कैलकुलस उदाहरण

$(21 x^{2} y^{4} - 8 x^{3} y) d x + (28 x^{3} y^{3} - 2 x^{4}) d y = 0$

चरण 1

$\frac{\partial M}{\partial y}$ पता कीजिए जहां $M (x, y) = 21 x^{2} y^{4} - 8 x^{3} y$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

$M$ को $y$ से अलग करें.

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [21 x^{2} y^{4} - 8 x^{3} y]$

चरण 1.2

योग नियम के अनुसार, $y$ के संबंध में $21 x^{2} y^{4} - 8 x^{3} y$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d y} [21 x^{2} y^{4}] + \frac{d}{d y} [- 8 x^{3} y]$ है.

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [21 x^{2} y^{4}] + \frac{d}{d y} [- 8 x^{3} y]$

चरण 1.3

$\frac{d}{d y} [21 x^{2} y^{4}]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.3.1

चूंकि $21 x^{2}$ , $y$ के संबंध में स्थिर है, $y$ के संबंध में $21 x^{2} y^{4}$ का व्युत्पन्न $21 x^{2} \frac{d}{d y} [y^{4}]$ है.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 21 x^{2} \frac{d}{d y} [y^{4}] + \frac{d}{d y} [- 8 x^{3} y]$

चरण 1.3.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ $n y^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 4$ है.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 21 x^{2} (4 y^{3}) + \frac{d}{d y} [- 8 x^{3} y]$

चरण 1.3.3

$4$ को $21$ से गुणा करें.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 84 x^{2} y^{3} + \frac{d}{d y} [- 8 x^{3} y]$

चरण 1.4

$\frac{d}{d y} [- 8 x^{3} y]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.4.1

चूंकि $- 8 x^{3}$ , $y$ के संबंध में स्थिर है, $y$ के संबंध में $- 8 x^{3} y$ का व्युत्पन्न $- 8 x^{3} \frac{d}{d y} [y]$ है.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 84 x^{2} y^{3} - 8 x^{3} \frac{d}{d y} [y]$

चरण 1.4.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ $n y^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 84 x^{2} y^{3} - 8 x^{3} \cdot 1$

चरण 1.4.3

$- 8$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 84 x^{2} y^{3} - 8 x^{3}$

चरण 1.5

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$\frac{\partial M}{\partial y} = - 8 x^{3} + 84 y^{3} x^{2}$

चरण 2

$\frac{\partial N}{\partial x}$ पता कीजिए जहां $N (x, y) = 28 x^{3} y^{3} - 2 x^{4}$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

$N$ को $x$ से अलग करें.

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [28 x^{3} y^{3} - 2 x^{4}]$

चरण 2.2

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $28 x^{3} y^{3} - 2 x^{4}$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [28 x^{3} y^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{4}]$ है.

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [28 x^{3} y^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{4}]$

चरण 2.3

$\frac{d}{d x} [28 x^{3} y^{3}]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.1

चूंकि $28 y^{3}$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $28 x^{3} y^{3}$ का व्युत्पन्न $28 y^{3} \frac{d}{d x} [x^{3}]$ है.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 28 y^{3} \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{4}]$

चरण 2.3.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 3$ है.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 28 y^{3} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 2 x^{4}]$

चरण 2.3.3

$3$ को $28$ से गुणा करें.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 84 y^{3} x^{2} + \frac{d}{d x} [- 2 x^{4}]$

चरण 2.4

$\frac{d}{d x} [- 2 x^{4}]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.4.1

चूंकि $- 2$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $- 2 x^{4}$ का व्युत्पन्न $- 2 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ है.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 84 y^{3} x^{2} - 2 \frac{d}{d x} [x^{4}]$

चरण 2.4.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 4$ है.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 84 y^{3} x^{2} - 2 (4 x^{3})$

चरण 2.4.3

$4$ को $- 2$ से गुणा करें.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 84 y^{3} x^{2} - 8 x^{3}$

चरण 2.5

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 8 x^{3} + 84 y^{3} x^{2}$

चरण 3

उस $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ को जांचें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

$\frac{\partial M}{\partial y}$ के लिए $- 8 x^{3} + 84 y^{3} x^{2}$ और $\frac{\partial N}{\partial x}$ के लिए $- 8 x^{3} + 84 y^{3} x^{2}$ प्रतिस्थापित करें.

