कैलकुलस उदाहरण

$(y^{2} + 1) d x + x (y d) y = 0$

चरण 1

समीकरण के दोनों पक्षों से $(y^{2} + 1) d x$ घटाएं.

$x y d y = - (y^{2} + 1) d x$

चरण 2

दोनों पक्षों को $\frac{1}{x (y^{2} + 1)}$ से गुणा करें.

$\frac{1}{x (y^{2} + 1)} (x y) d y = \frac{1}{x (y^{2} + 1)} (- (y^{2} + 1)) d x$

चरण 3

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

$x$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1.1

$x y$ में से $x$ का गुणनखंड करें.

$\frac{1}{x (y^{2} + 1)} (x (y)) d y = \frac{1}{x (y^{2} + 1)} (- (y^{2} + 1)) d x$

चरण 3.1.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{1}{x (y^{2} + 1)} (x y) d y = \frac{1}{x (y^{2} + 1)} (- (y^{2} + 1)) d x$

चरण 3.1.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{1}{y^{2} + 1} y d y = \frac{1}{x (y^{2} + 1)} (- (y^{2} + 1)) d x$

चरण 3.2

$\frac{1}{y^{2} + 1}$ और $y$ को मिलाएं.

$\frac{y}{y^{2} + 1} d y = \frac{1}{x (y^{2} + 1)} (- (y^{2} + 1)) d x$

चरण 3.3

गुणन के क्रमविनिमेय गुण का उपयोग करके फिर से लिखें.

$\frac{y}{y^{2} + 1} d y = - \frac{1}{x (y^{2} + 1)} (y^{2} + 1) d x$

चरण 3.4

$y^{2} + 1$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.4.1

$- \frac{1}{x (y^{2} + 1)}$ में अग्रणी ऋणात्मक को न्यूमेरेटर में ले जाएं.

$\frac{y}{y^{2} + 1} d y = \frac{- 1}{x (y^{2} + 1)} (y^{2} + 1) d x$

चरण 3.4.2

$x (y^{2} + 1)$ में से $y^{2} + 1$ का गुणनखंड करें.

$\frac{y}{y^{2} + 1} d y = \frac{- 1}{(y^{2} + 1) x} (y^{2} + 1) d x$

चरण 3.4.3

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{y}{y^{2} + 1} d y = \frac{- 1}{(y^{2} + 1) x} (y^{2} + 1) d x$

चरण 3.4.4

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{y}{y^{2} + 1} d y = \frac{- 1}{x} d x$

चरण 3.5

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$\frac{y}{y^{2} + 1} d y = - \frac{1}{x} d x$

चरण 4

दोनों पक्षों को समाकलित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1

प्रत्येक पक्ष का एक समाकलन सेट करें.

$\int \frac{y}{y^{2} + 1} d y = \int - \frac{1}{x} d x$

चरण 4.2

बाएं पक्ष का समाकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.2.1

मान लीजिए $u = y^{2} + 1$ .फिर $d u = 2 y d y$ , तो $\frac{1}{2} d u = y d y$ . $u$ और $d$ $u$ का उपयोग करके फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.2.1.1

मान लें $u = y^{2} + 1$ . $\frac{d u}{d y}$ ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.2.1.1.1

$y^{2} + 1$ को अवकलित करें.

$\frac{d}{d y} [y^{2} + 1]$

चरण 4.2.1.1.2

योग नियम के अनुसार, $y$ के संबंध में $y^{2} + 1$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [1]$ है.

$\frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [1]$

चरण 4.2.1.1.3

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ $n y^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 2$ है.

$2 y + \frac{d}{d y} [1]$

चरण 4.2.1.1.4

चूंकि $y$ के संबंध में $1$ स्थिर है, $y$ के संबंध में $1$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$2 y + 0$

चरण 4.2.1.1.5

$2 y$ और $0$ जोड़ें.

