कैलकुलस उदाहरण

$\frac{d y}{d t} = (t + 1) \sin^{2} (2 t)$

चरण 1

समीकरण को फिर से लिखें.

$d y = (t + 1) \sin^{2} (2 t) d t$

चरण 2

दोनों पक्षों को समाकलित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

प्रत्येक पक्ष का एक समाकलन सेट करें.

$\int d y = \int (t + 1) \sin^{2} (2 t) d t$

चरण 2.2

स्थिरांक नियम लागू करें.

$y + C_{1} = \int (t + 1) \sin^{2} (2 t) d t$

चरण 2.3

दाएं पक्ष का समाकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.1

$\int u d v = u v - \int v d u$ , जहां $u = t + 1$ और $d v = \sin^{2} (2 t)$ सूत्र का उपयोग करके भागों द्वारा एकीकृत करें.

$y + C_{1} = (t + 1) (\frac{1}{2} t - \frac{1}{8} \sin (4 t)) - \int \frac{1}{2} t - \frac{1}{8} \sin (4 t) d t$

चरण 2.3.2

एकल समाकलन को कई समाकलन में विभाजित करें.

$y + C_{1} = (t + 1) (\frac{1}{2} t - \frac{1}{8} \sin (4 t)) - (\int \frac{1}{2} t d t + \int - \frac{1}{8} \sin (4 t) d t)$

चरण 2.3.3

चूँकि $\frac{1}{2}$ बटे $t$ अचर है, $\frac{1}{2}$ को समाकलन से हटा दें.

$y + C_{1} = (t + 1) (\frac{1}{2} t - \frac{1}{8} \sin (4 t)) - (\frac{1}{2} \int t d t + \int - \frac{1}{8} \sin (4 t) d t)$

चरण 2.3.4

घात नियम के अनुसार, $t$ के संबंध में $t$ का समाकलन $\frac{1}{2} t^{2}$ है.

$y + C_{1} = (t + 1) (\frac{1}{2} t - \frac{1}{8} \sin (4 t)) - (\frac{1}{2} (\frac{1}{2} t^{2} + C_{2}) + \int - \frac{1}{8} \sin (4 t) d t)$

चरण 2.3.5

चूँकि $- \frac{1}{8}$ बटे $t$ अचर है, $- \frac{1}{8}$ को समाकलन से हटा दें.

$y + C_{1} = (t + 1) (\frac{1}{2} t - \frac{1}{8} \sin (4 t)) - (\frac{1}{2} (\frac{1}{2} t^{2} + C_{2}) - \frac{1}{8} \int \sin (4 t) d t)$

चरण 2.3.6

मान लीजिए $u = 4 t$ .फिर $d u = 4 d t$ , तो $\frac{1}{4} d u = d t$ . $u$ और $d$ $u$ का उपयोग करके फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.6.1

मान लें $u = 4 t$ . $\frac{d u}{d t}$ ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.6.1.1

$4 t$ को अवकलित करें.

$\frac{d}{d t} [4 t]$

चरण 2.3.6.1.2

चूंकि $4$ , $t$ के संबंध में स्थिर है, $t$ के संबंध में $4 t$ का व्युत्पन्न $4 \frac{d}{d t} [t]$ है.

$4 \frac{d}{d t} [t]$

चरण 2.3.6.1.3

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ $n t^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$4 \cdot 1$

चरण 2.3.6.1.4

$4$ को $1$ से गुणा करें.

$4$

चरण 2.3.6.2

$u$ और $d u$ का उपयोग करके समस्या को फिर से लिखें.

$y + C_{1} = (t + 1) (\frac{1}{2} t - \frac{1}{8} \sin (4 t)) - (\frac{1}{2} (\frac{1}{2} t^{2} + C_{2}) - \frac{1}{8} \int \sin (u) \frac{1}{4} d u)$

चरण 2.3.7

चूँकि $\frac{1}{4}$ बटे $u$ अचर है, $\frac{1}{4}$ को समाकलन से हटा दें.

$y + C_{1} = (t + 1) (\frac{1}{2} t - \frac{1}{8} \sin (4 t)) - (\frac{1}{2} (\frac{1}{2} t^{2} + C_{2}) - \frac{1}{8} (\frac{1}{4} \int \sin (u) d u))$

चरण 2.3.8

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.8.1

$\frac{1}{2}$ और $t$ को मिलाएं.

