कैलकुलस उदाहरण

$\frac{d y}{d x} = \frac{6 x^{2} y}{e^{2 - x^{3}}}$ , $y (0) = 1$

चरण 1

चरों को अलग करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

गुणनखंडों को पुनर्समूहन करें

$\frac{d y}{d x} = \frac{6 x^{2}}{e^{2 - x^{3}}} y$

चरण 1.2

दोनों पक्षों को $\frac{1}{y}$ से गुणा करें.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (\frac{6 x^{2}}{e^{2 - x^{3}}} y)$

चरण 1.3

$y$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.3.1

$\frac{6 x^{2}}{e^{2 - x^{3}}} y$ में से $y$ का गुणनखंड करें.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (y \frac{6 x^{2}}{e^{2 - x^{3}}})$

चरण 1.3.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (y \frac{6 x^{2}}{e^{2 - x^{3}}})$

चरण 1.3.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{6 x^{2}}{e^{2 - x^{3}}}$

चरण 1.4

समीकरण को फिर से लिखें.

$\frac{1}{y} d y = \frac{6 x^{2}}{e^{2 - x^{3}}} d x$

चरण 2

दोनों पक्षों को समाकलित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

प्रत्येक पक्ष का एक समाकलन सेट करें.

$\int \frac{1}{y} d y = \int \frac{6 x^{2}}{e^{2 - x^{3}}} d x$

चरण 2.2

$y$ के संबंध में $\frac{1}{y}$ का इंटीग्रल $\ln (| y |)$ है.

$\ln (| y |) + C_{1} = \int \frac{6 x^{2}}{e^{2 - x^{3}}} d x$

चरण 2.3

दाएं पक्ष का समाकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.1

चूँकि $6$ बटे $x$ अचर है, $6$ को समाकलन से हटा दें.

$\ln (| y |) + C_{1} = 6 \int \frac{x^{2}}{e^{2 - x^{3}}} d x$

चरण 2.3.2

व्यंजक को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.2.1

$e^{2 - x^{3}}$ के घातांक को नकारें और भाजक से बाहर निकालें.

$\ln (| y |) + C_{1} = 6 \int x^{2} {(e^{2 - x^{3}})}^{- 1} d x$

चरण 2.3.2.2

घातांक को ${(e^{2 - x^{3}})}^{- 1}$ में गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.2.2.1

घात नियम लागू करें और घातांक गुणा करें, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = 6 \int x^{2} e^{(2 - x^{3}) \cdot - 1} d x$

चरण 2.3.2.2.2

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\ln (| y |) + C_{1} = 6 \int x^{2} e^{2 \cdot - 1 - x^{3} \cdot - 1} d x$

चरण 2.3.2.2.3

$2$ को $- 1$ से गुणा करें.

$\ln (| y |) + C_{1} = 6 \int x^{2} e^{- 2 - x^{3} \cdot - 1} d x$

चरण 2.3.2.2.4

$- x^{3} \cdot - 1$ गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.2.2.4.1

$- 1$ को $- 1$ से गुणा करें.

$\ln (| y |) + C_{1} = 6 \int x^{2} e^{- 2 + 1 x^{3}} d x$

चरण 2.3.2.2.4.2

$x^{3}$ को $1$ से गुणा करें.

$\ln (| y |) + C_{1} = 6 \int x^{2} e^{- 2 + x^{3}} d x$

चरण 2.3.3

मान लीजिए $u = - 2 + x^{3}$ .फिर $d u = 3 x^{2} d x$ , तो $\frac{1}{3} d u = x^{2} d x$ . $u$ और $d$ $u$ का उपयोग करके फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.3.1

मान लें $u = - 2 + x^{3}$ . $\frac{d u}{d x}$ ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.3.1.1

$- 2 + x^{3}$ को अवकलित करें.

$\frac{d}{d x} [- 2 + x^{3}]$

चरण 2.3.3.1.2

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $- 2 + x^{3}$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [- 2] + \frac{d}{d x} [x^{3}]$ है.

$\frac{d}{d x} [- 2] + \frac{d}{d x} [x^{3}]$

चरण 2.3.3.1.3

चूंकि $x$ के संबंध में $- 2$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $- 2$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$0 + \frac{d}{d x} [x^{3}]$

चरण 2.3.3.1.4

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 3$ है.

$0 + 3 x^{2}$

चरण 2.3.3.1.5

$0$ और $3 x^{2}$ जोड़ें.

$3 x^{2}$

चरण 2.3.3.2

$u$ और $d u$ का उपयोग करके समस्या को फिर से लिखें.

$\ln (| y |) + C_{1} = 6 \int e^{u} \frac{1}{3} d u$

चरण 2.3.4

$e^{u}$ और $\frac{1}{3}$ को मिलाएं.

