ से गुणा करें.

$y' = \frac{v \frac{d}{d x} [1] - \frac{d}{d x} [v]}{v^{2}}$

चरण 9.4.2

चूंकि $x$ के संबंध में $1$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $1$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$y' = \frac{v \cdot 0 - \frac{d}{d x} [v]}{v^{2}}$

चरण 9.4.3

व्यंजक को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.4.3.1

$v$ को $0$ से गुणा करें.

$y' = \frac{0 - \frac{d}{d x} [v]}{v^{2}}$

चरण 9.4.3.2

$0$ में से $\frac{d}{d x} [v]$ घटाएं.

$y' = \frac{- \frac{d}{d x} [v]}{v^{2}}$

चरण 9.4.3.3

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$y' = - \frac{\frac{d}{d x} [v]}{v^{2}}$

चरण 9.5

$\frac{d}{d x} [v]$ को $v'$ के रूप में फिर से लिखें.

$y' = - \frac{v'}{v^{2}}$

चरण 10

मूल समीकरण $\frac{d v}{d x} - v = - x v^{2}$ में $- \frac{v'}{v^{2}}$ को $\frac{d v}{d x}$ से और $v^{- 1}$ को $v$ से प्रतिस्थापित करें.

$- \frac{v'}{v^{2}} - v^{- 1} = - x {(v^{- 1})}^{2}$

चरण 11

प्रतिस्थापित डिफरेन्शल इक्वेश़न को हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 11.1

भिन्नों को हटाने के लिए $- \frac{\frac{d v}{d x}}{v^{2}} - v^{- 1} = - x {(v^{- 1})}^{2}$ के प्रत्येक पद को $- v^{2}$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 11.1.1

$- \frac{\frac{d v}{d x}}{v^{2}} - v^{- 1} = - x {(v^{- 1})}^{2}$ के प्रत्येक पद को $- v^{2}$ से गुणा करें.

$- \frac{\frac{d v}{d x}}{v^{2}} (- v^{2}) - v^{- 1} (- v^{2}) = - x {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

चरण 11.1.2

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 11.1.2.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 11.1.2.1.1

$v^{2}$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 11.1.2.1.1.1

$- \frac{\frac{d v}{d x}}{v^{2}}$ में अग्रणी ऋणात्मक को न्यूमेरेटर में ले जाएं.

$\frac{- \frac{d v}{d x}}{v^{2}} (- v^{2}) - v^{- 1} (- v^{2}) = - x {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

चरण 11.1.2.1.1.2

$- v^{2}$ में से $v^{2}$ का गुणनखंड करें.

$\frac{- \frac{d v}{d x}}{v^{2}} (v^{2} \cdot - 1) - v^{- 1} (- v^{2}) = - x {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

चरण 11.1.2.1.1.3

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{- \frac{d v}{d x}}{v^{2}} (v^{2} \cdot - 1) - v^{- 1} (- v^{2}) = - x {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

चरण 11.1.2.1.1.4

व्यंजक को फिर से लिखें.

$- \frac{d v}{d x} \cdot - 1 - v^{- 1} (- v^{2}) = - x {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

चरण 11.1.2.1.2

$- 1$ को $- 1$ से गुणा करें.

$1 \frac{d v}{d x} - v^{- 1} (- v^{2}) = - x {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

चरण 11.1.2.1.3

$\frac{d v}{d x}$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{d v}{d x} - v^{- 1} (- v^{2}) = - x {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

चरण 11.1.2.1.4

गुणन के क्रमविनिमेय गुण का उपयोग करके फिर से लिखें.

$\frac{d v}{d x} - 1 \cdot - 1 v^{- 1} v^{2} = - x {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

चरण 11.1.2.1.5

घातांक जोड़कर $v^{- 1}$ को $v^{2}$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 11.1.2.1.5.1

$v^{2}$ ले जाएं.

$\frac{d v}{d x} - 1 \cdot - 1 (v^{2} v^{- 1}) = - x {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

चरण 11.1.2.1.5.2

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$\frac{d v}{d x} - 1 \cdot - 1 v^{2 - 1} = - x {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

चरण 11.1.2.1.5.3

$2$ में से $1$ घटाएं.

$\frac{d v}{d x} - 1 \cdot - 1 v^{1} = - x {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

चरण 11.1.2.1.6

$- 1 \cdot - 1 v^{1}$ को सरल करें.

$\frac{d v}{d x} - 1 \cdot - 1 v = - x {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

चरण 11.1.2.1.7

$- 1$ को $- 1$ से गुणा करें.

$\frac{d v}{d x} + 1 v = - x {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

चरण 11.1.2.1.8

$v$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{d v}{d x} + v = - x {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

चरण 11.1.3

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 11.1.3.1

घातांक को ${(v^{- 1})}^{2}$ में गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 11.1.3.1.1

घात नियम लागू करें और घातांक गुणा करें, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{d v}{d x} + v = - x v^{- 1 \cdot 2} (- v^{2})$

चरण 11.1.3.1.2

$- 1$ को $2$ से गुणा करें.

$\frac{d v}{d x} + v = - x v^{- 2} (- v^{2})$

चरण 11.1.3.2

घातांक जोड़कर $v^{- 2}$ को $v^{2}$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 11.1.3.2.1

$v^{2}$ ले जाएं.

$\frac{d v}{d x} + v = - x (v^{2} v^{- 2}) \cdot - 1$

चरण 11.1.3.2.2

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$\frac{d v}{d x} + v = - x v^{2 - 2} \cdot - 1$

चरण 11.1.3.2.3

$2$ में से $2$ घटाएं.

