कैलकुलस उदाहरण

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2} - x y + y^{2}}{x y}$

चरण 1

$\frac{y}{x}$ के फलन के रूप में डिफरेन्शल इक्वेश़न को फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

$\frac{x^{2} - x y + y^{2}}{x y}$ को विभाजित करें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.1

भिन्न $\frac{x^{2} - x y + y^{2}}{x y}$ को दो भिन्नों में विभाजित करें.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2} - x y}{x y} + \frac{y^{2}}{x y}$

चरण 1.1.2

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.2.1

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.2.1.1

$x^{2} - x y$ में से $x$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.2.1.1.1

$x^{2}$ में से $x$ का गुणनखंड करें.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot x - x y}{x y} + \frac{y^{2}}{x y}$

चरण 1.1.2.1.1.2

$- x y$ में से $x$ का गुणनखंड करें.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot x + x (- 1 y)}{x y} + \frac{y^{2}}{x y}$

चरण 1.1.2.1.1.3

$x \cdot x + x (- 1 y)$ में से $x$ का गुणनखंड करें.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x (x - 1 y)}{x y} + \frac{y^{2}}{x y}$

चरण 1.1.2.1.2

$- 1 y$ को $- y$ के रूप में फिर से लिखें.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x (x - y)}{x y} + \frac{y^{2}}{x y}$

चरण 1.1.2.2

$x$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.2.2.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x (x - y)}{x y} + \frac{y^{2}}{x y}$

चरण 1.1.2.2.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x - y}{y} + \frac{y^{2}}{x y}$

चरण 1.1.2.3

भिन्न $\frac{x - y}{y}$ को दो भिन्नों में विभाजित करें.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x}{y} + \frac{- y}{y} + \frac{y^{2}}{x y}$

चरण 1.1.2.4

$y$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.2.4.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x}{y} + \frac{- y}{y} + \frac{y^{2}}{x y}$

चरण 1.1.2.4.2

$- 1$ को $1$ से विभाजित करें.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x}{y} - 1 + \frac{y^{2}}{x y}$

चरण 1.1.2.5

$y^{2}$ और $y$ के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.2.5.1

$y^{2}$ में से $y$ का गुणनखंड करें.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x}{y} - 1 + \frac{y \cdot y}{x y}$

चरण 1.1.2.5.2

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.2.5.2.1

$x y$ में से $y$ का गुणनखंड करें.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x}{y} - 1 + \frac{y \cdot y}{y x}$

चरण 1.1.2.5.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x}{y} - 1 + \frac{y \cdot y}{y x}$

चरण 1.1.2.5.2.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x}{y} - 1 + \frac{y}{x}$

चरण 1.2

$\frac{x}{y}$ को ${(\frac{y}{x})}^{- 1}$ के रूप में फिर से लिखें.

$\frac{d y}{d x} = {(\frac{y}{x})}^{- 1} - 1 + \frac{y}{x}$

चरण 2

मान लें $V = \frac{y}{x}$ . $\frac{y}{x}$ के लिए $V$ को प्रतिस्थापित करें.

$\frac{d y}{d x} = V^{- 1} - 1 + V$

चरण 3

$y$ के लिए $V = \frac{y}{x}$ हल करें.

$y = V x$

चरण 4

$x$ के संबंध में $y = V x$ का व्युत्पन्न ज्ञात करने के लिए उत्पाद नियम का उपयोग करें.

$\frac{d y}{d x} = x \frac{d V}{d x} + V$

चरण 5

$x \frac{d V}{d x} + V$ को $\frac{d y}{d x}$ से प्रतिस्थापित करें.

$x \frac{d V}{d x} + V = V^{- 1} - 1 + V$

चरण 6

प्रतिस्थापित डिफरेन्शल इक्वेश़न को हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1

चरों को अलग करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1.1

$\frac{d V}{d x}$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1.1.1

ऋणात्मक घातांक नियम $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ का प्रयोग करके व्यंजक को फिर से लिखें.

$x \frac{d V}{d x} + V = \frac{1}{V} - 1 + V$

चरण 6.1.1.2

$\frac{d V}{d x}$ वाले सभी पदों को समीकरण के दाईं ओर ले जाएं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1.1.2.1

समीकरण के दोनों पक्षों से $V$ घटाएं.

$x \frac{d V}{d x} = \frac{1}{V} - 1 + V - V$

चरण 6.1.1.2.2

$\frac{1}{V} - 1 + V - V$ में विपरीत पदों को मिलाएं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1.1.2.2.1

$V$ में से $V$ घटाएं.

$x \frac{d V}{d x} = \frac{1}{V} - 1 + 0$

चरण 6.1.1.2.2.2

$\frac{1}{V} - 1$ और $0$ जोड़ें.