$y + C_{1} = (t + 1) (\frac{t}{2} - \frac{1}{8} \sin (4 t)) - (\frac{1}{2} (\frac{1}{2} t^{2} + C_{2}) - \frac{1}{8} (\frac{1}{4} \int \sin (u) d u))$

चरण 2.3.8.2

$\sin (4 t)$ और $\frac{1}{8}$ को मिलाएं.

$y + C_{1} = (t + 1) (\frac{t}{2} - \frac{\sin (4 t)}{8}) - (\frac{1}{2} (\frac{1}{2} t^{2} + C_{2}) - \frac{1}{8} (\frac{1}{4} \int \sin (u) d u))$

चरण 2.3.9

$u$ के संबंध में $\sin (u)$ का इंटीग्रल $- \cos (u)$ है.

$y + C_{1} = (t + 1) (\frac{t}{2} - \frac{\sin (4 t)}{8}) - (\frac{1}{2} (\frac{1}{2} t^{2} + C_{2}) - \frac{1}{8} (\frac{1}{4} (- \cos (u) + C_{3})))$

चरण 2.3.10

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.10.1

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.10.1.1

$\frac{1}{4}$ को $\frac{1}{8}$ से गुणा करें.

$y + C_{1} = (t + 1) (\frac{t}{2} - \frac{\sin (4 t)}{8}) - (\frac{1}{2} (\frac{1}{2} t^{2} + C_{2}) - \frac{1}{4 \cdot 8} (- \cos (u) + C_{3}))$

चरण 2.3.10.1.2

$4$ को $8$ से गुणा करें.

$y + C_{1} = (t + 1) (\frac{t}{2} - \frac{\sin (4 t)}{8}) - (\frac{1}{2} (\frac{1}{2} t^{2} + C_{2}) - \frac{1}{32} (- \cos (u) + C_{3}))$

चरण 2.3.10.1.3

$\frac{1}{2}$ और $t^{2}$ को मिलाएं.

$y + C_{1} = (t + 1) (\frac{t}{2} - \frac{\sin (4 t)}{8}) - (\frac{1}{2} (\frac{t^{2}}{2} + C_{2}) - \frac{1}{32} (- \cos (u) + C_{3}))$

चरण 2.3.10.2

सरल करें.

$y + C_{1} = \frac{t^{2}}{2} - \frac{\sin (4 t) t}{8} + \frac{t}{2} - \frac{\sin (4 t)}{8} - (\frac{1}{2} \cdot \frac{t^{2}}{2} - \frac{1}{32} (- \cos (u))) + C_{4}$

चरण 2.3.10.3

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.10.3.1

$\frac{1}{2}$ को $\frac{t^{2}}{2}$ से गुणा करें.

$y + C_{1} = \frac{t^{2}}{2} - \frac{\sin (4 t) t}{8} + \frac{t}{2} - \frac{\sin (4 t)}{8} - (\frac{t^{2}}{2 \cdot 2} - \frac{1}{32} (- \cos (u))) + C_{4}$

चरण 2.3.10.3.2

$2$ को $2$ से गुणा करें.

$y + C_{1} = \frac{t^{2}}{2} - \frac{\sin (4 t) t}{8} + \frac{t}{2} - \frac{\sin (4 t)}{8} - (\frac{t^{2}}{4} - \frac{1}{32} (- \cos (u))) + C_{4}$

चरण 2.3.10.3.3

$- 1$ को $- 1$ से गुणा करें.

$y + C_{1} = \frac{t^{2}}{2} - \frac{\sin (4 t) t}{8} + \frac{t}{2} - \frac{\sin (4 t)}{8} - (\frac{t^{2}}{4} + 1 (\frac{1}{32}) \cos (u)) + C_{4}$

चरण 2.3.10.3.4

$\frac{1}{32}$ को $1$ से गुणा करें.

$y + C_{1} = \frac{t^{2}}{2} - \frac{\sin (4 t) t}{8} + \frac{t}{2} - \frac{\sin (4 t)}{8} - (\frac{t^{2}}{4} + \frac{1}{32} \cos (u)) + C_{4}$

चरण 2.3.10.3.5

$\frac{1}{32}$ और $\cos (u)$ को मिलाएं.

$y + C_{1} = \frac{t^{2}}{2} - \frac{\sin (4 t) t}{8} + \frac{t}{2} - \frac{\sin (4 t)}{8} - (\frac{t^{2}}{4} + \frac{\cos (u)}{32}) + C_{4}$

चरण 2.3.10.3.6

$- (\frac{t^{2}}{4} + \frac{\cos (u)}{32})$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{8}{8}$ से गुणा करें.

