कैलकुलस उदाहरण

$x (y d) x + (x^{2} + 1) d y = 0$

चरण 1

समीकरण के दोनों पक्षों से $x y d x$ घटाएं.

$(x^{2} + 1) d y = - x y d x$

चरण 2

दोनों पक्षों को $\frac{1}{(x^{2} + 1) y}$ से गुणा करें.

$\frac{1}{(x^{2} + 1) y} (x^{2} + 1) d y = \frac{1}{(x^{2} + 1) y} (- x y) d x$

चरण 3

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

$x^{2} + 1$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1.1

$(x^{2} + 1) y$ में से $x^{2} + 1$ का गुणनखंड करें.

$\frac{1}{(x^{2} + 1) (y)} (x^{2} + 1) d y = \frac{1}{(x^{2} + 1) y} (- x y) d x$

चरण 3.1.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{1}{(x^{2} + 1) y} (x^{2} + 1) d y = \frac{1}{(x^{2} + 1) y} (- x y) d x$

चरण 3.1.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{1}{y} d y = \frac{1}{(x^{2} + 1) y} (- x y) d x$

चरण 3.2

गुणन के क्रमविनिमेय गुण का उपयोग करके फिर से लिखें.

$\frac{1}{y} d y = - \frac{1}{(x^{2} + 1) y} (x y) d x$

चरण 3.3

$y$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.3.1

$- \frac{1}{(x^{2} + 1) y}$ में अग्रणी ऋणात्मक को न्यूमेरेटर में ले जाएं.

$\frac{1}{y} d y = \frac{- 1}{(x^{2} + 1) y} (x y) d x$

चरण 3.3.2

$(x^{2} + 1) y$ में से $y$ का गुणनखंड करें.

$\frac{1}{y} d y = \frac{- 1}{y (x^{2} + 1)} (x y) d x$

चरण 3.3.3

$x y$ में से $y$ का गुणनखंड करें.

$\frac{1}{y} d y = \frac{- 1}{y (x^{2} + 1)} (y x) d x$

चरण 3.3.4

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{1}{y} d y = \frac{- 1}{y (x^{2} + 1)} (y x) d x$

चरण 3.3.5

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{1}{y} d y = \frac{- 1}{x^{2} + 1} x d x$

चरण 3.4

$\frac{- 1}{x^{2} + 1}$ और $x$ को मिलाएं.

$\frac{1}{y} d y = \frac{- x}{x^{2} + 1} d x$

चरण 3.5

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$\frac{1}{y} d y = - \frac{x}{x^{2} + 1} d x$

चरण 4

दोनों पक्षों को समाकलित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1

प्रत्येक पक्ष का एक समाकलन सेट करें.

$\int \frac{1}{y} d y = \int - \frac{x}{x^{2} + 1} d x$

चरण 4.2

$y$ के संबंध में $\frac{1}{y}$ का इंटीग्रल $\ln (| y |)$ है.

$\ln (| y |) + C_{1} = \int - \frac{x}{x^{2} + 1} d x$

चरण 4.3

दाएं पक्ष का समाकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.3.1

चूँकि $- 1$ बटे $x$ अचर है, $- 1$ को समाकलन से हटा दें.

$\ln (| y |) + C_{1} = - \int \frac{x}{x^{2} + 1} d x$

चरण 4.3.2

मान लीजिए $u = x^{2} + 1$ .फिर $d u = 2 x d x$ , तो $\frac{1}{2} d u = x d x$ . $u$ और $d$ $u$ का उपयोग करके फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.3.2.1

मान लें $u = x^{2} + 1$ . $\frac{d u}{d x}$ ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.3.2.1.1

$x^{2} + 1$ को अवकलित करें.

$\frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

चरण 4.3.2.1.2

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x^{2} + 1$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ है.

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

चरण 4.3.2.1.3

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 2$ है.

$2 x + \frac{d}{d x} [1]$

चरण 4.3.2.1.4

चूंकि $x$ के संबंध में $1$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $1$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$2 x + 0$

चरण 4.3.2.1.5

$2 x$ और $0$ जोड़ें.

