कैलकुलस उदाहरण

$(\frac{1}{y}) d x - (3 y - \frac{x}{y^{2}}) d y = 0$

चरण 1

$\frac{\partial M}{\partial y}$ पता कीजिए जहां $M (x, y) = \frac{1}{y}$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

$M$ को $y$ से अलग करें.

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [\frac{1}{y}]$

चरण 1.2

$\frac{1}{y}$ को $y^{- 1}$ के रूप में फिर से लिखें.

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [y^{- 1}]$

चरण 1.3

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ $n y^{n - 1}$ है, जहाँ $n = - 1$ है.

$\frac{\partial M}{\partial y} = - y^{- 2}$

चरण 1.4

ऋणात्मक घातांक नियम $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ का प्रयोग करके व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{\partial M}{\partial y} = - \frac{1}{y^{2}}$

चरण 2

$\frac{\partial N}{\partial x}$ पता कीजिए जहां $N (x, y) = - (3 y - \frac{x}{y^{2}})$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

$N$ को $x$ से अलग करें.

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [- (3 y - \frac{x}{y^{2}})]$

चरण 2.2

चूंकि $- 1$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $- (3 y - \frac{x}{y^{2}})$ का व्युत्पन्न $- \frac{d}{d x} [3 y - \frac{x}{y^{2}}]$ है.

$\frac{\partial N}{\partial x} = - \frac{d}{d x} [3 y - \frac{x}{y^{2}}]$

चरण 2.3

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $3 y - \frac{x}{y^{2}}$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [3 y] + \frac{d}{d x} [- \frac{x}{y^{2}}]$ है.

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (\frac{d}{d x} [3 y] + \frac{d}{d x} [- \frac{x}{y^{2}}])$

चरण 2.4

चूंकि $x$ के संबंध में $3 y$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $3 y$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (0 + \frac{d}{d x} [- \frac{x}{y^{2}}])$

चरण 2.5

$0$ और $\frac{d}{d x} [- \frac{x}{y^{2}}]$ जोड़ें.

$\frac{\partial N}{\partial x} = - \frac{d}{d x} [- \frac{x}{y^{2}}]$

चरण 2.6

चूंकि $- \frac{1}{y^{2}}$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $- \frac{x}{y^{2}}$ का व्युत्पन्न $- \frac{1}{y^{2}} \frac{d}{d x} [x]$ है.

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (- \frac{1}{y^{2}} \frac{d}{d x} [x])$

चरण 2.7

गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.7.1

$- 1$ को $- 1$ से गुणा करें.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 1 (\frac{1}{y^{2}} \frac{d}{d x} [x])$

चरण 2.7.2

$\frac{1}{y^{2}}$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{1}{y^{2}} \frac{d}{d x} [x]$

चरण 2.8

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{1}{y^{2}} \cdot 1$

चरण 2.9

$\frac{1}{y^{2}}$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{1}{y^{2}}$

चरण 3

उस $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ को जांचें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

$\frac{\partial M}{\partial y}$ के लिए $- \frac{1}{y^{2}}$ और $\frac{\partial N}{\partial x}$ के लिए $\frac{1}{y^{2}}$ प्रतिस्थापित करें.

$- \frac{1}{y^{2}} = \frac{1}{y^{2}}$

चरण 3.2

चूँकि बायाँ पक्ष दाएँ पक्ष के बराबर नहीं है, समीकरण एक सर्वसमिका नहीं है.

$- \frac{1}{y^{2}} = \frac{1}{y^{2}}$ कोई सर्वसमिका नहीं है.

चरण 4

इंटिग्रेशन गुणनखंड $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ खोजें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1

$\frac{1}{y^{2}}$ को $\frac{\partial N}{\partial x}$ से प्रतिस्थापित करें.

$\frac{\frac{1}{y^{2}} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M}$

चरण 4.2

$- \frac{1}{y^{2}}$ को $\frac{\partial M}{\partial y}$ से प्रतिस्थापित करें.

$\frac{\frac{1}{y^{2}} - - \frac{1}{y^{2}}}{M}$

चरण 4.3

$\frac{1}{y}$ को $M$ से प्रतिस्थापित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.3.1

$\frac{1}{y}$ को $M$ से प्रतिस्थापित करें.

$\frac{\frac{1}{y^{2}} - - \frac{1}{y^{2}}}{\frac{1}{y}}$

चरण 4.3.2

भाजक के प्रतिलोम से न्यूमेरेटर को गुणा करें.

$(\frac{1}{y^{2}} - - \frac{1}{y^{2}}) y$

चरण 4.3.3

$- - \frac{1}{y^{2}}$ गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.3.3.1

$- 1$ को $- 1$ से गुणा करें.

$(\frac{1}{y^{2}} + 1 \frac{1}{y^{2}}) y$

चरण 4.3.3.2

$\frac{1}{y^{2}}$ को $1$ से गुणा करें.

