कैलकुलस उदाहरण

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 x}{y}$ और $y (1) = - 3$

चरण 1

चरों को अलग करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

दोनों पक्षों को $y$ से गुणा करें.

$y \frac{d y}{d x} = y \frac{2 x}{y}$

चरण 1.2

$y$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$y \frac{d y}{d x} = y \frac{2 x}{y}$

चरण 1.2.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$y \frac{d y}{d x} = 2 x$

चरण 1.3

समीकरण को फिर से लिखें.

$y d y = 2 x d x$

चरण 2

दोनों पक्षों को समाकलित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

प्रत्येक पक्ष का एक समाकलन सेट करें.

$\int y d y = \int 2 x d x$

चरण 2.2

घात नियम के अनुसार, $y$ के संबंध में $y$ का समाकलन $\frac{1}{2} y^{2}$ है.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int 2 x d x$

चरण 2.3

दाएं पक्ष का समाकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.1

चूँकि $2$ बटे $x$ अचर है, $2$ को समाकलन से हटा दें.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = 2 \int x d x$

चरण 2.3.2

घात नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x$ का समाकलन $\frac{1}{2} x^{2}$ है.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2})$

चरण 2.3.3

उत्तर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.3.1

$2 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2})$ को $2 (\frac{1}{2}) x^{2} + C_{2}$ के रूप में फिर से लिखें.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = 2 (\frac{1}{2}) x^{2} + C_{2}$

चरण 2.3.3.2

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.3.2.1

$2$ और $\frac{1}{2}$ को मिलाएं.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{2}{2} x^{2} + C_{2}$

चरण 2.3.3.2.2

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.3.2.2.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{2}{2} x^{2} + C_{2}$

चरण 2.3.3.2.2.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = 1 x^{2} + C_{2}$

चरण 2.3.3.2.3

$x^{2}$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = x^{2} + C_{2}$

चरण 2.4

समाकलन के स्थिरांक को दाईं ओर $K$ के रूप में समूहित करें.

$\frac{1}{2} y^{2} = x^{2} + K$

चरण 3

$y$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

समीकरण के दोनों पक्षों को $2$ से गुणा करें.

$2 (\frac{1}{2} y^{2}) = 2 (x^{2} + K)$

चरण 3.2

समीकरण के दोनों पक्षों को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.1

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.1.1

$2 (\frac{1}{2} y^{2})$ को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.1.1.1

$\frac{1}{2}$ और $y^{2}$ को मिलाएं.

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (x^{2} + K)$

चरण 3.2.1.1.2

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.1.1.2.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (x^{2} + K)$

चरण 3.2.1.1.2.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$y^{2} = 2 (x^{2} + K)$

चरण 3.2.2

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.2.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$y^{2} = 2 x^{2} + 2 K$

चरण 3.3

बाईं ओर के घातांक को समाप्त करने के लिए समीकरण के दोनों पक्षों का निर्दिष्ट मूल लें I

$y = \pm \sqrt{2 x^{2} + 2 K}$

चरण 3.4

$2 x^{2} + 2 K$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.4.1

$2 x^{2}$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$y = \pm \sqrt{2 (x^{2}) + 2 K}$

चरण 3.4.2

$2 K$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$y = \pm \sqrt{2 (x^{2}) + 2 K}$

चरण 3.4.3

$2 (x^{2}) + 2 K$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$y = \pm \sqrt{2 (x^{2} + K)}$

चरण 3.5

पूर्ण हल के धनात्मक और ऋणात्मक दोनों भागों का परिणाम है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.5.1

सबसे पहले, पहला समाधान पता करने के लिए $\pm$ के धनात्मक मान का उपयोग करें.

$y = \sqrt{2 (x^{2} + K)}$

चरण 3.5.2

इसके बाद, दूसरा हल ज्ञात करने के लिए $\pm$ के ऋणात्मक मान का उपयोग करें.

$y = - \sqrt{2 (x^{2} + K)}$

चरण 3.5.3

पूर्ण हल के धनात्मक और ऋणात्मक दोनों भागों का परिणाम है.

$y = \sqrt{2 (x^{2} + K)}$

$y = - \sqrt{2 (x^{2} + K)}$

$y = \sqrt{2 (x^{2} + K)}$

$y = - \sqrt{2 (x^{2} + K)}$

$y = \sqrt{2 (x^{2} + K)}$

$y = - \sqrt{2 (x^{2} + K)}$

चरण 4

चूँकि $y$ प्रारंभिक स्थिति $(1, - 3)$ में ऋणात्मक है, $K$ ज्ञात करने के लिए केवल $y = - \sqrt{2 (x^{2} + K)}$ पर विचार करें. $x$ के लिए $1$ और $y$ के लिए $- 3$ प्रतिस्थापित करें.

$- 3 = - \sqrt{2 (1^{2} + K)}$

चरण 5

$K$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1

समीकरण को $- \sqrt{2 (1^{2} + K)} = - 3$ के रूप में फिर से लिखें.