$2 x$

चरण 4.3.2.2

$u$ और $d u$ का उपयोग करके समस्या को फिर से लिखें.

$\ln (| y |) + C_{1} = - \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u$

चरण 4.3.3

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.3.3.1

$\frac{1}{u}$ को $\frac{1}{2}$ से गुणा करें.

$\ln (| y |) + C_{1} = - \int \frac{1}{u \cdot 2} d u$

चरण 4.3.3.2

$2$ को $u$ के बाईं ओर ले जाएं.

$\ln (| y |) + C_{1} = - \int \frac{1}{2 u} d u$

चरण 4.3.4

चूँकि $\frac{1}{2}$ बटे $u$ अचर है, $\frac{1}{2}$ को समाकलन से हटा दें.

$\ln (| y |) + C_{1} = - (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u)$

चरण 4.3.5

$u$ के संबंध में $\frac{1}{u}$ का इंटीग्रल $\ln (| u |)$ है.

$\ln (| y |) + C_{1} = - \frac{1}{2} (\ln (| u |) + C_{2})$

चरण 4.3.6

सरल करें.

$\ln (| y |) + C_{1} = - \frac{1}{2} \ln (| u |) + C_{2}$

चरण 4.3.7

$u$ की सभी घटनाओं को $x^{2} + 1$ से बदलें.

$\ln (| y |) + C_{1} = - \frac{1}{2} \ln (| x^{2} + 1 |) + C_{2}$

चरण 4.4

समाकलन के स्थिरांक को दाईं ओर $C$ के रूप में समूहित करें.

$\ln (| y |) = - \frac{1}{2} \ln (| x^{2} + 1 |) + C$

चरण 5

$y$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1.1

$\ln (| x^{2} + 1 |)$ और $\frac{1}{2}$ को मिलाएं.

$\ln (| y |) = - \frac{\ln (| x^{2} + 1 |)}{2} + C$

चरण 5.2

लघुगणक वाले सभी पदों को समीकरण के बाईं पक्ष की ओर ले जाएँ.

$\ln (| y |) + \frac{\ln (| x^{2} + 1 |)}{2} = C$

चरण 5.3

$\ln (| y |)$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{2}{2}$ से गुणा करें.

$\ln (| y |) \cdot \frac{2}{2} + \frac{\ln (| x^{2} + 1 |)}{2} = C$

चरण 5.4

पदों को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.4.1

$\ln (| y |)$ और $\frac{2}{2}$ को मिलाएं.

$\frac{\ln (| y |) \cdot 2}{2} + \frac{\ln (| x^{2} + 1 |)}{2} = C$

चरण 5.4.2

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$\frac{\ln (| y |) \cdot 2 + \ln (| x^{2} + 1 |)}{2} = C$

चरण 5.5

$2$ को $\ln (| y |)$ के बाईं ओर ले जाएं.

$\frac{2 \ln (| y |) + \ln (| x^{2} + 1 |)}{2} = C$

चरण 5.6

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.6.1

$\frac{2 \ln (| y |) + \ln (| x^{2} + 1 |)}{2}$ को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.6.1.1

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.6.1.1.1

$2$ को लघुगणक के अंदर ले जाकर $2 \ln (| y |)$ को सरल करें.

$\frac{\ln ({| y |}^{2}) + \ln (| x^{2} + 1 |)}{2} = C$

चरण 5.6.1.1.2

${| y |}^{2}$ में निरपेक्ष मान हटा दें क्योंकि सम घात वाले घातांक हमेशा धनात्मक होते हैं.

$\frac{\ln (y^{2}) + \ln (| x^{2} + 1 |)}{2} = C$

चरण 5.6.1.1.3

लघुगणक की गुणनफल गुणधर्म, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ का उपयोग करें.

