कैलकुलस उदाहरण

$(x^{2} y^{4} - 1) d x + x^{3} y^{3} d y = 0$

चरण 1

$\frac{\partial M}{\partial y}$ पता कीजिए जहां $M (x, y) = x^{2} y^{4} - 1$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

$M$ को $y$ से अलग करें.

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [x^{2} y^{4} - 1]$

चरण 1.2

योग नियम के अनुसार, $y$ के संबंध में $x^{2} y^{4} - 1$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d y} [x^{2} y^{4}] + \frac{d}{d y} [- 1]$ है.

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [x^{2} y^{4}] + \frac{d}{d y} [- 1]$

चरण 1.3

$\frac{d}{d y} [x^{2} y^{4}]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.3.1

चूंकि $x^{2}$ , $y$ के संबंध में स्थिर है, $y$ के संबंध में $x^{2} y^{4}$ का व्युत्पन्न $x^{2} \frac{d}{d y} [y^{4}]$ है.

$\frac{\partial M}{\partial y} = x^{2} \frac{d}{d y} [y^{4}] + \frac{d}{d y} [- 1]$

चरण 1.3.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ $n y^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 4$ है.

$\frac{\partial M}{\partial y} = x^{2} (4 y^{3}) + \frac{d}{d y} [- 1]$

चरण 1.3.3

$4$ को $x^{2}$ के बाईं ओर ले जाएं.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 4 x^{2} y^{3} + \frac{d}{d y} [- 1]$

चरण 1.4

चूंकि $y$ के संबंध में $- 1$ स्थिर है, $y$ के संबंध में $- 1$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 4 x^{2} y^{3} + 0$

चरण 1.5

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.5.1

$4 x^{2} y^{3}$ और $0$ जोड़ें.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 4 x^{2} y^{3}$

चरण 1.5.2

$4 x^{2} y^{3}$ के गुणनखंडों को फिर से क्रमित करें.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 4 y^{3} x^{2}$

चरण 2

$\frac{\partial N}{\partial x}$ पता कीजिए जहां $N (x, y) = x^{3} y^{3}$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

$N$ को $x$ से अलग करें.

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x^{3} y^{3}]$

चरण 2.2

चूंकि $y^{3}$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $x^{3} y^{3}$ का व्युत्पन्न $y^{3} \frac{d}{d x} [x^{3}]$ है.

$\frac{\partial N}{\partial x} = y^{3} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

चरण 2.3

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 3$ है.

$\frac{\partial N}{\partial x} = y^{3} (3 x^{2})$

चरण 2.4

$3$ को $y^{3}$ के बाईं ओर ले जाएं.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 y^{3} x^{2}$

चरण 3

उस $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ को जांचें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

$\frac{\partial M}{\partial y}$ के लिए $4 y^{3} x^{2}$ और $\frac{\partial N}{\partial x}$ के लिए $3 y^{3} x^{2}$ प्रतिस्थापित करें.

$4 y^{3} x^{2} = 3 y^{3} x^{2}$

चरण 3.2

चूँकि बायाँ पक्ष दाएँ पक्ष के बराबर नहीं है, समीकरण एक सर्वसमिका नहीं है.

$4 y^{3} x^{2} = 3 y^{3} x^{2}$ कोई सर्वसमिका नहीं है.

चरण 4

इंटिग्रेशन गुणनखंड $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ खोजें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1

$4 y^{3} x^{2}$ को $\frac{\partial M}{\partial y}$ से प्रतिस्थापित करें.

$\frac{4 y^{3} x^{2} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N}$

चरण 4.2

$3 y^{3} x^{2}$ को $\frac{\partial N}{\partial x}$ से प्रतिस्थापित करें.

$\frac{4 y^{3} x^{2} - (3 y^{3} x^{2})}{N}$

चरण 4.3

$x^{3} y^{3}$ को $N$ से प्रतिस्थापित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.3.1

$x^{3} y^{3}$ को $N$ से प्रतिस्थापित करें.

$\frac{4 y^{3} x^{2} - (3 y^{3} x^{2})}{x^{3} y^{3}}$

चरण 4.3.2

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.3.2.1

$4 y^{3} x^{2} - 1 \cdot 3 y^{3} x^{2}$ में से $y^{3} x^{2}$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.3.2.1.1

$4 y^{3} x^{2}$ में से $y^{3} x^{2}$ का गुणनखंड करें.