$- \sqrt{2 (1^{2} + K)} = - 3$

चरण 5.2

समीकरण के बाईं पक्ष की ओर मूलांक निकालने के लिए, समीकरण के दोनों पक्षों का वर्ग करें.

${(- \sqrt{2 (1^{2} + K)})}^{2} = {(- 3)}^{2}$

चरण 5.3

समीकरण के प्रत्येक पक्ष को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.3.1

$\sqrt{2 (1^{2} + K)}$ को ${(2 (1^{2} + K))}^{\frac{1}{2}}$ के रूप में फिर से लिखने के लिए $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ का उपयोग करें.

${(- {(2 (1^{2} + K))}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 3)}^{2}$

चरण 5.3.2

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.3.2.1

${(- {(2 (1^{2} + K))}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.3.2.1.1

एक का कोई भी घात एक होता है.

${(- {(2 (1 + K))}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 3)}^{2}$

चरण 5.3.2.1.2

वितरण गुणधर्म लागू करें.

${(- {(2 \cdot 1 + 2 K)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 3)}^{2}$

चरण 5.3.2.1.3

व्यंजक को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.3.2.1.3.1

$2$ को $1$ से गुणा करें.

${(- {(2 + 2 K)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 3)}^{2}$

चरण 5.3.2.1.3.2

उत्पाद नियम को $- {(2 + 2 K)}^{\frac{1}{2}}$ पर लागू करें.

${(- 1)}^{2} {({(2 + 2 K)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 3)}^{2}$

चरण 5.3.2.1.3.3

$- 1$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$1 {({(2 + 2 K)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 3)}^{2}$

चरण 5.3.2.1.3.4

${({(2 + 2 K)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ को $1$ से गुणा करें.

${({(2 + 2 K)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 3)}^{2}$

चरण 5.3.2.1.3.5

घातांक को ${({(2 + 2 K)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ में गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.3.2.1.3.5.1

घात नियम लागू करें और घातांक गुणा करें, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(2 + 2 K)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- 3)}^{2}$

चरण 5.3.2.1.3.5.2

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.3.2.1.3.5.2.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

${(2 + 2 K)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- 3)}^{2}$

चरण 5.3.2.1.3.5.2.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

${(2 + 2 K)}^{1} = {(- 3)}^{2}$

चरण 5.3.2.1.4

सरल करें.

$2 + 2 K = {(- 3)}^{2}$

चरण 5.3.3

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.3.3.1

$- 3$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$2 + 2 K = 9$

चरण 5.4

$K$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.4.1

$K$ वाले सभी पदों को समीकरण के दाईं ओर ले जाएं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.4.1.1

समीकरण के दोनों पक्षों से $2$ घटाएं.

$2 K = 9 - 2$

चरण 5.4.1.2

$9$ में से $2$ घटाएं.

$2 K = 7$

चरण 5.4.2

$2 K = 7$ के प्रत्येक पद को $2$ से भाग दें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.4.2.1

$2 K = 7$ के प्रत्येक पद को $2$ से विभाजित करें.

$\frac{2 K}{2} = \frac{7}{2}$

चरण 5.4.2.2

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.4.2.2.1

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.4.2.2.1.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{2 K}{2} = \frac{7}{2}$

चरण 5.4.2.2.1.2

$K$ को $1$ से विभाजित करें.

$K = \frac{7}{2}$

चरण 6

$\frac{7}{2}$ को $y = - \sqrt{2 (x^{2} + K)}$ में $K$ के स्थान पर प्रतिस्थापित करें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1

$\frac{7}{2}$ को $K$ से प्रतिस्थापित करें.

$y = - \sqrt{2 (x^{2} + \frac{7}{2})}$

चरण 6.2

$x^{2}$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{2}{2}$ से गुणा करें.

$y = - \sqrt{2 (x^{2} \cdot \frac{2}{2} + \frac{7}{2})}$

चरण 6.3

$x^{2}$ और $\frac{2}{2}$ को मिलाएं.

$y = - \sqrt{2 (\frac{x^{2} \cdot 2}{2} + \frac{7}{2})}$

चरण 6.4

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$y = - \sqrt{2 \frac{x^{2} \cdot 2 + 7}{2}}$

चरण 6.5

$2$ को $x^{2}$ के बाईं ओर ले जाएं.

$y = - \sqrt{2 \frac{2 x^{2} + 7}{2}}$

चरण 6.6

$2$ और $\frac{2 x^{2} + 7}{2}$ को मिलाएं.

$y = - \sqrt{\frac{2 (2 x^{2} + 7)}{2}}$

चरण 6.7

सामान्य गुणनखंडों को रद्द करके व्यंजक को छोटा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.7.1

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करके व्यंजक $\frac{2 (2 x^{2} + 7)}{2}$ को छोटा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.7.1.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$y = - \sqrt{\frac{2 (2 x^{2} + 7)}{2}}$

चरण 6.7.1.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$y = - \sqrt{\frac{2 x^{2} + 7}{1}}$

चरण 6.7.2

$2 x^{2} + 7$ को $1$ से विभाजित करें.

$y = - \sqrt{2 x^{2} + 7}$