कैलकुलस उदाहरण

$\frac{d y}{d t} = 2 - \frac{3 y}{25 + 2 t}$

चरण 1

डिफरेन्शल इक्वेश़न को $\frac{d y}{d t} + M (t) y = Q (t)$ के रूप में फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

समीकरण को $M (t) \frac{d y}{d t} + P (t) y = Q (t)$ के रूप में फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.1

समीकरण के दोनों पक्षों में $\frac{3 y}{25 + 2 t}$ जोड़ें.

$\frac{d y}{d t} + \frac{3 y}{25 + 2 t} = 2$

चरण 1.1.2

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$\frac{d y}{d t} + \frac{3 y}{2 t + 25} = 2$

चरण 1.2

$\frac{3 y}{2 t + 25}$ में से $y$ का गुणनखंड करें.

$\frac{d y}{d t} + y \frac{3}{2 t + 25} = 2$

चरण 1.3

$y$ और $\frac{3}{2 t + 25}$ को पुन: क्रमित करें.

$\frac{d y}{d t} + \frac{3}{2 t + 25} y = 2$

चरण 2

समाकलित गुणनखंड को $e^{\int P (t) d t}$ सूत्र द्वारा परिभाषित किया गया है, जहां $P (t) = \frac{3}{2 t + 25}$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

समाकलन सेट करें.

$e^{\int \frac{3}{2 t + 25} d t}$

चरण 2.2

$\frac{3}{2 t + 25}$ को समाकलित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.1

चूँकि $3$ बटे $t$ अचर है, $3$ को समाकलन से हटा दें.

$e^{3 \int \frac{1}{2 t + 25} d t}$

चरण 2.2.2

मान लीजिए $u = 2 t + 25$ .फिर $d u = 2 d t$ , तो $\frac{1}{2} d u = d t$ . $u$ और $d$ $u$ का उपयोग करके फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.2.1

मान लें $u = 2 t + 25$ . $\frac{d u}{d t}$ ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.2.1.1

$2 t + 25$ को अवकलित करें.

$\frac{d}{d t} [2 t + 25]$

चरण 2.2.2.1.2

योग नियम के अनुसार, $t$ के संबंध में $2 t + 25$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d t} [2 t] + \frac{d}{d t} [25]$ है.

$\frac{d}{d t} [2 t] + \frac{d}{d t} [25]$

चरण 2.2.2.1.3

$\frac{d}{d t} [2 t]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.2.1.3.1

चूंकि $2$ , $t$ के संबंध में स्थिर है, $t$ के संबंध में $2 t$ का व्युत्पन्न $2 \frac{d}{d t} [t]$ है.

$2 \frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [25]$

चरण 2.2.2.1.3.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ $n t^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d t} [25]$

चरण 2.2.2.1.3.3

$2$ को $1$ से गुणा करें.

$2 + \frac{d}{d t} [25]$

चरण 2.2.2.1.4

स्थिरांक नियम का उपयोग करके अंतर करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.2.1.4.1

चूंकि $t$ के संबंध में $25$ स्थिर है, $t$ के संबंध में $25$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$2 + 0$

चरण 2.2.2.1.4.2

$2$ और $0$ जोड़ें.

$2$

चरण 2.2.2.2

$u$ और $d u$ का उपयोग करके समस्या को फिर से लिखें.

$e^{3 \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u}$

चरण 2.2.3

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.3.1

$\frac{1}{u}$ को $\frac{1}{2}$ से गुणा करें.

$e^{3 \int \frac{1}{u \cdot 2} d u}$

चरण 2.2.3.2

$2$ को $u$ के बाईं ओर ले जाएं.

$e^{3 \int \frac{1}{2 u} d u}$

चरण 2.2.4

चूँकि $\frac{1}{2}$ बटे $u$ अचर है, $\frac{1}{2}$ को समाकलन से हटा दें.

$e^{3 (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u)}$

चरण 2.2.5

$\frac{1}{2}$ और $3$ को मिलाएं.

$e^{\frac{3}{2} \int \frac{1}{u} d u}$

चरण 2.2.6

$u$ के संबंध में $\frac{1}{u}$ का इंटीग्रल $\ln (| u |)$ है.

$e^{\frac{3}{2} (\ln (| u |) + C)}$

चरण 2.2.7

सरल करें.

$e^{\frac{3}{2} \ln (| u |) + C}$

चरण 2.2.8

$u$ की सभी घटनाओं को $2 t + 25$ से बदलें.

$e^{\frac{3}{2} \ln (| 2 t + 25 |) + C}$

चरण 2.3

समाकलन का स्थिरांक निकालें.

$e^{\frac{3}{2} \ln (2 t + 25)}$

चरण 2.4

लघुगणक घात नियम का प्रयोग करें.

