कैलकुलस उदाहरण

$(1 + \cos (2 x)) \frac{d y}{d x} = 2$ , $y (\frac{π}{4}) = 1$

चरण 1

चरों को अलग करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

$(1 + \cos (2 x)) \frac{d y}{d x} = 2$ के प्रत्येक पद को $1 + \cos (2 x)$ से भाग दें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.1

$(1 + \cos (2 x)) \frac{d y}{d x} = 2$ के प्रत्येक पद को $1 + \cos (2 x)$ से विभाजित करें.

$\frac{(1 + \cos (2 x)) \frac{d y}{d x}}{1 + \cos (2 x)} = \frac{2}{1 + \cos (2 x)}$

चरण 1.1.2

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.2.1

$1 + \cos (2 x)$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.2.1.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{(1 + \cos (2 x)) \frac{d y}{d x}}{1 + \cos (2 x)} = \frac{2}{1 + \cos (2 x)}$

चरण 1.1.2.1.2

$\frac{d y}{d x}$ को $1$ से विभाजित करें.

$\frac{d y}{d x} = \frac{2}{1 + \cos (2 x)}$

चरण 1.2

समीकरण को फिर से लिखें.

$d y = \frac{2}{1 + \cos (2 x)} d x$

चरण 2

दोनों पक्षों को समाकलित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

प्रत्येक पक्ष का एक समाकलन सेट करें.

$\int d y = \int \frac{2}{1 + \cos (2 x)} d x$

चरण 2.2

स्थिरांक नियम लागू करें.

$y + C_{1} = \int \frac{2}{1 + \cos (2 x)} d x$

चरण 2.3

दाएं पक्ष का समाकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.1

चूँकि $2$ बटे $x$ अचर है, $2$ को समाकलन से हटा दें.

$y + C_{1} = 2 \int \frac{1}{1 + \cos (2 x)} d x$

चरण 2.3.2

मान लीजिए $u_{1} = 2 x$ .फिर $d u_{1} = 2 d x$ , तो $\frac{1}{2} d u_{1} = d x$ . $u_{1}$ और $d$ $u_{1}$ का उपयोग करके फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.2.1

मान लें $u_{1} = 2 x$ . $\frac{d u_{1}}{d x}$ ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.2.1.1

$2 x$ को अवकलित करें.

$\frac{d}{d x} [2 x]$

चरण 2.3.2.1.2

चूंकि $2$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $2 x$ का व्युत्पन्न $2 \frac{d}{d x} [x]$ है.

$2 \frac{d}{d x} [x]$

चरण 2.3.2.1.3

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$2 \cdot 1$

चरण 2.3.2.1.4

$2$ को $1$ से गुणा करें.

$2$

चरण 2.3.2.2

$u_{1}$ और $d u_{1}$ का उपयोग करके समस्या को फिर से लिखें.

$y + C_{1} = 2 \int \frac{1}{1 + \cos (u_{1})} \cdot \frac{1}{2} d u_{1}$

चरण 2.3.3

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.3.1

$\frac{1}{1 + \cos (u_{1})}$ को $\frac{1}{2}$ से गुणा करें.

$y + C_{1} = 2 \int \frac{1}{(1 + \cos (u_{1})) \cdot 2} d u_{1}$

चरण 2.3.3.2

$2$ को $1 + \cos (u_{1})$ के बाईं ओर ले जाएं.

$y + C_{1} = 2 \int \frac{1}{2 (1 + \cos (u_{1}))} d u_{1}$

चरण 2.3.4

चूँकि $\frac{1}{2}$ बटे $u_{1}$ अचर है, $\frac{1}{2}$ को समाकलन से हटा दें.

$y + C_{1} = 2 (\frac{1}{2} \int \frac{1}{1 + \cos (u_{1})} d u_{1})$

चरण 2.3.5

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.5.1

$\frac{1}{2}$ और $2$ को मिलाएं.

$y + C_{1} = \frac{2}{2} \int \frac{1}{1 + \cos (u_{1})} d u_{1}$

चरण 2.3.5.2

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.5.2.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$y + C_{1} = \frac{2}{2} \int \frac{1}{1 + \cos (u_{1})} d u_{1}$

चरण 2.3.5.2.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$y + C_{1} = 1 \int \frac{1}{1 + \cos (u_{1})} d u_{1}$

चरण 2.3.5.3

$\int \frac{1}{1 + \cos (u_{1})} d u_{1}$ को $1$ से गुणा करें.

$y + C_{1} = \int \frac{1}{1 + \cos (u_{1})} d u_{1}$

चरण 2.3.6

$\cos (x)$ को $\cos^{2} (\frac{x}{2}) - \sin^{2} (\frac{x}{2})$ में बदलने के लिए दोहरा कोण सर्वसमिका का प्रयोग करें.