$(\frac{1}{y^{2}} + \frac{1}{y^{2}}) y$

चरण 4.3.4

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$\frac{1 + 1}{y^{2}} y$

चरण 4.3.5

$1$ और $1$ जोड़ें.

$\frac{2}{y^{2}} y$

चरण 4.3.6

$\frac{1}{y}$ को $M$ से प्रतिस्थापित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.3.6.1

$y^{2}$ में से $y$ का गुणनखंड करें.

$\frac{2}{y \cdot y} y$

चरण 4.3.6.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{2}{y \cdot y} y$

चरण 4.3.6.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{2}{y}$

चरण 4.4

इंटिग्रेशन गुणनखंड $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ खोजें.

$μ (x, y) = e^{\int \frac{2}{y} d y}$

चरण 5

इंटिग्रल $e^{\int \frac{2}{y} d y}$ को पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1

चूँकि $2$ बटे $y$ अचर है, $2$ को समाकलन से हटा दें.

$μ (x, y) = e^{2 \int \frac{1}{y} d y}$

चरण 5.2

$y$ के संबंध में $\frac{1}{y}$ का इंटीग्रल $\ln (| y |)$ है.

$μ (x, y) = e^{2 (\ln (| y |) + C)}$

चरण 5.3

सरल करें.

$μ (x, y) = e^{2 \ln (| y |)} + C$

चरण 5.4

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.4.1

$2$ को लघुगणक के अंदर ले जाकर $2 \ln (| y |)$ को सरल करें.

$μ (x, y) = e^{\ln ({| y |}^{2})} + C$

चरण 5.4.2

चरघातांक और लघुगणक व्युत्क्रम फलन होते हैं

$μ (x, y) = {| y |}^{2} + C$

चरण 5.4.3

${| y |}^{2}$ में निरपेक्ष मान हटा दें क्योंकि सम घात वाले घातांक हमेशा धनात्मक होते हैं.

$μ (x, y) = y^{2} + C$

चरण 6

$\frac{1}{y} d x - (3 y - \frac{x}{y^{2}}) d y = 0$ के दोनों पक्षों को इंटिग्रेशन गुणनखंड $y^{2}$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1

$\frac{1}{y}$ को $y^{2}$ से गुणा करें.

$\frac{1}{y} y^{2} d x - (3 y - \frac{x}{y^{2}}) d y = 0$

चरण 6.2

$y$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.1

$y^{2}$ में से $y$ का गुणनखंड करें.

$\frac{1}{y} (y \cdot y) d x - (3 y - \frac{x}{y^{2}}) d y = 0$

चरण 6.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{1}{y} (y \cdot y) d x - (3 y - \frac{x}{y^{2}}) d y = 0$

चरण 6.2.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$y d x - (3 y - \frac{x}{y^{2}}) d y = 0$

चरण 6.3

$- (3 y - \frac{x}{y^{2}})$ को $y^{2}$ से गुणा करें.

$y d x - (3 y - \frac{x}{y^{2}}) y^{2} d y = 0$

चरण 6.4

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$y d x + (- (3 y) - - \frac{x}{y^{2}}) y^{2} d y = 0$

चरण 6.5

$3$ को $- 1$ से गुणा करें.

$y d x + (- 3 y - - \frac{x}{y^{2}}) y^{2} d y = 0$

चरण 6.6

$- - \frac{x}{y^{2}}$ गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.6.1

$- 1$ को $- 1$ से गुणा करें.

$y d x + (- 3 y + 1 \frac{x}{y^{2}}) y^{2} d y = 0$

चरण 6.6.2

$\frac{x}{y^{2}}$ को $1$ से गुणा करें.

$y d x + (- 3 y + \frac{x}{y^{2}}) y^{2} d y = 0$

चरण 6.7

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$y d x + (- 3 y \cdot y^{2} + \frac{x}{y^{2}} y^{2}) d y = 0$

चरण 6.8

घातांक जोड़कर $y$ को $y^{2}$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.8.1

$y^{2}$ ले जाएं.

$y d x + (- 3 (y^{2} y) + \frac{x}{y^{2}} y^{2}) d y = 0$

चरण 6.8.2

$y^{2}$ को $y$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.8.2.1

$y$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$y d x + (- 3 (y^{2} y^{1}) + \frac{x}{y^{2}} y^{2}) d y = 0$

चरण 6.8.2.2

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$y d x + (- 3 y^{2 + 1} + \frac{x}{y^{2}} y^{2}) d y = 0$

चरण 6.8.3

$2$ और $1$ जोड़ें.

$y d x + (- 3 y^{3} + \frac{x}{y^{2}} y^{2}) d y = 0$

चरण 6.9

$y^{2}$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.9.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$y d x + (- 3 y^{3} + \frac{x}{y^{2}} y^{2}) d y = 0$

चरण 6.9.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$y d x + (- 3 y^{3} + x) d y = 0$

चरण 7

$f (x, y)$ को $M (x, y)$ के इंटीग्रल के बराबर सेट करें.