$\frac{d v}{d x} + v = - x v^{0} \cdot - 1$

चरण 11.1.3.3

$- x v^{0} \cdot - 1$ को सरल करें.

$\frac{d v}{d x} + v = - x \cdot - 1$

चरण 11.1.3.4

$- x \cdot - 1$ गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 11.1.3.4.1

$- 1$ को $- 1$ से गुणा करें.

$\frac{d v}{d x} + v = 1 x$

चरण 11.1.3.4.2

$x$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{d v}{d x} + v = x$

चरण 11.2

समाकलित गुणनखंड को $e^{\int P (x) d x}$ सूत्र द्वारा परिभाषित किया गया है, जहां $P (x) = 1$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 11.2.1

समाकलन सेट करें.

$e^{\int d x}$

चरण 11.2.2

स्थिरांक नियम लागू करें.

$e^{x + C}$

चरण 11.2.3

समाकलन का स्थिरांक निकालें.

$e^{x}$

चरण 11.3

प्रत्येक पद को समाकलन गुणनखंड $e^{x}$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 11.3.1

प्रत्येक पद को $e^{x}$ से गुणा करें.

$e^{x} \frac{d v}{d x} + e^{x} v = e^{x} x$

चरण 11.3.2

गुणनखंडों को $e^{x} \frac{d v}{d x} + e^{x} v = e^{x} x$ में पुन: क्रमित करें.

$e^{x} \frac{d v}{d x} + v e^{x} = x e^{x}$

चरण 11.4

किसी गुणन में अंतर करने के परिणामस्वरूप बाईं ओर फिर से लिखें.

$\frac{d}{d x} [e^{x} v] = x e^{x}$

चरण 11.5

प्रत्येक पक्ष का एक समाकलन सेट करें.

$\int \frac{d}{d x} [e^{x} v] d x = \int x e^{x} d x$

चरण 11.6

बाएं पक्ष का समाकलन करें.

$e^{x} v = \int x e^{x} d x$

चरण 11.7

दाएं पक्ष का समाकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 11.7.1

$\int u d v = u v - \int v d u$ , जहां $u = x$ और $d v = e^{x}$ सूत्र का उपयोग करके भागों द्वारा एकीकृत करें.

$e^{x} v = x e^{x} - \int e^{x} d x$

चरण 11.7.2

$x$ के संबंध में $e^{x}$ का इंटीग्रल $e^{x}$ है.

$e^{x} v = x e^{x} - (e^{x} + C)$

चरण 11.7.3

सरल करें.

$e^{x} v = x e^{x} - e^{x} + C$

चरण 11.8

$e^{x} v = x e^{x} - e^{x} + C$ के प्रत्येक पद को $e^{x}$ से भाग दें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 11.8.1

$e^{x} v = x e^{x} - e^{x} + C$ के प्रत्येक पद को $e^{x}$ से विभाजित करें.

$\frac{e^{x} v}{e^{x}} = \frac{x e^{x}}{e^{x}} + \frac{- e^{x}}{e^{x}} + \frac{C}{e^{x}}$

चरण 11.8.2

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 11.8.2.1

$e^{x}$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 11.8.2.1.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{e^{x} v}{e^{x}} = \frac{x e^{x}}{e^{x}} + \frac{- e^{x}}{e^{x}} + \frac{C}{e^{x}}$

चरण 11.8.2.1.2

$v$ को $1$ से विभाजित करें.

$v = \frac{x e^{x}}{e^{x}} + \frac{- e^{x}}{e^{x}} + \frac{C}{e^{x}}$

चरण 11.8.3

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 11.8.3.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 11.8.3.1.1

$e^{x}$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 11.8.3.1.1.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$v = \frac{x e^{x}}{e^{x}} + \frac{- e^{x}}{e^{x}} + \frac{C}{e^{x}}$

चरण 11.8.3.1.1.2

$x$ को $1$ से विभाजित करें.

$v = x + \frac{- e^{x}}{e^{x}} + \frac{C}{e^{x}}$

चरण 11.8.3.1.2

$e^{x}$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 11.8.3.1.2.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$v = x + \frac{- e^{x}}{e^{x}} + \frac{C}{e^{x}}$

चरण 11.8.3.1.2.2

$- 1$ को $1$ से विभाजित करें.

$v = x - 1 + \frac{C}{e^{x}}$

चरण 12

$v^{- 1}$ को $v$ से प्रतिस्थापित करें.

$v^{- 1} = x - 1 + \frac{C}{e^{x}}$

चरण 13

$v$ की सभी घटनाओं को $e^{x - y}$ से बदलें.

${(e^{x - y})}^{- 1} = x - 1 + \frac{C}{e^{x}}$

चरण 14

$y$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 14.1

घातांक से चर को हटाने के लिए समीकरण के दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक लें.

$\ln (e^{- x + y}) = \ln (x - 1 + \frac{C}{e^{x}})$

चरण 14.2

दाएं पक्ष का विस्तार करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 14.2.1

$- x + y$ को लघुगणक के बाहर ले जाकर $\ln (e^{- x + y})$ का प्रसार करें.

$(- x + y) \ln (e) = \ln (x - 1 + \frac{C}{e^{x}})$

चरण 14.2.2

$e$ का प्राकृतिक लघुगणक $1$ है.

$(- x + y) \cdot 1 = \ln (x - 1 + \frac{C}{e^{x}})$

चरण 14.2.3

$- x + y$ को $1$ से गुणा करें.

$- x + y = \ln (x - 1 + \frac{C}{e^{x}})$

चरण 14.3

समीकरण के दोनों पक्षों में $x$ जोड़ें.

$y = \ln (x - 1 + \frac{C}{e^{x}}) + x$