$y + C_{1} = \frac{t^{2}}{2} - \frac{\sin (4 t) t}{8} - (\frac{t^{2}}{4} + \frac{\cos (u)}{32}) \cdot \frac{8}{8} + \frac{t}{2} - \frac{\sin (4 t)}{8} + C_{4}$

चरण 2.3.10.3.7

$- (\frac{t^{2}}{4} + \frac{\cos (u)}{32})$ और $\frac{8}{8}$ को मिलाएं.

$y + C_{1} = \frac{t^{2}}{2} - \frac{\sin (4 t) t}{8} + \frac{- (\frac{t^{2}}{4} + \frac{\cos (u)}{32}) \cdot 8}{8} + \frac{t}{2} - \frac{\sin (4 t)}{8} + C_{4}$

चरण 2.3.10.3.8

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$y + C_{1} = \frac{t^{2}}{2} + \frac{- \sin (4 t) t - (\frac{t^{2}}{4} + \frac{\cos (u)}{32}) \cdot 8}{8} + \frac{t}{2} - \frac{\sin (4 t)}{8} + C_{4}$

चरण 2.3.10.3.9

$8$ को $- 1$ से गुणा करें.

$y + C_{1} = \frac{t^{2}}{2} + \frac{- \sin (4 t) t - 8 (\frac{t^{2}}{4} + \frac{\cos (u)}{32})}{8} + \frac{t}{2} - \frac{\sin (4 t)}{8} + C_{4}$

चरण 2.3.11

$u$ की सभी घटनाओं को $4 t$ से बदलें.

$y + C_{1} = \frac{t^{2}}{2} + \frac{- \sin (4 t) t - 8 (\frac{t^{2}}{4} + \frac{\cos (4 t)}{32})}{8} + \frac{t}{2} - \frac{\sin (4 t)}{8} + C_{4}$

चरण 2.3.12

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.12.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$y + C_{1} = \frac{t^{2}}{2} + \frac{- \sin (4 t) t - 8 \frac{t^{2}}{4} - 8 \frac{\cos (4 t)}{32}}{8} + \frac{t}{2} - \frac{\sin (4 t)}{8} + C_{4}$

चरण 2.3.12.2

$4$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.12.2.1

$- 8$ में से $4$ का गुणनखंड करें.

$y + C_{1} = \frac{t^{2}}{2} + \frac{- \sin (4 t) t + 4 (- 2) \frac{t^{2}}{4} - 8 \frac{\cos (4 t)}{32}}{8} + \frac{t}{2} - \frac{\sin (4 t)}{8} + C_{4}$

चरण 2.3.12.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$y + C_{1} = \frac{t^{2}}{2} + \frac{- \sin (4 t) t + 4 \cdot - 2 \frac{t^{2}}{4} - 8 \frac{\cos (4 t)}{32}}{8} + \frac{t}{2} - \frac{\sin (4 t)}{8} + C_{4}$

चरण 2.3.12.2.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$y + C_{1} = \frac{t^{2}}{2} + \frac{- \sin (4 t) t - 2 t^{2} - 8 \frac{\cos (4 t)}{32}}{8} + \frac{t}{2} - \frac{\sin (4 t)}{8} + C_{4}$

चरण 2.3.12.3

$8$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.12.3.1

$- 8$ में से $8$ का गुणनखंड करें.

$y + C_{1} = \frac{t^{2}}{2} + \frac{- \sin (4 t) t - 2 t^{2} + 8 (- 1) \frac{\cos (4 t)}{32}}{8} + \frac{t}{2} - \frac{\sin (4 t)}{8} + C_{4}$

चरण 2.3.12.3.2

$32$ में से $8$ का गुणनखंड करें.

$y + C_{1} = \frac{t^{2}}{2} + \frac{- \sin (4 t) t - 2 t^{2} + 8 \cdot - 1 \frac{\cos (4 t)}{8 \cdot 4}}{8} + \frac{t}{2} - \frac{\sin (4 t)}{8} + C_{4}$

चरण 2.3.12.3.3

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$y + C_{1} = \frac{t^{2}}{2} + \frac{- \sin (4 t) t - 2 t^{2} + 8 \cdot - 1 \frac{\cos (4 t)}{8 \cdot 4}}{8} + \frac{t}{2} - \frac{\sin (4 t)}{8} + C_{4}$

चरण 2.3.12.3.4

व्यंजक को फिर से लिखें.

