कैलकुलस उदाहरण

$\frac{d y}{d x} - y x = x$ , $y (0) = 0$

चरण 1

चरों को अलग करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

समीकरण के दोनों पक्षों में $y x$ जोड़ें.

$\frac{d y}{d x} = x + y x$

चरण 1.2

$x + y x$ में से $x$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.1

$x$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$\frac{d y}{d x} = x^{1} + y x$

चरण 1.2.2

$x^{1}$ में से $x$ का गुणनखंड करें.

$\frac{d y}{d x} = x \cdot 1 + y x$

चरण 1.2.3

$y x$ में से $x$ का गुणनखंड करें.

$\frac{d y}{d x} = x \cdot 1 + x y$

चरण 1.2.4

$x \cdot 1 + x y$ में से $x$ का गुणनखंड करें.

$\frac{d y}{d x} = x (1 + y)$

चरण 1.3

दोनों पक्षों को $\frac{1}{1 + y}$ से गुणा करें.

$\frac{1}{1 + y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{1 + y} (x (1 + y))$

चरण 1.4

$1 + y$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.4.1

$x (1 + y)$ में से $1 + y$ का गुणनखंड करें.

$\frac{1}{1 + y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{1 + y} ((1 + y) x)$

चरण 1.4.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{1}{1 + y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{1 + y} ((1 + y) x)$

चरण 1.4.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{1}{1 + y} \frac{d y}{d x} = x$

चरण 1.5

समीकरण को फिर से लिखें.

$\frac{1}{1 + y} d y = x d x$

चरण 2

दोनों पक्षों को समाकलित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

प्रत्येक पक्ष का एक समाकलन सेट करें.

$\int \frac{1}{1 + y} d y = \int x d x$

चरण 2.2

बाएं पक्ष का समाकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.1

मान लीजिए $u = 1 + y$ . फिर $d u = d y$ . $u$ और $d$ $u$ का उपयोग करके फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.1.1

मान लें $u = 1 + y$ . $\frac{d u}{d y}$ ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.1.1.1

$1 + y$ को अवकलित करें.

$\frac{d}{d y} [1 + y]$

चरण 2.2.1.1.2

योग नियम के अनुसार, $y$ के संबंध में $1 + y$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [y]$ है.

$\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [y]$

चरण 2.2.1.1.3

चूंकि $y$ के संबंध में $1$ स्थिर है, $y$ के संबंध में $1$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$0 + \frac{d}{d y} [y]$

चरण 2.2.1.1.4

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ $n y^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$0 + 1$

चरण 2.2.1.1.5

$0$ और $1$ जोड़ें.

$1$

चरण 2.2.1.2

$u$ और $d u$ का उपयोग करके समस्या को फिर से लिखें.

$\int \frac{1}{u} d u = \int x d x$

चरण 2.2.2

$u$ के संबंध में $\frac{1}{u}$ का इंटीग्रल $\ln (| u |)$ है.

$\ln (| u |) + C_{1} = \int x d x$

चरण 2.2.3

$u$ की सभी घटनाओं को $1 + y$ से बदलें.

$\ln (| 1 + y |) + C_{1} = \int x d x$

चरण 2.3

घात नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x$ का समाकलन $\frac{1}{2} x^{2}$ है.

$\ln (| 1 + y |) + C_{1} = \frac{1}{2} x^{2} + C_{2}$

चरण 2.4

समाकलन के स्थिरांक को दाईं ओर $C$ के रूप में समूहित करें.

$\ln (| 1 + y |) = \frac{1}{2} x^{2} + C$

चरण 3

$y$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

$y$ के लिए हल करने के लिए, लघुगणक के गुणों का उपयोग करके समीकरण को फिर से लिखें.

$e^{\ln (| 1 + y |)} = e^{\frac{1}{2} x^{2} + C}$

चरण 3.2

लघुगणक की परिभाषा का उपयोग करते हुए $\ln (| 1 + y |) = \frac{1}{2} x^{2} + C$ को घातीय रूप में फिर से लिखें. अगर $x$ और $b$ धनात्मक वास्तविक संख्याएं हैं और $b \neq 1$ , तो $\log_{b} (x) = y$ $b^{y} = x$ के बराबर है.

$e^{\frac{1}{2} x^{2} + C} = | 1 + y |$

चरण 3.3

$y$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.3.1

समीकरण को $| 1 + y | = e^{\frac{1}{2} x^{2} + C}$ के रूप में फिर से लिखें.

$| 1 + y | = e^{\frac{1}{2} x^{2} + C}$

चरण 3.3.2

$\frac{1}{2}$ और $x^{2}$ को मिलाएं.

$| 1 + y | = e^{\frac{x^{2}}{2} + C}$

चरण 3.3.3

निरपेक्ष मान पद को हटा दें. यह समीकरण के दाएं पक्ष की ओर एक $\pm$ बनाता है जो $| x | = \pm x$ है.

$1 + y = \pm e^{\frac{x^{2}}{2} + C}$

चरण 3.3.4

समीकरण के दोनों पक्षों से $1$ घटाएं.

$y = \pm e^{\frac{x^{2}}{2} + C} - 1$

चरण 4

स्थिर पदों को एक साथ समूहित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1

$e^{\frac{x^{2}}{2} + C}$ को $e^{\frac{x^{2}}{2}} e^{C}$ के रूप में फिर से लिखें.

$y = \pm e^{\frac{x^{2}}{2}} e^{C} - 1$

चरण 4.2

$e^{\frac{x^{2}}{2}}$ और $e^{C}$ को पुन: क्रमित करें.

$y = \pm e^{C} e^{\frac{x^{2}}{2}} - 1$

चरण 4.3

प्लस या माइनस के साथ स्थिरांक मिलाएं.

$y = C e^{\frac{x^{2}}{2}} - 1$

चरण 5

$x$ के लिए $0$ और $y = C e^{\frac{x^{2}}{2}} - 1$ में $y$ के लिए $0$ को प्रतिस्थापित करके $C$ का मान ज्ञात करने के लिए प्रारंभिक शर्त का उपयोग करें.

$0 = C e^{\frac{0^{2}}{2}} - 1$

चरण 6

$C$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1

समीकरण को $C e^{\frac{0^{2}}{2}} - 1 = 0$ के रूप में फिर से लिखें.

$C e^{\frac{0^{2}}{2}} - 1 = 0$

चरण 6.2

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.1

$0$ को किसी भी धनात्मक घात तक बढ़ाने से $0$ प्राप्त होता है.

$C e^{\frac{0}{2}} - 1 = 0$

चरण 6.2.2

$0$ को $2$ से विभाजित करें.

$C e^{0} - 1 = 0$

चरण 6.2.3

$0$ तक बढ़ाई गई कोई भी चीज़ $1$ होती है.

$C \cdot 1 - 1 = 0$

चरण 6.2.4

$C$ को $1$ से गुणा करें.

$C - 1 = 0$

चरण 6.3

समीकरण के दोनों पक्षों में $1$ जोड़ें.

$C = 1$

चरण 7

$1$ को $y = C e^{\frac{x^{2}}{2}} - 1$ में $C$ के स्थान पर प्रतिस्थापित करें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.1

$1$ को $C$ से प्रतिस्थापित करें.

$y = 1 e^{\frac{x^{2}}{2}} - 1$

चरण 7.2

$e^{\frac{x^{2}}{2}}$ को $1$ से गुणा करें.

$y = e^{\frac{x^{2}}{2}} - 1$