$x \frac{d V}{d x} = \frac{1}{V} - 1$

चरण 6.1.1.3

$x \frac{d V}{d x} = \frac{1}{V} - 1$ के प्रत्येक पद को $x$ से भाग दें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1.1.3.1

$x \frac{d V}{d x} = \frac{1}{V} - 1$ के प्रत्येक पद को $x$ से विभाजित करें.

$\frac{x \frac{d V}{d x}}{x} = \frac{\frac{1}{V}}{x} + \frac{- 1}{x}$

चरण 6.1.1.3.2

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1.1.3.2.1

$x$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1.1.3.2.1.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{x \frac{d V}{d x}}{x} = \frac{\frac{1}{V}}{x} + \frac{- 1}{x}$

चरण 6.1.1.3.2.1.2

$\frac{d V}{d x}$ को $1$ से विभाजित करें.

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{1}{V}}{x} + \frac{- 1}{x}$

चरण 6.1.1.3.3

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1.1.3.3.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1.1.3.3.1.1

भाजक के प्रतिलोम से न्यूमेरेटर को गुणा करें.

$\frac{d V}{d x} = \frac{1}{V} \cdot \frac{1}{x} + \frac{- 1}{x}$

चरण 6.1.1.3.3.1.2

$\frac{1}{V}$ को $\frac{1}{x}$ से गुणा करें.

$\frac{d V}{d x} = \frac{1}{V x} + \frac{- 1}{x}$

चरण 6.1.1.3.3.1.3

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$\frac{d V}{d x} = \frac{1}{V x} - \frac{1}{x}$

चरण 6.1.2

गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1.2.1

$- \frac{1}{x}$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{V}{V}$ से गुणा करें.

$\frac{d V}{d x} = \frac{1}{V x} - \frac{1}{x} \cdot \frac{V}{V}$

चरण 6.1.2.2

प्रत्येक व्यंजक को $V x$ के सामान्य भाजक के साथ लिखें, प्रत्येक को $1$ के उपयुक्त गुणनखंड से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1.2.2.1

$\frac{1}{x}$ को $\frac{V}{V}$ से गुणा करें.

$\frac{d V}{d x} = \frac{1}{V x} - \frac{V}{x V}$

चरण 6.1.2.2.2

$x V$ के गुणनखंडों को फिर से क्रमित करें.

$\frac{d V}{d x} = \frac{1}{V x} - \frac{V}{V x}$

चरण 6.1.2.3

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$\frac{d V}{d x} = \frac{1 - V}{V x}$

चरण 6.1.3

गुणनखंडों को पुनर्समूहन करें

$\frac{d V}{d x} = \frac{1 - V}{V} \cdot \frac{1}{x}$

चरण 6.1.4

दोनों पक्षों को $\frac{V}{1 - V}$ से गुणा करें.

$\frac{V}{1 - V} \frac{d V}{d x} = \frac{V}{1 - V} (\frac{1 - V}{V} \cdot \frac{1}{x})$

चरण 6.1.5

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1.5.1

$\frac{1 - V}{V}$ को $\frac{1}{x}$ से गुणा करें.

$\frac{V}{1 - V} \frac{d V}{d x} = \frac{V}{1 - V} \cdot \frac{1 - V}{V x}$

चरण 6.1.5.2

$V$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1.5.2.1

$V x$ में से $V$ का गुणनखंड करें.

$\frac{V}{1 - V} \frac{d V}{d x} = \frac{V}{1 - V} \cdot \frac{1 - V}{V (x)}$

चरण 6.1.5.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{V}{1 - V} \frac{d V}{d x} = \frac{V}{1 - V} \cdot \frac{1 - V}{V x}$

चरण 6.1.5.2.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{V}{1 - V} \frac{d V}{d x} = \frac{1}{1 - V} \cdot \frac{1 - V}{x}$

चरण 6.1.5.3

$1 - V$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1.5.3.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{V}{1 - V} \frac{d V}{d x} = \frac{1}{1 - V} \cdot \frac{1 - V}{x}$

चरण 6.1.5.3.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{V}{1 - V} \frac{d V}{d x} = \frac{1}{x}$

चरण 6.1.6

समीकरण को फिर से लिखें.

$\frac{V}{1 - V} d V = \frac{1}{x} d x$

चरण 6.2

दोनों पक्षों को समाकलित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.1

प्रत्येक पक्ष का एक समाकलन सेट करें.

$\int \frac{V}{1 - V} d V = \int \frac{1}{x} d x$

चरण 6.2.2

बाएं पक्ष का समाकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.2.1

$1$ और $- V$ को पुन: क्रमित करें.