$\ln (| y |) + C_{1} = 6 \int \frac{e^{u}}{3} d u$

चरण 2.3.5

चूँकि $\frac{1}{3}$ बटे $u$ अचर है, $\frac{1}{3}$ को समाकलन से हटा दें.

$\ln (| y |) + C_{1} = 6 (\frac{1}{3} \int e^{u} d u)$

चरण 2.3.6

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.6.1

$\frac{1}{3}$ और $6$ को मिलाएं.

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{6}{3} \int e^{u} d u$

चरण 2.3.6.2

$6$ और $3$ के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.6.2.1

$6$ में से $3$ का गुणनखंड करें.

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{3 \cdot 2}{3} \int e^{u} d u$

चरण 2.3.6.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.6.2.2.1

$3$ में से $3$ का गुणनखंड करें.

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{3 \cdot 2}{3 (1)} \int e^{u} d u$

चरण 2.3.6.2.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{3 \cdot 2}{3 \cdot 1} \int e^{u} d u$

चरण 2.3.6.2.2.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{2}{1} \int e^{u} d u$

चरण 2.3.6.2.2.4

$2$ को $1$ से विभाजित करें.

$\ln (| y |) + C_{1} = 2 \int e^{u} d u$

चरण 2.3.7

$u$ के संबंध में $e^{u}$ का इंटीग्रल $e^{u}$ है.

$\ln (| y |) + C_{1} = 2 (e^{u} + C_{2})$

चरण 2.3.8

सरल करें.

$\ln (| y |) + C_{1} = 2 e^{u} + C_{2}$

चरण 2.3.9

$u$ की सभी घटनाओं को $- 2 + x^{3}$ से बदलें.

$\ln (| y |) + C_{1} = 2 e^{- 2 + x^{3}} + C_{2}$

चरण 2.4

समाकलन के स्थिरांक को दाईं ओर $C$ के रूप में समूहित करें.

$\ln (| y |) = 2 e^{- 2 + x^{3}} + C$

चरण 3

$y$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

$y$ के लिए हल करने के लिए, लघुगणक के गुणों का उपयोग करके समीकरण को फिर से लिखें.

$e^{\ln (| y |)} = e^{2 e^{- 2 + x^{3}} + C}$

चरण 3.2

लघुगणक की परिभाषा का उपयोग करते हुए $\ln (| y |) = 2 e^{- 2 + x^{3}} + C$ को घातीय रूप में फिर से लिखें. अगर $x$ और $b$ धनात्मक वास्तविक संख्याएं हैं और $b \neq 1$ , तो $\log_{b} (x) = y$ $b^{y} = x$ के बराबर है.

$e^{2 e^{- 2 + x^{3}} + C} = | y |$

चरण 3.3

$y$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.3.1

समीकरण को $| y | = e^{2 e^{- 2 + x^{3}} + C}$ के रूप में फिर से लिखें.

$| y | = e^{2 e^{- 2 + x^{3}} + C}$

चरण 3.3.2

निरपेक्ष मान पद को हटा दें. यह समीकरण के दाएं पक्ष की ओर एक $\pm$ बनाता है जो $| x | = \pm x$ है.

$y = \pm e^{2 e^{- 2 + x^{3}} + C}$

चरण 4

स्थिर पदों को एक साथ समूहित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1

$e^{2 e^{- 2 + x^{3}} + C}$ को $e^{2 e^{- 2 + x^{3}}} e^{C}$ के रूप में फिर से लिखें.

$y = \pm e^{2 e^{- 2 + x^{3}}} e^{C}$

चरण 4.2

$e^{2 e^{- 2 + x^{3}}}$ और $e^{C}$ को पुन: क्रमित करें.

$y = \pm e^{C} e^{2 e^{- 2 + x^{3}}}$

चरण 4.3

प्लस या माइनस के साथ स्थिरांक मिलाएं.

$y = C e^{2 e^{- 2 + x^{3}}}$

चरण 5

$x$ के लिए $0$ और $y = C e^{2 e^{- 2 + x^{3}}}$ में $y$ के लिए $1$ को प्रतिस्थापित करके $C$ का मान ज्ञात करने के लिए प्रारंभिक शर्त का उपयोग करें.

$1 = C e^{2 e^{- 2 + 0^{3}}}$

चरण 6

$C$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1

समीकरण को $C e^{2 e^{- 2 + 0^{3}}} = 1$ के रूप में फिर से लिखें.

$C e^{2 e^{- 2 + 0^{3}}} = 1$

चरण 6.2

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.1

$0$ को किसी भी धनात्मक घात तक बढ़ाने से $0$ प्राप्त होता है.

$C e^{2 e^{- 2 + 0}} = 1$

चरण 6.2.2

$- 2$ और $0$ जोड़ें.