$y + C_{1} = \int \frac{1}{1 + \cos^{2} (\frac{u_{1}}{2}) - \sin^{2} (\frac{u_{1}}{2})} d u_{1}$

चरण 2.3.7

पाइथागोरस की सर्वसमिका का उपयोग $1$ को $\sin^{2} (\frac{u_{1}}{2}) + \cos^{2} (\frac{u_{1}}{2})$ में बदलने के लिए करें.

$y + C_{1} = \int \frac{1}{\sin^{2} (\frac{u_{1}}{2}) + \cos^{2} (\frac{u_{1}}{2}) + \cos^{2} (\frac{u_{1}}{2}) - \sin^{2} (\frac{u_{1}}{2})} d u_{1}$

चरण 2.3.8

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.8.1

${\sin (\frac{u_{1}}{2})}^{2}$ में से ${\sin (\frac{u_{1}}{2})}^{2}$ घटाएं.

$y + C_{1} = \int \frac{1}{{\cos (\frac{u_{1}}{2})}^{2} + {\cos (\frac{u_{1}}{2})}^{2} + 0} d u_{1}$

चरण 2.3.8.2

${\cos (\frac{u_{1}}{2})}^{2}$ और ${\cos (\frac{u_{1}}{2})}^{2}$ जोड़ें.

$y + C_{1} = \int \frac{1}{2 {\cos (\frac{u_{1}}{2})}^{2} + 0} d u_{1}$

चरण 2.3.8.3

$2 {\cos (\frac{u_{1}}{2})}^{2}$ और $0$ जोड़ें.

$y + C_{1} = \int \frac{1}{2 \cos^{2} (\frac{u_{1}}{2})} d u_{1}$

चरण 2.3.9

तर्क को $\frac{\sec^{2} (\frac{u}{2})}{\sec^{2} (\frac{u}{2})}$ से गुणा करें100

$y + C_{1} = \int \frac{1}{2 \cos^{2} (\frac{u_{1}}{2})} \cdot \frac{\sec^{2} (\frac{u}{2})}{\sec^{2} (\frac{u}{2})} d u_{1}$

चरण 2.3.10

जोड़ना.

$y + C_{1} = \int \frac{1 \sec^{2} (\frac{u}{2})}{2 \cos^{2} (\frac{u_{1}}{2}) \sec^{2} (\frac{u}{2})} d u_{1}$

चरण 2.3.11

${\sec (\frac{u}{2})}^{2}$ को $1$ से गुणा करें.

$y + C_{1} = \int \frac{\sec^{2} (\frac{u}{2})}{2 \cos^{2} (\frac{u_{1}}{2}) \sec^{2} (\frac{u}{2})} d u_{1}$

चरण 2.3.12

ज्या और कोज्या के संदर्भ में $\sec (\frac{u}{2})$ को फिर से लिखें.

$y + C_{1} = \int \frac{\sec^{2} (\frac{u}{2})}{2 \cos^{2} (\frac{u_{1}}{2}) {(\frac{1}{\cos (\frac{u}{2})})}^{2}} d u_{1}$

चरण 2.3.13

उत्पाद नियम को $\frac{1}{\cos (\frac{u}{2})}$ पर लागू करें.

$y + C_{1} = \int \frac{\sec^{2} (\frac{u}{2})}{2 \cos^{2} (\frac{u_{1}}{2}) \frac{1^{2}}{\cos^{2} (\frac{u}{2})}} d u_{1}$

चरण 2.3.14

एक का कोई भी घात एक होता है.

$y + C_{1} = \int \frac{\sec^{2} (\frac{u}{2})}{2 \cos^{2} (\frac{u_{1}}{2}) \frac{1}{\cos^{2} (\frac{u}{2})}} d u_{1}$

चरण 2.3.15

$2 \cos^{2} (\frac{u_{1}}{2}) \frac{1}{\cos^{2} (\frac{u}{2})}$ गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.15.1

$\frac{1}{\cos^{2} (\frac{u}{2})}$ और $2$ को मिलाएं.

$y + C_{1} = \int \frac{\sec^{2} (\frac{u}{2})}{\frac{2}{\cos^{2} (\frac{u}{2})} \cos^{2} (\frac{u_{1}}{2})} d u_{1}$

चरण 2.3.15.2

$\frac{2}{\cos^{2} (\frac{u}{2})}$ और $\cos^{2} (\frac{u_{1}}{2})$ को मिलाएं.

