कैलकुलस उदाहरण

$\frac{d y}{d x} = \frac{y - 1}{x + 3}$ , $y (- 1) = 0$

चरण 1

चरों को अलग करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

दोनों पक्षों को $\frac{1}{y - 1}$ से गुणा करें.

$\frac{1}{y - 1} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y - 1} \cdot \frac{y - 1}{x + 3}$

चरण 1.2

$y - 1$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{1}{y - 1} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y - 1} \cdot \frac{y - 1}{x + 3}$

चरण 1.2.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{1}{y - 1} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{x + 3}$

चरण 1.3

समीकरण को फिर से लिखें.

$\frac{1}{y - 1} d y = \frac{1}{x + 3} d x$

चरण 2

दोनों पक्षों को समाकलित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

प्रत्येक पक्ष का एक समाकलन सेट करें.

$\int \frac{1}{y - 1} d y = \int \frac{1}{x + 3} d x$

चरण 2.2

बाएं पक्ष का समाकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.1

मान लीजिए $u_{1} = y - 1$ . फिर $d u_{1} = d y$ . $u_{1}$ और $d$ $u_{1}$ का उपयोग करके फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.1.1

मान लें $u_{1} = y - 1$ . $\frac{d u_{1}}{d y}$ ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.1.1.1

$y - 1$ को अवकलित करें.

$\frac{d}{d y} [y - 1]$

चरण 2.2.1.1.2

योग नियम के अनुसार, $y$ के संबंध में $y - 1$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 1]$ है.

$\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 1]$

चरण 2.2.1.1.3

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ $n y^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$1 + \frac{d}{d y} [- 1]$

चरण 2.2.1.1.4

चूंकि $y$ के संबंध में $- 1$ स्थिर है, $y$ के संबंध में $- 1$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$1 + 0$

चरण 2.2.1.1.5

$1$ और $0$ जोड़ें.

$1$

चरण 2.2.1.2

$u_{1}$ और $d u_{1}$ का उपयोग करके समस्या को फिर से लिखें.

$\int \frac{1}{u_{1}} d u_{1} = \int \frac{1}{x + 3} d x$

चरण 2.2.2

$u_{1}$ के संबंध में $\frac{1}{u_{1}}$ का इंटीग्रल $\ln (| u_{1} |)$ है.

$\ln (| u_{1} |) + C_{1} = \int \frac{1}{x + 3} d x$

चरण 2.2.3

$u_{1}$ की सभी घटनाओं को $y - 1$ से बदलें.

$\ln (| y - 1 |) + C_{1} = \int \frac{1}{x + 3} d x$

चरण 2.3

दाएं पक्ष का समाकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.1

मान लीजिए $u_{2} = x + 3$ . फिर $d u_{2} = d x$ . $u_{2}$ और $d$ $u_{2}$ का उपयोग करके फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.1.1

मान लें $u_{2} = x + 3$ . $\frac{d u_{2}}{d x}$ ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.1.1.1

$x + 3$ को अवकलित करें.

$\frac{d}{d x} [x + 3]$

चरण 2.3.1.1.2

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x + 3$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$ है.

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$

चरण 2.3.1.1.3

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$1 + \frac{d}{d x} [3]$

चरण 2.3.1.1.4

चूंकि $x$ के संबंध में $3$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $3$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$1 + 0$

चरण 2.3.1.1.5

$1$ और $0$ जोड़ें.

$1$

चरण 2.3.1.2

$u_{2}$ और $d u_{2}$ का उपयोग करके समस्या को फिर से लिखें.

$\ln (| y - 1 |) + C_{1} = \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

चरण 2.3.2

$u_{2}$ के संबंध में $\frac{1}{u_{2}}$ का इंटीग्रल $\ln (| u_{2} |)$ है.

$\ln (| y - 1 |) + C_{1} = \ln (| u_{2} |) + C_{2}$

चरण 2.3.3

$u_{2}$ की सभी घटनाओं को $x + 3$ से बदलें.

$\ln (| y - 1 |) + C_{1} = \ln (| x + 3 |) + C_{2}$

चरण 2.4

समाकलन के स्थिरांक को दाईं ओर $C$ के रूप में समूहित करें.

$\ln (| y - 1 |) = \ln (| x + 3 |) + C$

चरण 3

$y$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

लघुगणक वाले सभी पदों को समीकरण के बाईं पक्ष की ओर ले जाएँ.

$\ln (| y - 1 |) - \ln (| x + 3 |) = C$

चरण 3.2

लघुगणक के भागफल गुण $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ का प्रयोग करें.

$\ln (\frac{| y - 1 |}{| x + 3 |}) = C$

चरण 3.3

$y$ के लिए हल करने के लिए, लघुगणक के गुणों का उपयोग करके समीकरण को फिर से लिखें.