$e^{\ln ({(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}})}$

चरण 2.5

चरघातांक और लघुगणक व्युत्क्रम फलन होते हैं

${(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}}$

चरण 3

प्रत्येक पद को समाकलन गुणनखंड ${(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}}$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

प्रत्येक पद को ${(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}}$ से गुणा करें.

${(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}} \frac{d y}{d t} + {(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}} (\frac{3}{2 t + 25} y) = {(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}} \cdot 2$

चरण 3.2

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.1

$\frac{3}{2 t + 25}$ और $y$ को मिलाएं.

${(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}} \frac{d y}{d t} + {(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}} \frac{3 y}{2 t + 25} = {(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}} \cdot 2$

चरण 3.2.2

${(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}}$ और $\frac{3 y}{2 t + 25}$ को मिलाएं.

${(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}} \frac{d y}{d t} + \frac{{(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}} (3 y)}{2 t + 25} = {(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}} \cdot 2$

चरण 3.2.3

${(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}} (3 y)$ में से $2 t + 25$ का गुणनखंड करें.

${(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}} \frac{d y}{d t} + \frac{(2 t + 25) ({(2 t + 25)}^{\frac{1}{2}} (3 y))}{2 t + 25} = {(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}} \cdot 2$

चरण 3.2.4

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.4.1

$1$ से गुणा करें.

${(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}} \frac{d y}{d t} + \frac{(2 t + 25) ({(2 t + 25)}^{\frac{1}{2}} (3 y))}{(2 t + 25) \cdot 1} = {(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}} \cdot 2$

चरण 3.2.4.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

${(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}} \frac{d y}{d t} + \frac{(2 t + 25) ({(2 t + 25)}^{\frac{1}{2}} (3 y))}{(2 t + 25) \cdot 1} = {(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}} \cdot 2$

चरण 3.2.4.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

${(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}} \frac{d y}{d t} + \frac{{(2 t + 25)}^{\frac{1}{2}} (3 y)}{1} = {(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}} \cdot 2$

चरण 3.2.4.4

${(2 t + 25)}^{\frac{1}{2}} (3 y)$ को $1$ से विभाजित करें.

${(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}} \frac{d y}{d t} + {(2 t + 25)}^{\frac{1}{2}} (3 y) = {(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}} \cdot 2$

चरण 3.2.5

गुणन के क्रमविनिमेय गुण का उपयोग करके फिर से लिखें.

${(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}} \frac{d y}{d t} + 3 {(2 t + 25)}^{\frac{1}{2}} y = {(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}} \cdot 2$

चरण 3.3

$2$ को ${(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}}$ के बाईं ओर ले जाएं.

${(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}} \frac{d y}{d t} + 3 {(2 t + 25)}^{\frac{1}{2}} y = 2 \cdot {(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}}$

चरण 3.4

गुणनखंडों को ${(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}} \frac{d y}{d t} + 3 {(2 t + 25)}^{\frac{1}{2}} y = 2 {(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}}$ में पुन: क्रमित करें.

${(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}} \frac{d y}{d t} + 3 y {(2 t + 25)}^{\frac{1}{2}} = 2 {(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}}$

चरण 4

किसी गुणन में अंतर करने के परिणामस्वरूप बाईं ओर फिर से लिखें.

$\frac{d}{d t} [{(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}} y] = 2 {(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}}$

चरण 5

प्रत्येक पक्ष का एक समाकलन सेट करें.

$\int \frac{d}{d t} [{(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}} y] d t = \int 2 {(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}} d t$

चरण 6

बाएं पक्ष का समाकलन करें.

${(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}} y = \int 2 {(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}} d t$

चरण 7

दाएं पक्ष का समाकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.1

चूँकि $2$ बटे $t$ अचर है, $2$ को समाकलन से हटा दें.

${(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}} y = 2 \int {(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}} d t$

चरण 7.2

मान लीजिए $u = 2 t + 25$ .फिर $d u = 2 d t$ , तो $\frac{1}{2} d u = d t$ . $u$ और $d$ $u$ का उपयोग करके फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.2.1

मान लें $u = 2 t + 25$ . $\frac{d u}{d t}$ ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.2.1.1

$2 t + 25$ को अवकलित करें.

$\frac{d}{d t} [2 t + 25]$

चरण 7.2.1.2

योग नियम के अनुसार, $t$ के संबंध में $2 t + 25$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d t} [2 t] + \frac{d}{d t} [25]$ है.

$\frac{d}{d t} [2 t] + \frac{d}{d t} [25]$

चरण 7.2.1.3

$\frac{d}{d t} [2 t]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.2.1.3.1

चूंकि $2$ , $t$ के संबंध में स्थिर है, $t$ के संबंध में $2 t$ का व्युत्पन्न $2 \frac{d}{d t} [t]$ है.

$2 \frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [25]$

चरण 7.2.1.3.2

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d t} [25]$

चरण 7.2.1.3.3

$2$ को $1$ से गुणा करें.