$2 y$

चरण 4.2.1.2

$u$ और $d u$ का उपयोग करके समस्या को फिर से लिखें.

$\int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u = \int - \frac{1}{x} d x$

चरण 4.2.2

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.2.2.1

$\frac{1}{u}$ को $\frac{1}{2}$ से गुणा करें.

$\int \frac{1}{u \cdot 2} d u = \int - \frac{1}{x} d x$

चरण 4.2.2.2

$2$ को $u$ के बाईं ओर ले जाएं.

$\int \frac{1}{2 u} d u = \int - \frac{1}{x} d x$

चरण 4.2.3

चूँकि $\frac{1}{2}$ बटे $u$ अचर है, $\frac{1}{2}$ को समाकलन से हटा दें.

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u = \int - \frac{1}{x} d x$

चरण 4.2.4

$u$ के संबंध में $\frac{1}{u}$ का इंटीग्रल $\ln (| u |)$ है.

$\frac{1}{2} (\ln (| u |) + C_{1}) = \int - \frac{1}{x} d x$

चरण 4.2.5

सरल करें.

$\frac{1}{2} \ln (| u |) + C_{1} = \int - \frac{1}{x} d x$

चरण 4.2.6

$u$ की सभी घटनाओं को $y^{2} + 1$ से बदलें.

$\frac{1}{2} \ln (| y^{2} + 1 |) + C_{1} = \int - \frac{1}{x} d x$

चरण 4.3

दाएं पक्ष का समाकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.3.1

चूँकि $- 1$ बटे $x$ अचर है, $- 1$ को समाकलन से हटा दें.

$\frac{1}{2} \ln (| y^{2} + 1 |) + C_{1} = - \int \frac{1}{x} d x$

चरण 4.3.2

$x$ के संबंध में $\frac{1}{x}$ का इंटीग्रल $\ln (| x |)$ है.

$\frac{1}{2} \ln (| y^{2} + 1 |) + C_{1} = - (\ln (| x |) + C_{2})$

चरण 4.3.3

सरल करें.

$\frac{1}{2} \ln (| y^{2} + 1 |) + C_{1} = - \ln (| x |) + C_{2}$

चरण 4.4

समाकलन के स्थिरांक को दाईं ओर $C$ के रूप में समूहित करें.

$\frac{1}{2} \ln (| y^{2} + 1 |) = - \ln (| x |) + C$

चरण 5

$y$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1

समीकरण के दोनों पक्षों को $2$ से गुणा करें.

$2 (\frac{1}{2} \ln (| y^{2} + 1 |)) = 2 (- \ln (| x |) + C)$

चरण 5.2

समीकरण के दोनों पक्षों को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.1

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.1.1

$2 (\frac{1}{2} \ln (| y^{2} + 1 |))$ को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.1.1.1

$\frac{1}{2}$ और $\ln (| y^{2} + 1 |)$ को मिलाएं.

$2 \frac{\ln (| y^{2} + 1 |)}{2} = 2 (- \ln (| x |) + C)$

चरण 5.2.1.1.2

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.1.1.2.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$2 \frac{\ln (| y^{2} + 1 |)}{2} = 2 (- \ln (| x |) + C)$

चरण 5.2.1.1.2.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\ln (| y^{2} + 1 |) = 2 (- \ln (| x |) + C)$

चरण 5.2.2

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.2.1

$2 (- \ln (| x |) + C)$ को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.2.1.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\ln (| y^{2} + 1 |) = 2 (- \ln (| x |)) + 2 C$

चरण 5.2.2.1.2

$- 1$ को $2$ से गुणा करें.

$\ln (| y^{2} + 1 |) = - 2 \ln (| x |) + 2 C$

चरण 5.3

लघुगणक वाले सभी पदों को समीकरण के बाईं पक्ष की ओर ले जाएँ.