$\frac{\ln (y^{2} | x^{2} + 1 |)}{2} = C$

चरण 5.6.1.2

$\frac{\ln (y^{2} | x^{2} + 1 |)}{2}$ को $\frac{1}{2} \ln (y^{2} | x^{2} + 1 |)$ के रूप में फिर से लिखें.

$\frac{1}{2} \ln (y^{2} | x^{2} + 1 |) = C$

चरण 5.6.1.3

$\frac{1}{2}$ को लघुगणक के अंदर ले जाकर $\frac{1}{2} \ln (y^{2} | x^{2} + 1 |)$ को सरल करें.

$\ln ({(y^{2} | x^{2} + 1 |)}^{\frac{1}{2}}) = C$

चरण 5.6.1.4

उत्पाद नियम को $y^{2} | x^{2} + 1 |$ पर लागू करें.

$\ln ({(y^{2})}^{\frac{1}{2}} {| x^{2} + 1 |}^{\frac{1}{2}}) = C$

चरण 5.6.1.5

घातांक को ${(y^{2})}^{\frac{1}{2}}$ में गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.6.1.5.1

घात नियम लागू करें और घातांक गुणा करें, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\ln (y^{2 (\frac{1}{2})} {| x^{2} + 1 |}^{\frac{1}{2}}) = C$

चरण 5.6.1.5.2

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.6.1.5.2.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\ln (y^{2 (\frac{1}{2})} {| x^{2} + 1 |}^{\frac{1}{2}}) = C$

चरण 5.6.1.5.2.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\ln (y^{1} {| x^{2} + 1 |}^{\frac{1}{2}}) = C$

चरण 5.6.1.6

सरल करें.

$\ln (y {| x^{2} + 1 |}^{\frac{1}{2}}) = C$

चरण 5.7

$y$ के लिए हल करने के लिए, लघुगणक के गुणों का उपयोग करके समीकरण को फिर से लिखें.

$e^{\ln (y {| x^{2} + 1 |}^{\frac{1}{2}})} = e^{C}$

चरण 5.8

लघुगणक की परिभाषा का उपयोग करते हुए $\ln (y {| x^{2} + 1 |}^{\frac{1}{2}}) = C$ को घातीय रूप में फिर से लिखें. अगर $x$ और $b$ धनात्मक वास्तविक संख्याएं हैं और $b \neq 1$ , तो $\log_{b} (x) = y$ $b^{y} = x$ के बराबर है.

$e^{C} = y {| x^{2} + 1 |}^{\frac{1}{2}}$

चरण 5.9

$y$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.9.1

समीकरण को $y {| x^{2} + 1 |}^{\frac{1}{2}} = e^{C}$ के रूप में फिर से लिखें.

$y {| x^{2} + 1 |}^{\frac{1}{2}} = e^{C}$

चरण 5.9.2

$y {| x^{2} + 1 |}^{\frac{1}{2}} = e^{C}$ के प्रत्येक पद को ${| x^{2} + 1 |}^{\frac{1}{2}}$ से भाग दें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.9.2.1

$y {| x^{2} + 1 |}^{\frac{1}{2}} = e^{C}$ के प्रत्येक पद को ${| x^{2} + 1 |}^{\frac{1}{2}}$ से विभाजित करें.

$\frac{y {| x^{2} + 1 |}^{\frac{1}{2}}}{{| x^{2} + 1 |}^{\frac{1}{2}}} = \frac{e^{C}}{{| x^{2} + 1 |}^{\frac{1}{2}}}$

चरण 5.9.2.2

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.9.2.2.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{y {| x^{2} + 1 |}^{\frac{1}{2}}}{{| x^{2} + 1 |}^{\frac{1}{2}}} = \frac{e^{C}}{{| x^{2} + 1 |}^{\frac{1}{2}}}$

चरण 5.9.2.2.2

$y$ को $1$ से विभाजित करें.

$y = \frac{e^{C}}{{| x^{2} + 1 |}^{\frac{1}{2}}}$

चरण 6

समाकलन की संतति को सरल करें.

$y = \frac{C}{{| x^{2} + 1 |}^{\frac{1}{2}}}$