$- 8 x^{3} + 84 y^{3} x^{2} = - 8 x^{3} + 84 y^{3} x^{2}$

चरण 3.2

चूँकि दोनों पक्षों को समतुल्य दिखाया गया है, समीकरण एक सर्वसमिका है.

$- 8 x^{3} + 84 y^{3} x^{2} = - 8 x^{3} + 84 y^{3} x^{2}$ एक सर्वसमिका है.

चरण 4

$f (x, y)$ को $M (x, y)$ के इंटीग्रल के बराबर सेट करें.

$f (x, y) = \int 21 x^{2} y^{4} - 8 x^{3} y d x$

चरण 5

$f (x, y)$ को खोजने के लिए $M (x, y) = 21 x^{2} y^{4} - 8 x^{3} y$ को समाकलित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1

एकल समाकलन को कई समाकलन में विभाजित करें.

$f (x, y) = \int 21 x^{2} y^{4} d x + \int - 8 x^{3} y d x$

चरण 5.2

चूँकि $21 y^{4}$ बटे $x$ अचर है, $21 y^{4}$ को समाकलन से हटा दें.

$f (x, y) = 21 y^{4} \int x^{2} d x + \int - 8 x^{3} y d x$

चरण 5.3

घात नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x^{2}$ का समाकलन $\frac{1}{3} x^{3}$ है.

$f (x, y) = 21 y^{4} (\frac{1}{3} x^{3} + C) + \int - 8 x^{3} y d x$

चरण 5.4

चूँकि $- 8 y$ बटे $x$ अचर है, $- 8 y$ को समाकलन से हटा दें.

$f (x, y) = 21 y^{4} (\frac{1}{3} x^{3} + C) - 8 y \int x^{3} d x$

चरण 5.5

घात नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x^{3}$ का समाकलन $\frac{1}{4} x^{4}$ है.

$f (x, y) = 21 y^{4} (\frac{1}{3} x^{3} + C) - 8 y (\frac{1}{4} x^{4} + C)$

चरण 5.6

सरल करें.

$f (x, y) = 21 \cdot \frac{1}{3} y^{4} x^{3} - 8 y (\frac{1}{4} x^{4}) + C$

चरण 5.7

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.7.1

$21$ और $\frac{1}{3}$ को मिलाएं.

$f (x, y) = \frac{21}{3} y^{4} x^{3} - 8 y (\frac{1}{4} x^{4}) + C$

चरण 5.7.2

$21$ और $3$ के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.7.2.1

$21$ में से $3$ का गुणनखंड करें.

$f (x, y) = \frac{3 \cdot 7}{3} y^{4} x^{3} - 8 y (\frac{1}{4} x^{4}) + C$

चरण 5.7.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.7.2.2.1

$3$ में से $3$ का गुणनखंड करें.

$f (x, y) = \frac{3 \cdot 7}{3 (1)} y^{4} x^{3} - 8 y (\frac{1}{4} x^{4}) + C$

चरण 5.7.2.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$f (x, y) = \frac{3 \cdot 7}{3 \cdot 1} y^{4} x^{3} - 8 y (\frac{1}{4} x^{4}) + C$

चरण 5.7.2.2.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$f (x, y) = \frac{7}{1} y^{4} x^{3} - 8 y (\frac{1}{4} x^{4}) + C$

चरण 5.7.2.2.4

$7$ को $1$ से विभाजित करें.