$\frac{y^{3} x^{2} (4) - 1 \cdot 3 y^{3} x^{2}}{x^{3} y^{3}}$

चरण 4.3.2.1.2

$- 1 \cdot 3 y^{3} x^{2}$ में से $y^{3} x^{2}$ का गुणनखंड करें.

$\frac{y^{3} x^{2} (4) + y^{3} x^{2} (- 1 \cdot 3)}{x^{3} y^{3}}$

चरण 4.3.2.1.3

$y^{3} x^{2} (4) + y^{3} x^{2} (- 1 \cdot 3)$ में से $y^{3} x^{2}$ का गुणनखंड करें.

$\frac{y^{3} x^{2} (4 - 1 \cdot 3)}{x^{3} y^{3}}$

चरण 4.3.2.2

$- 1$ को $3$ से गुणा करें.

$\frac{y^{3} x^{2} (4 - 3)}{x^{3} y^{3}}$

चरण 4.3.2.3

$4$ में से $3$ घटाएं.

$\frac{y^{3} x^{2} \cdot 1}{x^{3} y^{3}}$

चरण 4.3.2.4

$y^{3}$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{x^{2} \cdot y^{3}}{x^{3} y^{3}}$

चरण 4.3.3

$x^{2}$ और $x^{3}$ के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.3.3.1

$x^{2} \cdot y^{3}$ में से $x^{2}$ का गुणनखंड करें.

$\frac{x^{2} (y^{3})}{x^{3} y^{3}}$

चरण 4.3.3.2

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.3.3.2.1

$x^{3} y^{3}$ में से $x^{2}$ का गुणनखंड करें.

$\frac{x^{2} (y^{3})}{x^{2} (x y^{3})}$

चरण 4.3.3.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{x^{2} y^{3}}{x^{2} (x y^{3})}$

चरण 4.3.3.2.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{y^{3}}{x y^{3}}$

चरण 4.3.4

$y^{3}$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.3.4.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{y^{3}}{x y^{3}}$

चरण 4.3.4.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{1}{x}$

चरण 4.4

इंटिग्रेशन गुणनखंड $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ खोजें.

$μ (x, y) = e^{\int \frac{1}{x} d x}$

चरण 5

इंटिग्रल $e^{\int \frac{1}{x} d x}$ को पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1

$x$ के संबंध में $\frac{1}{x}$ का इंटीग्रल $\ln (| x |)$ है.

$μ (x, y) = e^{\ln (| x |) + C}$

चरण 5.2

उत्तर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.1

सरल करें.

$μ (x, y) = e^{\ln (| x |)} + C$

चरण 5.2.2

चरघातांक और लघुगणक व्युत्क्रम फलन होते हैं

$μ (x, y) = | x | + C$

चरण 6

$(x^{2} y^{4} - 1) d x + x^{3} y^{3} d y = 0$ के दोनों पक्षों को इंटिग्रेशन गुणनखंड $x$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1

$x^{2} y^{4} - 1$ को $x$ से गुणा करें.

$(x^{2} y^{4} - 1) x d x + x^{3} y^{3} d y = 0$

चरण 6.2

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$(x^{2} y^{4} x - 1 x) d x + x^{3} y^{3} d y = 0$

चरण 6.3

घातांक जोड़कर $x^{2}$ को $x$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.3.1

$x$ ले जाएं.

$(x \cdot x^{2} y^{4} - 1 x) d x + x^{3} y^{3} d y = 0$

चरण 6.3.2

$x$ को $x^{2}$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.3.2.1

$x$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$(x^{1} x^{2} y^{4} - 1 x) d x + x^{3} y^{3} d y = 0$

चरण 6.3.2.2

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$(x^{1 + 2} y^{4} - 1 x) d x + x^{3} y^{3} d y = 0$

चरण 6.3.3

$1$ और $2$ जोड़ें.

$(x^{3} y^{4} - 1 x) d x + x^{3} y^{3} d y = 0$

चरण 6.4

$- 1 x$ को $- x$ के रूप में फिर से लिखें.