$C e^{2 e^{- 2}} = 1$

चरण 6.2.3

ऋणात्मक घातांक नियम $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ का प्रयोग करके व्यंजक को फिर से लिखें.

$C e^{2 \frac{1}{e^{2}}} = 1$

चरण 6.2.4

$2$ और $\frac{1}{e^{2}}$ को मिलाएं.

$C e^{\frac{2}{e^{2}}} = 1$

चरण 6.3

$C e^{\frac{2}{e^{2}}} = 1$ के प्रत्येक पद को $e^{\frac{2}{e^{2}}}$ से भाग दें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.3.1

$C e^{\frac{2}{e^{2}}} = 1$ के प्रत्येक पद को $e^{\frac{2}{e^{2}}}$ से विभाजित करें.

$\frac{C e^{\frac{2}{e^{2}}}}{e^{\frac{2}{e^{2}}}} = \frac{1}{e^{\frac{2}{e^{2}}}}$

चरण 6.3.2

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.3.2.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{C e^{\frac{2}{e^{2}}}}{e^{\frac{2}{e^{2}}}} = \frac{1}{e^{\frac{2}{e^{2}}}}$

चरण 6.3.2.2

$C$ को $1$ से विभाजित करें.

$C = \frac{1}{e^{\frac{2}{e^{2}}}}$

चरण 7

$\frac{1}{e^{\frac{2}{e^{2}}}}$ को $y = C e^{2 e^{- 2 + x^{3}}}$ में $C$ के स्थान पर प्रतिस्थापित करें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.1

$\frac{1}{e^{\frac{2}{e^{2}}}}$ को $C$ से प्रतिस्थापित करें.

$y = \frac{1}{e^{\frac{2}{e^{2}}}} e^{2 e^{- 2 + x^{3}}}$

चरण 7.2

$\frac{1}{e^{\frac{2}{e^{2}}}}$ और $e^{2 e^{- 2 + x^{3}}}$ को मिलाएं.

$y = \frac{e^{2 e^{- 2 + x^{3}}}}{e^{\frac{2}{e^{2}}}}$

चरण 7.3

$e^{2 e^{- 2 + x^{3}}}$ में से $e^{\frac{2}{e^{2}}}$ का गुणनखंड करें.

$y = \frac{e^{\frac{2}{e^{2}}} e^{\frac{2 e^{- 2 + x^{3}} e^{2} - 2}{e^{2}}}}{e^{\frac{2}{e^{2}}}}$

चरण 7.4

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.4.1

$1$ से गुणा करें.

$y = \frac{e^{\frac{2}{e^{2}}} e^{\frac{2 e^{- 2 + x^{3}} e^{2} - 2}{e^{2}}}}{e^{\frac{2}{e^{2}}} \cdot 1}$

चरण 7.4.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$y = \frac{e^{\frac{2}{e^{2}}} e^{\frac{2 e^{- 2 + x^{3}} e^{2} - 2}{e^{2}}}}{e^{\frac{2}{e^{2}}} \cdot 1}$

चरण 7.4.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$y = \frac{e^{\frac{2 e^{- 2 + x^{3}} e^{2} - 2}{e^{2}}}}{1}$

चरण 7.4.4

$e^{\frac{2 e^{- 2 + x^{3}} e^{2} - 2}{e^{2}}}$ को $1$ से विभाजित करें.

$y = e^{\frac{2 e^{- 2 + x^{3}} e^{2} - 2}{e^{2}}}$

चरण 7.5

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.5.1

$2 e^{- 2 + x^{3}} e^{2} - 2$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.5.1.1

$2 e^{- 2 + x^{3}} e^{2}$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$y = e^{\frac{2 (e^{- 2 + x^{3}} e^{2}) - 2}{e^{2}}}$

चरण 7.5.1.2

$- 2$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$y = e^{\frac{2 (e^{- 2 + x^{3}} e^{2}) + 2 (- 1)}{e^{2}}}$

चरण 7.5.1.3

$2 (e^{- 2 + x^{3}} e^{2}) + 2 (- 1)$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$y = e^{\frac{2 (e^{- 2 + x^{3}} e^{2} - 1)}{e^{2}}}$

चरण 7.5.2

घातांक जोड़कर $e^{- 2 + x^{3}}$ को $e^{2}$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.5.2.1

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$y = e^{\frac{2 (e^{- 2 + x^{3} + 2} - 1)}{e^{2}}}$

चरण 7.5.2.2

$- 2 + x^{3} + 2$ में विपरीत पदों को मिलाएं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.5.2.2.1

$- 2$ और $2$ जोड़ें.

$y = e^{\frac{2 (e^{x^{3} + 0} - 1)}{e^{2}}}$

चरण 7.5.2.2.2

$x^{3}$ और $0$ जोड़ें.

$y = e^{\frac{2 (e^{x^{3}} - 1)}{e^{2}}}$