$f (x, y) = \int y d x$

चरण 8

$f (x, y)$ को खोजने के लिए $M (x, y) = y$ को समाकलित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.1

स्थिरांक नियम लागू करें.

$f (x, y) = y x + C$

चरण 9

चूँकि $g (y)$ के इंटिग्रल में इंटिग्रेशन स्थिरांक होगा, हम $C$ को $g (y)$ से बदल सकते हैं.

$f (x, y) = y x + g (y)$

चरण 10

$\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ सेट करें.

$\frac{\partial f}{\partial y} = - 3 y^{3} + x$

चरण 11

$\frac{\partial f}{\partial y}$ पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 11.1

$f$ को $y$ से अलग करें.

$\frac{d}{d y} [y x + g (y)] = - 3 y^{3} + x$

चरण 11.2

योग नियम के अनुसार, $y$ के संबंध में $y x + g (y)$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d y} [y x] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ है.

$\frac{d}{d y} [y x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = - 3 y^{3} + x$

चरण 11.3

$\frac{d}{d y} [y x]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 11.3.1

चूंकि $x$ , $y$ के संबंध में स्थिर है, $y$ के संबंध में $y x$ का व्युत्पन्न $x \frac{d}{d y} [y]$ है.

$x \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [g (y)] = - 3 y^{3} + x$

चरण 11.3.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ $n y^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$x \cdot 1 + \frac{d}{d y} [g (y)] = - 3 y^{3} + x$

चरण 11.3.3

$x$ को $1$ से गुणा करें.

$x + \frac{d}{d y} [g (y)] = - 3 y^{3} + x$

चरण 11.4

फलन नियम का उपयोग करके अंतर करें जो बताता है कि $g (y)$ का व्युत्पन्न $\frac{d g}{d y}$ है.

$x + \frac{d g}{d y} = - 3 y^{3} + x$

चरण 11.5

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$\frac{d g}{d y} + x = - 3 y^{3} + x$

चरण 12

$\frac{d g}{d y}$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 12.1

$\frac{d g}{d y}$ वाले सभी पदों को समीकरण के दाईं ओर ले जाएं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 12.1.1

समीकरण के दोनों पक्षों से $x$ घटाएं.

$\frac{d g}{d y} = - 3 y^{3} + x - x$

चरण 12.1.2

$- 3 y^{3} + x - x$ में विपरीत पदों को मिलाएं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 12.1.2.1

$x$ में से $x$ घटाएं.

$\frac{d g}{d y} = - 3 y^{3} + 0$

चरण 12.1.2.2

$- 3 y^{3}$ और $0$ जोड़ें.

$\frac{d g}{d y} = - 3 y^{3}$

चरण 13

$g (y)$ को खोजने के लिए $- 3 y^{3}$ का विरोधी व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 13.1

$\frac{d g}{d y} = - 3 y^{3}$ के दोनों पक्षों को समाकलित करें.

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int - 3 y^{3} d y$

चरण 13.2

$\int \frac{d g}{d y} d y$ का मान ज्ञात करें.

$g (y) = \int - 3 y^{3} d y$

चरण 13.3

चूँकि $- 3$ बटे $y$ अचर है, $- 3$ को समाकलन से हटा दें.

$g (y) = - 3 \int y^{3} d y$

चरण 13.4

घात नियम के अनुसार, $y$ के संबंध में $y^{3}$ का समाकलन $\frac{1}{4} y^{4}$ है.

$g (y) = - 3 (\frac{1}{4} y^{4} + C)$

चरण 13.5

उत्तर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 13.5.1

$- 3 (\frac{1}{4} y^{4} + C)$ को $- 3 (\frac{1}{4}) y^{4} + C$ के रूप में फिर से लिखें.

$g (y) = - 3 (\frac{1}{4}) y^{4} + C$

चरण 13.5.2

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 13.5.2.1

$- 3$ और $\frac{1}{4}$ को मिलाएं.

$g (y) = \frac{- 3}{4} y^{4} + C$

चरण 13.5.2.2

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$g (y) = - \frac{3}{4} y^{4} + C$

चरण 14

$f (x, y) = y x + g (y)$ में $g (y)$ को प्रतिस्थापित करें.

$f (x, y) = y x - \frac{3}{4} y^{4} + C$

चरण 15

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 15.1

$y^{4}$ और $\frac{3}{4}$ को मिलाएं.

$f (x, y) = y x - \frac{y^{4} \cdot 3}{4} + C$

चरण 15.2

$3$ को $y^{4}$ के बाईं ओर ले जाएं.

$f (x, y) = y x - \frac{3 y^{4}}{4} + C$