$y + C_{1} = \int \frac{\sec^{2} (\frac{u}{2})}{\frac{2 \cos^{2} (\frac{u_{1}}{2})}{\cos^{2} (\frac{u}{2})}} d u_{1}$

चरण 2.3.16

भाजक के प्रतिलोम से न्यूमेरेटर को गुणा करें.

$y + C_{1} = \int \sec^{2} (\frac{u}{2}) \frac{\cos^{2} (\frac{u}{2})}{2 \cos^{2} (\frac{u_{1}}{2})} d u_{1}$

चरण 2.3.17

ज्या और कोज्या के संदर्भ में $\sec (\frac{u}{2})$ को फिर से लिखें.

$y + C_{1} = \int {(\frac{1}{\cos (\frac{u}{2})})}^{2} \frac{\cos^{2} (\frac{u}{2})}{2 \cos^{2} (\frac{u_{1}}{2})} d u_{1}$

चरण 2.3.18

उत्पाद नियम को $\frac{1}{\cos (\frac{u}{2})}$ पर लागू करें.

$y + C_{1} = \int \frac{1^{2}}{\cos^{2} (\frac{u}{2})} \cdot \frac{\cos^{2} (\frac{u}{2})}{2 \cos^{2} (\frac{u_{1}}{2})} d u_{1}$

चरण 2.3.19

जोड़ना.

$y + C_{1} = \int \frac{1^{2} \cos^{2} (\frac{u}{2})}{\cos^{2} (\frac{u}{2}) (2 \cos^{2} (\frac{u_{1}}{2}))} d u_{1}$

चरण 2.3.20

$\cos^{2} (\frac{u}{2})$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.20.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$y + C_{1} = \int \frac{1^{2} \cos^{2} (\frac{u}{2})}{\cos^{2} (\frac{u}{2}) (2 \cos^{2} (\frac{u_{1}}{2}))} d u_{1}$

चरण 2.3.20.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$y + C_{1} = \int \frac{1^{2}}{2 \cos^{2} (\frac{u_{1}}{2})} d u_{1}$

चरण 2.3.21

एक का कोई भी घात एक होता है.

$y + C_{1} = \int \frac{1}{2 \cos^{2} (\frac{u_{1}}{2})} d u_{1}$

चरण 2.3.22

$1$ से गुणा करें.

$y + C_{1} = \int \frac{1}{2 (\cos^{2} (\frac{u_{1}}{2}) \cdot 1)} d u_{1}$

चरण 2.3.23

अलग-अलग भिन्न

$y + C_{1} = \int \frac{1}{2 \cdot (1)} \cdot \frac{1}{\cos^{2} (\frac{u_{1}}{2})} d u_{1}$

चरण 2.3.24

$\frac{1}{\cos^{2} (\frac{u_{1}}{2})}$ को $\sec^{2} (\frac{u_{1}}{2})$ में बदलें.

$y + C_{1} = \int \frac{1}{2 \cdot (1)} \sec^{2} (\frac{u_{1}}{2}) d u_{1}$

चरण 2.3.25

न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.25.1

$2$ को $1$ से गुणा करें.

$y + C_{1} = \int \frac{1}{2} \sec^{2} (\frac{u_{1}}{2}) d u_{1}$

चरण 2.3.25.2

$\frac{1}{2}$ और $\sec^{2} (\frac{u_{1}}{2})$ को मिलाएं.

$y + C_{1} = \int \frac{\sec^{2} (\frac{u_{1}}{2})}{2} d u_{1}$

चरण 2.3.26

चूँकि $\frac{1}{2}$ बटे $u_{1}$ अचर है, $\frac{1}{2}$ को समाकलन से हटा दें.

$y + C_{1} = \frac{1}{2} \int \sec^{2} (\frac{u_{1}}{2}) d u_{1}$

चरण 2.3.27

मान लीजिए $u_{2} = \frac{u_{1}}{2}$ .फिर $d u_{2} = \frac{1}{2} d u_{1}$ , तो $2 d u_{2} = d u_{1}$ . $u_{2}$ और $d$ $u_{2}$ का उपयोग करके फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.27.1

मान लें $u_{2} = \frac{u_{1}}{2}$ . $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.27.1.1

$\frac{u_{1}}{2}$ को अवकलित करें.

$\frac{d}{d u_{1}} [\frac{u_{1}}{2}]$

चरण 2.3.27.1.2

चूंकि $\frac{1}{2}$ , $u_{1}$ के संबंध में स्थिर है, $u_{1}$ के संबंध में $\frac{u_{1}}{2}$ का व्युत्पन्न $\frac{1}{2} \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$ है.

$\frac{1}{2} \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$

चरण 2.3.27.1.3

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ $n {u_{1}}^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$\frac{1}{2} \cdot 1$

चरण 2.3.27.1.4

$\frac{1}{2}$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{1}{2}$

चरण 2.3.27.2

$u_{2}$ और $d u_{2}$ का उपयोग करके समस्या को फिर से लिखें.