$y + C_{1} = \frac{t^{2}}{2} + \frac{- \sin (4 t) t - 2 t^{2} - \frac{\cos (4 t)}{4}}{8} + \frac{t}{2} - \frac{\sin (4 t)}{8} + C_{4}$

चरण 2.3.13

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.13.1

$- \sin (4 t) t$ में से $- 1$ का गुणनखंड करें.

$y + C_{1} = \frac{t^{2}}{2} + \frac{- (\sin (4 t) t) - 2 t^{2} - \frac{\cos (4 t)}{4}}{8} + \frac{t}{2} - \frac{\sin (4 t)}{8} + C_{4}$

चरण 2.3.13.2

$- 2 t^{2}$ में से $- 1$ का गुणनखंड करें.

$y + C_{1} = \frac{t^{2}}{2} + \frac{- (\sin (4 t) t) - (2 t^{2}) - \frac{\cos (4 t)}{4}}{8} + \frac{t}{2} - \frac{\sin (4 t)}{8} + C_{4}$

चरण 2.3.13.3

$- (\sin (4 t) t) - (2 t^{2})$ में से $- 1$ का गुणनखंड करें.

$y + C_{1} = \frac{t^{2}}{2} + \frac{- (\sin (4 t) t + 2 t^{2}) - \frac{\cos (4 t)}{4}}{8} + \frac{t}{2} - \frac{\sin (4 t)}{8} + C_{4}$

चरण 2.3.13.4

$- \frac{\cos (4 t)}{4}$ में से $- 1$ का गुणनखंड करें.

$y + C_{1} = \frac{t^{2}}{2} + \frac{- (\sin (4 t) t + 2 t^{2}) - (\frac{\cos (4 t)}{4})}{8} + \frac{t}{2} - \frac{\sin (4 t)}{8} + C_{4}$

चरण 2.3.13.5

$- (\sin (4 t) t + 2 t^{2}) - (\frac{\cos (4 t)}{4})$ में से $- 1$ का गुणनखंड करें.

$y + C_{1} = \frac{t^{2}}{2} + \frac{- (\sin (4 t) t + 2 t^{2} + \frac{\cos (4 t)}{4})}{8} + \frac{t}{2} - \frac{\sin (4 t)}{8} + C_{4}$

चरण 2.3.13.6

$- (\sin (4 t) t + 2 t^{2} + \frac{\cos (4 t)}{4})$ को $- 1 (\sin (4 t) t + 2 t^{2} + \frac{\cos (4 t)}{4})$ के रूप में फिर से लिखें.

$y + C_{1} = \frac{t^{2}}{2} + \frac{- 1 (\sin (4 t) t + 2 t^{2} + \frac{\cos (4 t)}{4})}{8} + \frac{t}{2} - \frac{\sin (4 t)}{8} + C_{4}$

चरण 2.3.13.7

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$y + C_{1} = \frac{t^{2}}{2} - \frac{\sin (4 t) t + 2 t^{2} + \frac{\cos (4 t)}{4}}{8} + \frac{t}{2} - \frac{\sin (4 t)}{8} + C_{4}$

चरण 2.3.13.8

गुणनखंडों को $- \frac{\sin (4 t) t + 2 t^{2} + \frac{\cos (4 t)}{4}}{8}$ में पुन: क्रमित करें.

$y + C_{1} = \frac{t^{2}}{2} - \frac{t \sin (4 t) + 2 t^{2} + \frac{\cos (4 t)}{4}}{8} + \frac{t}{2} - \frac{\sin (4 t)}{8} + C_{4}$

चरण 2.3.13.9

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$y + C_{1} = \frac{1}{2} t^{2} - \frac{1}{8} (t \sin (4 t) + 2 t^{2} + \frac{1}{4} \cos (4 t)) + \frac{1}{2} t - \frac{1}{8} \sin (4 t) + C_{4}$

चरण 2.4

समाकलन के स्थिरांक को दाईं ओर $K$ के रूप में समूहित करें.

$y = \frac{1}{2} t^{2} - \frac{1}{8} (t \sin (4 t) + 2 t^{2} + \frac{1}{4} \cos (4 t)) + \frac{1}{2} t - \frac{1}{8} \sin (4 t) + K$