$e^{\ln (\frac{| y - 1 |}{| x + 3 |})} = e^{C}$

चरण 3.4

लघुगणक की परिभाषा का उपयोग करते हुए $\ln (\frac{| y - 1 |}{| x + 3 |}) = C$ को घातीय रूप में फिर से लिखें. अगर $x$ और $b$ धनात्मक वास्तविक संख्याएं हैं और $b \neq 1$ , तो $\log_{b} (x) = y$ $b^{y} = x$ के बराबर है.

$e^{C} = \frac{| y - 1 |}{| x + 3 |}$

चरण 3.5

$y$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.5.1

समीकरण को $\frac{| y - 1 |}{| x + 3 |} = e^{C}$ के रूप में फिर से लिखें.

$\frac{| y - 1 |}{| x + 3 |} = e^{C}$

चरण 3.5.2

दोनों पक्षों को $| x + 3 |$ से गुणा करें.

$\frac{| y - 1 |}{| x + 3 |} | x + 3 | = e^{C} | x + 3 |$

चरण 3.5.3

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.5.3.1

$| x + 3 |$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.5.3.1.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{| y - 1 |}{| x + 3 |} | x + 3 | = e^{C} | x + 3 |$

चरण 3.5.3.1.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$| y - 1 | = e^{C} | x + 3 |$

चरण 3.5.4

$y$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.5.4.1

गुणनखंडों को $e^{C} | x + 3 |$ में पुन: क्रमित करें.

$| y - 1 | = | x + 3 | e^{C}$

चरण 3.5.4.2

निरपेक्ष मान पद को हटा दें. यह समीकरण के दाएं पक्ष की ओर एक $\pm$ बनाता है जो $| x | = \pm x$ है.

$y - 1 = \pm | x + 3 | e^{C}$

चरण 3.5.4.3

गुणनखंडों को $\pm | x + 3 | e^{C}$ में पुन: क्रमित करें.

$y - 1 = \pm e^{C} | x + 3 |$

चरण 3.5.4.4

समीकरण के दोनों पक्षों में $1$ जोड़ें.

$y = \pm e^{C} | x + 3 | + 1$

चरण 4

स्थिर पदों को एक साथ समूहित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1

समाकलन की संतति को सरल करें.

$y = \pm C | x + 3 | + 1$

चरण 4.2

प्लस या माइनस के साथ स्थिरांक मिलाएं.

$y = C | x + 3 | + 1$

चरण 5

$x$ के लिए $- 1$ और $y = C | x + 3 | + 1$ में $y$ के लिए $0$ को प्रतिस्थापित करके $C$ का मान ज्ञात करने के लिए प्रारंभिक शर्त का उपयोग करें.

$0 = C | - 1 + 3 | + 1$

चरण 6

$C$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1

समीकरण को $C | - 1 + 3 | + 1 = 0$ के रूप में फिर से लिखें.

$C | - 1 + 3 | + 1 = 0$

चरण 6.2

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.1

$- 1$ और $3$ जोड़ें.

$C | 2 | + 1 = 0$

चरण 6.2.2

निरपेक्ष मान किसी संख्या और शून्य के बीच की दूरी है. $0$ और $2$ के बीच की दूरी $2$ है.

$C \cdot 2 + 1 = 0$

चरण 6.2.3

$2$ को $C$ के बाईं ओर ले जाएं.

$2 C + 1 = 0$

चरण 6.3

समीकरण के दोनों पक्षों से $1$ घटाएं.

$2 C = - 1$

चरण 6.4

$2 C = - 1$ के प्रत्येक पद को $2$ से भाग दें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.4.1

$2 C = - 1$ के प्रत्येक पद को $2$ से विभाजित करें.

$\frac{2 C}{2} = \frac{- 1}{2}$

चरण 6.4.2

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.4.2.1

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.4.2.1.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{2 C}{2} = \frac{- 1}{2}$

चरण 6.4.2.1.2

$C$ को $1$ से विभाजित करें.

$C = \frac{- 1}{2}$

चरण 6.4.3

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.4.3.1

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$C = - \frac{1}{2}$

चरण 7

$- \frac{1}{2}$ को $y = C | x + 3 | + 1$ में $C$ के स्थान पर प्रतिस्थापित करें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.1

$- \frac{1}{2}$ को $C$ से प्रतिस्थापित करें.

$y = - \frac{1}{2} | x + 3 | + 1$

चरण 7.2

$| x + 3 |$ और $\frac{1}{2}$ को मिलाएं.

$y = - \frac{| x + 3 |}{2} + 1$

चरण 7.3

एक सामान्य भाजक के साथ $1$ को भिन्न के रूप में लिखें.

$y = - \frac{| x + 3 |}{2} + \frac{2}{2}$

चरण 7.4

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$y = \frac{- | x + 3 | + 2}{2}$