$\ln (| y^{2} + 1 |) + 2 \ln (| x |) = 2 C$

चरण 5.4

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.4.1

$\ln (| y^{2} + 1 |) + 2 \ln (| x |)$ को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.4.1.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.4.1.1.1

$2$ को लघुगणक के अंदर ले जाकर $2 \ln (| x |)$ को सरल करें.

$\ln (| y^{2} + 1 |) + \ln ({| x |}^{2}) = 2 C$

चरण 5.4.1.1.2

${| x |}^{2}$ में निरपेक्ष मान हटा दें क्योंकि सम घात वाले घातांक हमेशा धनात्मक होते हैं.

$\ln (| y^{2} + 1 |) + \ln (x^{2}) = 2 C$

चरण 5.4.1.2

लघुगणक की गुणनफल गुणधर्म, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ का उपयोग करें.

$\ln (| y^{2} + 1 | x^{2}) = 2 C$

चरण 5.4.1.3

गुणनखंडों को $\ln (| y^{2} + 1 | x^{2})$ में पुन: क्रमित करें.

$\ln (x^{2} | y^{2} + 1 |) = 2 C$

चरण 5.5

$y$ के लिए हल करने के लिए, लघुगणक के गुणों का उपयोग करके समीकरण को फिर से लिखें.

$e^{\ln (x^{2} | y^{2} + 1 |)} = e^{2 C}$

चरण 5.6

लघुगणक की परिभाषा का उपयोग करते हुए $\ln (x^{2} | y^{2} + 1 |) = 2 C$ को घातीय रूप में फिर से लिखें. अगर $x$ और $b$ धनात्मक वास्तविक संख्याएं हैं और $b \neq 1$ , तो $\log_{b} (x) = y$ $b^{y} = x$ के बराबर है.

$e^{2 C} = x^{2} | y^{2} + 1 |$

चरण 5.7

$y$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.7.1

समीकरण को $x^{2} | y^{2} + 1 | = e^{2 C}$ के रूप में फिर से लिखें.

$x^{2} | y^{2} + 1 | = e^{2 C}$

चरण 5.7.2

$x^{2} | y^{2} + 1 | = e^{2 C}$ के प्रत्येक पद को $x^{2}$ से भाग दें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.7.2.1

$x^{2} | y^{2} + 1 | = e^{2 C}$ के प्रत्येक पद को $x^{2}$ से विभाजित करें.

$\frac{x^{2} | y^{2} + 1 |}{x^{2}} = \frac{e^{2 C}}{x^{2}}$

चरण 5.7.2.2

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.7.2.2.1

$x^{2}$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.7.2.2.1.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{x^{2} | y^{2} + 1 |}{x^{2}} = \frac{e^{2 C}}{x^{2}}$

चरण 5.7.2.2.1.2

$| y^{2} + 1 |$ को $1$ से विभाजित करें.

$| y^{2} + 1 | = \frac{e^{2 C}}{x^{2}}$

चरण 5.7.3

निरपेक्ष मान पद को हटा दें. यह समीकरण के दाएं पक्ष की ओर एक $\pm$ बनाता है जो $| x | = \pm x$ है.

$y^{2} + 1 = \pm \frac{e^{2 C}}{x^{2}}$

चरण 5.7.4

समीकरण के दोनों पक्षों से $1$ घटाएं.

$y^{2} = \pm \frac{e^{2 C}}{x^{2}} - 1$

चरण 5.7.5

बाईं ओर के घातांक को समाप्त करने के लिए समीकरण के दोनों पक्षों का निर्दिष्ट मूल लें I

$y = \pm \sqrt{\pm \frac{e^{2 C}}{x^{2}} - 1}$

चरण 6

स्थिर पदों को एक साथ समूहित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1

समाकलन की संतति को सरल करें.

$y = \pm \sqrt{\pm \frac{C}{x^{2}} - 1}$

चरण 6.2

प्लस या माइनस के साथ स्थिरांक मिलाएं.

$y = \pm \sqrt{C \frac{1}{x^{2}} - 1}$