$(x^{3} y^{4} - x) d x + x^{3} y^{3} d y = 0$

चरण 6.5

$x^{3} y^{3}$ को $x$ से गुणा करें.

$(x^{3} y^{4} - x) d x + x^{3} y^{3} x d y = 0$

चरण 6.6

घातांक जोड़कर $x^{3}$ को $x$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.6.1

$x$ ले जाएं.

$(x^{3} y^{4} - x) d x + x \cdot x^{3} y^{3} d y = 0$

चरण 6.6.2

$x$ को $x^{3}$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.6.2.1

$x$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$(x^{3} y^{4} - x) d x + x^{1} x^{3} y^{3} d y = 0$

चरण 6.6.2.2

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$(x^{3} y^{4} - x) d x + x^{1 + 3} y^{3} d y = 0$

चरण 6.6.3

$1$ और $3$ जोड़ें.

$(x^{3} y^{4} - x) d x + x^{4} y^{3} d y = 0$

चरण 7

$f (x, y)$ को $N (x, y)$ के इंटीग्रल के बराबर सेट करें.

$f (x, y) = \int x^{4} y^{3} d y$

चरण 8

$f (x, y)$ को खोजने के लिए $N (x, y) = x^{4} y^{3}$ को समाकलित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.1

चूँकि $x^{4}$ बटे $y$ अचर है, $x^{4}$ को समाकलन से हटा दें.

$f (x, y) = x^{4} \int y^{3} d y$

चरण 8.2

घात नियम के अनुसार, $y$ के संबंध में $y^{3}$ का समाकलन $\frac{1}{4} y^{4}$ है.

$f (x, y) = x^{4} (\frac{1}{4} y^{4} + C)$

चरण 8.3

उत्तर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.3.1

$x^{4} (\frac{1}{4} y^{4} + C)$ को $x^{4} \frac{1}{4} y^{4} + C$ के रूप में फिर से लिखें.

$f (x, y) = x^{4} \frac{1}{4} y^{4} + C$

चरण 8.3.2

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.3.2.1

$x^{4}$ और $\frac{1}{4}$ को मिलाएं.

$f (x, y) = \frac{x^{4}}{4} y^{4} + C$

चरण 8.3.2.2

$\frac{x^{4}}{4}$ और $y^{4}$ को मिलाएं.

$f (x, y) = \frac{x^{4} y^{4}}{4} + C$

चरण 8.3.3

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$f (x, y) = \frac{1}{4} x^{4} y^{4} + C$

चरण 9

चूँकि $g (x)$ के इंटिग्रल में इंटिग्रेशन स्थिरांक होगा, हम $C$ को $g (x)$ से बदल सकते हैं.

$f (x, y) = \frac{1}{4} x^{4} y^{4} + g (x)$

चरण 10

$\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ सेट करें.

$\frac{\partial f}{\partial x} = x^{3} y^{4} - x$

चरण 11

$\frac{\partial f}{\partial x}$ पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 11.1

$f$ को $x$ से अलग करें.

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{4} x^{4} y^{4} + g (x)] = x^{3} y^{4} - x$

चरण 11.2

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $\frac{1}{4} x^{4} y^{4} + g (x)$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [\frac{1}{4} x^{4} y^{4}] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ है.

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{4} x^{4} y^{4}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = x^{3} y^{4} - x$

चरण 11.3

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{4} x^{4} y^{4}]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 11.3.1

$\frac{1}{4}$ और $x^{4}$ को मिलाएं.

$\frac{d}{d x} [\frac{x^{4}}{4} y^{4}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = x^{3} y^{4} - x$

चरण 11.3.2

$\frac{x^{4}}{4}$ और $y^{4}$ को मिलाएं.

$\frac{d}{d x} [\frac{x^{4} y^{4}}{4}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = x^{3} y^{4} - x$

चरण 11.3.3

चूंकि $\frac{y^{4}}{4}$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $\frac{x^{4} y^{4}}{4}$ का व्युत्पन्न $\frac{y^{4}}{4} \frac{d}{d x} [x^{4}]$ है.

$\frac{y^{4}}{4} \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = x^{3} y^{4} - x$

चरण 11.3.4

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 4$ है.