$y + C_{1} = \frac{1}{2} \int \sec^{2} (u_{2}) \frac{1}{\frac{1}{2}} d u_{2}$

चरण 2.3.28

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.28.1

$\frac{1}{2}$ से भाग देने के लिए भिन्न के प्रतिलोम से गुणा करें.

$y + C_{1} = \frac{1}{2} \int \sec^{2} (u_{2}) (1 \cdot 2) d u_{2}$

चरण 2.3.28.2

$2$ को $1$ से गुणा करें.

$y + C_{1} = \frac{1}{2} \int \sec^{2} (u_{2}) \cdot 2 d u_{2}$

चरण 2.3.28.3

$2$ को $\sec^{2} (u_{2})$ के बाईं ओर ले जाएं.

$y + C_{1} = \frac{1}{2} \int 2 \sec^{2} (u_{2}) d u_{2}$

चरण 2.3.29

चूँकि $2$ बटे $u_{2}$ अचर है, $2$ को समाकलन से हटा दें.

$y + C_{1} = \frac{1}{2} (2 \int \sec^{2} (u_{2}) d u_{2})$

चरण 2.3.30

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.30.1

$2$ और $\frac{1}{2}$ को मिलाएं.

$y + C_{1} = \frac{2}{2} \int \sec^{2} (u_{2}) d u_{2}$

चरण 2.3.30.2

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.30.2.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$y + C_{1} = \frac{2}{2} \int \sec^{2} (u_{2}) d u_{2}$

चरण 2.3.30.2.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$y + C_{1} = 1 \int \sec^{2} (u_{2}) d u_{2}$

चरण 2.3.30.3

$\int \sec^{2} (u_{2}) d u_{2}$ को $1$ से गुणा करें.

$y + C_{1} = \int \sec^{2} (u_{2}) d u_{2}$

चरण 2.3.31

चूंकि $\tan (u_{2})$ का व्युत्पन्न $\sec^{2} (u_{2})$ है, $\sec^{2} (u_{2})$ का समाकलन $\tan (u_{2})$ है.

$y + C_{1} = \tan (u_{2}) + C_{2}$

चरण 2.3.32

प्रत्येक एकीकरण प्रतिस्थापन चर के लिए वापस प्रतिस्थापित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.32.1

$u_{2}$ की सभी घटनाओं को $\frac{u_{1}}{2}$ से बदलें.

$y + C_{1} = \tan (\frac{u_{1}}{2}) + C_{2}$

चरण 2.3.32.2

$u_{1}$ की सभी घटनाओं को $2 x$ से बदलें.

$y + C_{1} = \tan (\frac{2 x}{2}) + C_{2}$

चरण 2.3.33

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.33.1

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करके व्यंजक $\frac{2 x}{2}$ को छोटा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.33.1.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$y + C_{1} = \tan (\frac{2 x}{2}) + C_{2}$

चरण 2.3.33.1.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$y + C_{1} = \tan (\frac{x}{1}) + C_{2}$

चरण 2.3.33.2

$x$ को $1$ से विभाजित करें.

$y + C_{1} = \tan (x) + C_{2}$

चरण 2.4

समाकलन के स्थिरांक को दाईं ओर $K$ के रूप में समूहित करें.

$y = \tan (x) + K$

चरण 3

$x$ के लिए $\frac{π}{4}$ और $y = \tan (x) + K$ में $y$ के लिए $1$ को प्रतिस्थापित करके $K$ का मान ज्ञात करने के लिए प्रारंभिक शर्त का उपयोग करें.

$1 = \tan (\frac{π}{4}) + K$

चरण 4

$K$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1

समीकरण को $\tan (\frac{π}{4}) + K = 1$ के रूप में फिर से लिखें.

$\tan (\frac{π}{4}) + K = 1$

चरण 4.2

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.2.1

$\tan (\frac{π}{4})$ का सटीक मान $1$ है.

$1 + K = 1$

चरण 4.3

$K$ वाले सभी पदों को समीकरण के दाईं ओर ले जाएं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.3.1

समीकरण के दोनों पक्षों से $1$ घटाएं.

$K = 1 - 1$

चरण 4.3.2

$1$ में से $1$ घटाएं.

$K = 0$

चरण 5

$0$ को $y = \tan (x) + K$ में $K$ के स्थान पर प्रतिस्थापित करें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1

$0$ को $K$ से प्रतिस्थापित करें.

$y = \tan (x) + 0$

चरण 5.2

$\tan (x)$ और $0$ जोड़ें.

$y = \tan (x)$