$2 + \frac{d}{d t} [25]$

चरण 7.2.1.4

स्थिरांक नियम का उपयोग करके अंतर करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.2.1.4.1

चूंकि $t$ के संबंध में $25$ स्थिर है, $t$ के संबंध में $25$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$2 + 0$

चरण 7.2.1.4.2

$2$ और $0$ जोड़ें.

$2$

चरण 7.2.2

$u$ और $d u$ का उपयोग करके समस्या को फिर से लिखें.

${(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}} y = 2 \int u^{\frac{3}{2}} \frac{1}{2} d u$

चरण 7.3

$u^{\frac{3}{2}}$ और $\frac{1}{2}$ को मिलाएं.

${(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}} y = 2 \int \frac{u^{\frac{3}{2}}}{2} d u$

चरण 7.4

चूँकि $\frac{1}{2}$ बटे $u$ अचर है, $\frac{1}{2}$ को समाकलन से हटा दें.

${(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}} y = 2 (\frac{1}{2} \int u^{\frac{3}{2}} d u)$

चरण 7.5

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.5.1

$\frac{1}{2}$ और $2$ को मिलाएं.

${(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}} y = \frac{2}{2} \int u^{\frac{3}{2}} d u$

चरण 7.5.2

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.5.2.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

${(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}} y = \frac{2}{2} \int u^{\frac{3}{2}} d u$

चरण 7.5.2.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

${(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}} y = 1 \int u^{\frac{3}{2}} d u$

चरण 7.5.3

$\int u^{\frac{3}{2}} d u$ को $1$ से गुणा करें.

${(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}} y = \int u^{\frac{3}{2}} d u$

चरण 7.6

घात नियम के अनुसार, $u$ के संबंध में $u^{\frac{3}{2}}$ का समाकलन $\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}}$ है.

${(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}} y = \frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} + C$

चरण 7.7

$u$ की सभी घटनाओं को $2 t + 25$ से बदलें.

${(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}} y = \frac{2}{5} {(2 t + 25)}^{\frac{5}{2}} + C$

चरण 8

${(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}} y = \frac{2}{5} {(2 t + 25)}^{\frac{5}{2}} + C$ के प्रत्येक पद को ${(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}}$ से भाग दें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.1

${(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}} y = \frac{2}{5} {(2 t + 25)}^{\frac{5}{2}} + C$ के प्रत्येक पद को ${(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}}$ से विभाजित करें.

$\frac{{(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}} y}{{(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}}} = \frac{\frac{2}{5} {(2 t + 25)}^{\frac{5}{2}}}{{(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}}} + \frac{C}{{(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}}}$

चरण 8.2

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.2.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{{(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}} y}{{(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}}} = \frac{\frac{2}{5} {(2 t + 25)}^{\frac{5}{2}}}{{(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}}} + \frac{C}{{(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}}}$

चरण 8.2.2

$y$ को $1$ से विभाजित करें.

$y = \frac{\frac{2}{5} {(2 t + 25)}^{\frac{5}{2}}}{{(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}}} + \frac{C}{{(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}}}$

चरण 8.3

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.3.1

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$y = \frac{\frac{2}{5} {(2 t + 25)}^{\frac{5}{2}} + C}{{(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}}}$

चरण 8.3.2

$\frac{2}{5}$ और ${(2 t + 25)}^{\frac{5}{2}}$ को मिलाएं.

$y = \frac{\frac{2 {(2 t + 25)}^{\frac{5}{2}}}{5} + C}{{(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}}}$

चरण 8.3.3

$C$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{5}{5}$ से गुणा करें.

$y = \frac{\frac{2 {(2 t + 25)}^{\frac{5}{2}}}{5} + C \cdot \frac{5}{5}}{{(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}}}$

चरण 8.3.4

पदों को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.3.4.1

$C$ और $\frac{5}{5}$ को मिलाएं.

$y = \frac{\frac{2 {(2 t + 25)}^{\frac{5}{2}}}{5} + \frac{C \cdot 5}{5}}{{(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}}}$

चरण 8.3.4.2

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$y = \frac{\frac{2 {(2 t + 25)}^{\frac{5}{2}} + C \cdot 5}{5}}{{(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}}}$

चरण 8.3.5

$5$ को $C$ के बाईं ओर ले जाएं.

$y = \frac{\frac{2 {(2 t + 25)}^{\frac{5}{2}} + 5 C}{5}}{{(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}}}$

चरण 8.3.6

भाजक के प्रतिलोम से न्यूमेरेटर को गुणा करें.

$y = \frac{2 {(2 t + 25)}^{\frac{5}{2}} + 5 C}{5} \cdot \frac{1}{{(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}}}$

चरण 8.3.7

$\frac{2 {(2 t + 25)}^{\frac{5}{2}} + 5 C}{5}$ को $\frac{1}{{(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}}}$ से गुणा करें.

$y = \frac{2 {(2 t + 25)}^{\frac{5}{2}} + 5 C}{5 {(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}}}$