$f (x, y) = 7 y^{4} x^{3} - 8 y (\frac{1}{4} x^{4}) + C$

चरण 5.7.3

$\frac{1}{4}$ और $x^{4}$ को मिलाएं.

$f (x, y) = 7 y^{4} x^{3} - 8 y \frac{x^{4}}{4} + C$

चरण 5.7.4

$- 8$ और $\frac{x^{4}}{4}$ को मिलाएं.

$f (x, y) = 7 y^{4} x^{3} + y \frac{- 8 x^{4}}{4} + C$

चरण 5.7.5

$y$ और $\frac{- 8 x^{4}}{4}$ को मिलाएं.

$f (x, y) = 7 y^{4} x^{3} + \frac{y (- 8 x^{4})}{4} + C$

चरण 5.7.6

$- 8$ और $4$ के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.7.6.1

$y (- 8 x^{4})$ में से $4$ का गुणनखंड करें.

$f (x, y) = 7 y^{4} x^{3} + \frac{4 (y (- 2 x^{4}))}{4} + C$

चरण 5.7.6.2

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.7.6.2.1

$4$ में से $4$ का गुणनखंड करें.

$f (x, y) = 7 y^{4} x^{3} + \frac{4 (y (- 2 x^{4}))}{4 (1)} + C$

चरण 5.7.6.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$f (x, y) = 7 y^{4} x^{3} + \frac{4 (y (- 2 x^{4}))}{4 \cdot 1} + C$

चरण 5.7.6.2.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$f (x, y) = 7 y^{4} x^{3} + \frac{y (- 2 x^{4})}{1} + C$

चरण 5.7.6.2.4

$y (- 2 x^{4})$ को $1$ से विभाजित करें.

$f (x, y) = 7 y^{4} x^{3} + y (- 2 x^{4}) + C$

चरण 6

चूँकि $g (y)$ के इंटिग्रल में इंटिग्रेशन स्थिरांक होगा, हम $C$ को $g (y)$ से बदल सकते हैं.

$f (x, y) = 7 y^{4} x^{3} + y (- 2 x^{4}) + g (y)$

चरण 7

$\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ सेट करें.

$\frac{\partial f}{\partial y} = 28 x^{3} y^{3} - 2 x^{4}$

चरण 8

$\frac{\partial f}{\partial y}$ पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.1

$f$ को $y$ से अलग करें.

$\frac{d}{d y} [7 y^{4} x^{3} + y (- 2 x^{4}) + g (y)] = 28 x^{3} y^{3} - 2 x^{4}$

चरण 8.2

योग नियम के अनुसार, $y$ के संबंध में $7 y^{4} x^{3} + y (- 2 x^{4}) + g (y)$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d y} [7 y^{4} x^{3}] + \frac{d}{d y} [y (- 2 x^{4})] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ है.

$\frac{d}{d y} [7 y^{4} x^{3}] + \frac{d}{d y} [y (- 2 x^{4})] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 28 x^{3} y^{3} - 2 x^{4}$

चरण 8.3

$\frac{d}{d y} [7 y^{4} x^{3}]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.3.1

चूंकि $7 x^{3}$ , $y$ के संबंध में स्थिर है, $y$ के संबंध में $7 y^{4} x^{3}$ का व्युत्पन्न $7 x^{3} \frac{d}{d y} [y^{4}]$ है.

$7 x^{3} \frac{d}{d y} [y^{4}] + \frac{d}{d y} [y (- 2 x^{4})] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 28 x^{3} y^{3} - 2 x^{4}$

चरण 8.3.2

$7 x^{3} (4 y^{3}) + \frac{d}{d y} [y (- 2 x^{4})] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 28 x^{3} y^{3} - 2 x^{4}$

चरण 8.3.3

$4$ को $7$ से गुणा करें.