$\frac{y^{4}}{4} (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = x^{3} y^{4} - x$

चरण 11.3.5

$4$ और $\frac{y^{4}}{4}$ को मिलाएं.

$\frac{4 y^{4}}{4} x^{3} + \frac{d}{d x} [g (x)] = x^{3} y^{4} - x$

चरण 11.3.6

$\frac{4 y^{4}}{4}$ और $x^{3}$ को मिलाएं.

$\frac{4 y^{4} x^{3}}{4} + \frac{d}{d x} [g (x)] = x^{3} y^{4} - x$

चरण 11.3.7

$4$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 11.3.7.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{4 y^{4} x^{3}}{4} + \frac{d}{d x} [g (x)] = x^{3} y^{4} - x$

चरण 11.3.7.2

$y^{4} x^{3}$ को $1$ से विभाजित करें.

$y^{4} x^{3} + \frac{d}{d x} [g (x)] = x^{3} y^{4} - x$

चरण 11.4

फलन नियम का उपयोग करके अंतर करें जो बताता है कि $g (x)$ का व्युत्पन्न $\frac{d g}{d x}$ है.

$y^{4} x^{3} + \frac{d g}{d x} = x^{3} y^{4} - x$

चरण 11.5

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$\frac{d g}{d x} + y^{4} x^{3} = x^{3} y^{4} - x$

चरण 12

$\frac{d g}{d x}$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 12.1

$\frac{d g}{d x}$ वाले सभी पदों को समीकरण के दाईं ओर ले जाएं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 12.1.1

समीकरण के दोनों पक्षों से $y^{4} x^{3}$ घटाएं.

$\frac{d g}{d x} = x^{3} y^{4} - x - y^{4} x^{3}$

चरण 12.1.2

$x^{3} y^{4} - x - y^{4} x^{3}$ में विपरीत पदों को मिलाएं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 12.1.2.1

गुणनखंडों को $x^{3} y^{4}$ और $- y^{4} x^{3}$ पदों में पुन: व्यवस्थित करें.

$\frac{d g}{d x} = y^{4} x^{3} - x - y^{4} x^{3}$

चरण 12.1.2.2

$y^{4} x^{3}$ में से $y^{4} x^{3}$ घटाएं.

$\frac{d g}{d x} = - x + 0$

चरण 12.1.2.3

$- x$ और $0$ जोड़ें.

$\frac{d g}{d x} = - x$

चरण 13

$g (x)$ को खोजने के लिए $- x$ का विरोधी व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 13.1

$\frac{d g}{d x} = - x$ के दोनों पक्षों को समाकलित करें.

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int - x d x$

चरण 13.2

$\int \frac{d g}{d x} d x$ का मान ज्ञात करें.

$g (x) = \int - x d x$

चरण 13.3

चूँकि $- 1$ बटे $x$ अचर है, $- 1$ को समाकलन से हटा दें.

$g (x) = - \int x d x$

चरण 13.4

घात नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x$ का समाकलन $\frac{1}{2} x^{2}$ है.

$g (x) = - (\frac{1}{2} x^{2} + C)$

चरण 13.5

$- (\frac{1}{2} x^{2} + C)$ को $- \frac{1}{2} x^{2} + C$ के रूप में फिर से लिखें.

$g (x) = - \frac{1}{2} x^{2} + C$

चरण 14

$f (x, y) = \frac{1}{4} x^{4} y^{4} + g (x)$ में $g (x)$ को प्रतिस्थापित करें.

$f (x, y) = \frac{1}{4} x^{4} y^{4} - \frac{1}{2} x^{2} + C$

चरण 15

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 15.1

$\frac{1}{4}$ और $x^{4}$ को मिलाएं.

$f (x, y) = \frac{x^{4}}{4} y^{4} - \frac{1}{2} x^{2} + C$

चरण 15.2

$\frac{x^{4}}{4}$ और $y^{4}$ को मिलाएं.

$f (x, y) = \frac{x^{4} y^{4}}{4} - \frac{1}{2} x^{2} + C$

चरण 15.3

$x^{2}$ और $\frac{1}{2}$ को मिलाएं.

$f (x, y) = \frac{x^{4} y^{4}}{4} - \frac{x^{2}}{2} + C$