$28 x^{3} y^{3} + \frac{d}{d y} [y (- 2 x^{4})] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 28 x^{3} y^{3} - 2 x^{4}$

चरण 8.4

$\frac{d}{d y} [y (- 2 x^{4})]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.4.1

चूंकि $- 2 x^{4}$ , $y$ के संबंध में स्थिर है, $y$ के संबंध में $y (- 2 x^{4})$ का व्युत्पन्न $- 2 x^{4} \frac{d}{d y} [y]$ है.

$28 x^{3} y^{3} - 2 x^{4} \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 28 x^{3} y^{3} - 2 x^{4}$

चरण 8.4.2

$28 x^{3} y^{3} - 2 x^{4} \cdot 1 + \frac{d}{d y} [g (y)] = 28 x^{3} y^{3} - 2 x^{4}$

चरण 8.4.3

$- 2$ को $1$ से गुणा करें.

$28 x^{3} y^{3} - 2 x^{4} + \frac{d}{d y} [g (y)] = 28 x^{3} y^{3} - 2 x^{4}$

चरण 8.5

फलन नियम का उपयोग करके अंतर करें जो बताता है कि $g (y)$ का व्युत्पन्न $\frac{d g}{d y}$ है.

$28 x^{3} y^{3} - 2 x^{4} + \frac{d g}{d y} = 28 x^{3} y^{3} - 2 x^{4}$

चरण 8.6

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$\frac{d g}{d y} - 2 x^{4} + 28 x^{3} y^{3} = 28 x^{3} y^{3} - 2 x^{4}$

चरण 9

$\frac{d g}{d y}$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.1

$\frac{d g}{d y}$ वाले सभी पदों को समीकरण के दाईं ओर ले जाएं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.1.1

समीकरण के दोनों पक्षों में $2 x^{4}$ जोड़ें.

$\frac{d g}{d y} + 28 x^{3} y^{3} = 28 x^{3} y^{3} - 2 x^{4} + 2 x^{4}$

चरण 9.1.2

समीकरण के दोनों पक्षों से $28 x^{3} y^{3}$ घटाएं.

$\frac{d g}{d y} = 28 x^{3} y^{3} - 2 x^{4} + 2 x^{4} - 28 x^{3} y^{3}$

चरण 9.1.3

$28 x^{3} y^{3} - 2 x^{4} + 2 x^{4} - 28 x^{3} y^{3}$ में विपरीत पदों को मिलाएं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.1.3.1

$- 2 x^{4}$ और $2 x^{4}$ जोड़ें.

$\frac{d g}{d y} = 28 x^{3} y^{3} + 0 - 28 x^{3} y^{3}$

चरण 9.1.3.2

$28 x^{3} y^{3}$ और $0$ जोड़ें.

$\frac{d g}{d y} = 28 x^{3} y^{3} - 28 x^{3} y^{3}$

चरण 9.1.3.3

$28 x^{3} y^{3}$ में से $28 x^{3} y^{3}$ घटाएं.

$\frac{d g}{d y} = 0$

चरण 10

$g (y)$ को खोजने के लिए $0$ का विरोधी व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 10.1

$\frac{d g}{d y} = 0$ के दोनों पक्षों को समाकलित करें.

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int 0 d y$

चरण 10.2

$\int \frac{d g}{d y} d y$ का मान ज्ञात करें.

$g (y) = \int 0 d y$

चरण 10.3

$y$ के संबंध में $0$ का इंटीग्रल $0$ है.

$g (y) = 0 + C$

चरण 10.4

$0$ और $C$ जोड़ें.

$g (y) = C$

चरण 11

$f (x, y) = 7 y^{4} x^{3} + y (- 2 x^{4}) + g (y)$ में $g (y)$ को प्रतिस्थापित करें.

$f (x, y) = 7 y^{4} x^{3} + y (- 2 x^{4}) + C$

चरण 12

गुणन के क्रमविनिमेय गुण का उपयोग करके फिर से लिखें.

$f (x, y) = 7 y^{4} x^{3} - 2 y x^{4} + C$