$\int \frac{V}{- V + 1} d V = \int \frac{1}{x} d x$

चरण 6.2.2.2

$V$ को $- V + 1$ से विभाजित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.2.2.1

बहुपदों को विभाजित करने के लिए सेट करें. यदि प्रत्येक घातांक के लिए कोई पद नहीं है, तो $0$ के मान वाला एक शब्द डालें.

$V$

$1$

$V$

$0$

चरण 6.2.2.2.2

भाज्य $V$ के उच्च क्रम के पद को विभाजक $- V$ के उच्च क्रम वाले पद से विभाजित करें.

				-	$1$
-	$V$	+	$1$		$V$	+	$0$

चरण 6.2.2.2.3

भाजक से नए भागफल पद को गुणा करें.

				-	$1$
-	$V$	+	$1$		$V$	+	$0$
				+	$V$	-	$1$

चरण 6.2.2.2.4

व्यंजक को भाज्य से घटाने की आवश्यकता है, इसलिए $V - 1$ में सभी चिह्नों को प्रतिस्थापित करें

				-	$1$
-	$V$	+	$1$		$V$	+	$0$
				-	$V$	+	$1$

चरण 6.2.2.2.5

संकेतों को बदलने के बाद, नया लाभांश खोजने के लिए गुणा बहुपद से अंतिम लाभांश जोड़ें.

				-	$1$
-	$V$	+	$1$		$V$	+	$0$
				-	$V$	+	$1$
						+	$1$

चरण 6.2.2.2.6

अंतिम उत्तर भागफल और भाजक पर शेषफल है.

$\int - 1 + \frac{1}{- V + 1} d V = \int \frac{1}{x} d x$

चरण 6.2.2.3

एकल समाकलन को कई समाकलन में विभाजित करें.

$\int - 1 d V + \int \frac{1}{- V + 1} d V = \int \frac{1}{x} d x$

चरण 6.2.2.4

स्थिरांक नियम लागू करें.

$- V + C_{1} + \int \frac{1}{- V + 1} d V = \int \frac{1}{x} d x$

चरण 6.2.2.5

मान लीजिए $u = - V + 1$ .फिर $d u = - d V$ , तो $- d u = d V$ . $u$ और $d$ $u$ का उपयोग करके फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.2.5.1

मान लें $u = - V + 1$ . $\frac{d u}{d V}$ ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.2.5.1.1

फिर से लिखें.

$\frac{- 1}{1}$

चरण 6.2.2.5.1.2

$- 1$ को $1$ से विभाजित करें.

$- 1$

चरण 6.2.2.5.2

$u$ और $d u$ का उपयोग करके समस्या को फिर से लिखें.

$- V + C_{1} + \int \frac{- 1}{u} d u = \int \frac{1}{x} d x$

चरण 6.2.2.6

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$- V + C_{1} + \int - \frac{1}{u} d u = \int \frac{1}{x} d x$

चरण 6.2.2.7

चूँकि $- 1$ बटे $u$ अचर है, $- 1$ को समाकलन से हटा दें.

$- V + C_{1} - \int \frac{1}{u} d u = \int \frac{1}{x} d x$

चरण 6.2.2.8

$u$ के संबंध में $\frac{1}{u}$ का इंटीग्रल $\ln (| u |)$ है.

$- V + C_{1} - (\ln (| u |) + C_{2}) = \int \frac{1}{x} d x$

चरण 6.2.2.9

सरल करें.

$- V - \ln (| u |) + C_{3} = \int \frac{1}{x} d x$

चरण 6.2.2.10

$u$ की सभी घटनाओं को $- V + 1$ से बदलें.

$- V - \ln (| - V + 1 |) + C_{3} = \int \frac{1}{x} d x$

चरण 6.2.3

$x$ के संबंध में $\frac{1}{x}$ का इंटीग्रल $\ln (| x |)$ है.

$- V - \ln (| - V + 1 |) + C_{3} = \ln (| x |) + C_{4}$

चरण 6.2.4

समाकलन के स्थिरांक को दाईं ओर $C$ के रूप में समूहित करें.

$- V - \ln (| - V + 1 |) = \ln (| x |) + C$

चरण 7

$\frac{y}{x}$ को $V$ से प्रतिस्थापित करें.

$- \frac{y}{x} - \ln (| - \frac{y}{x} + 1 |) = \ln (| x |) + C$

चरण 8

$y$ के लिए $- \frac{y}{x} - \ln (| - \frac{y}{x} + 1 |) = \ln (| x |) + C$ हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.1

लघुगणक वाले सभी पदों को समीकरण के बाईं पक्ष की ओर ले जाएँ.

$- \ln (| - \frac{y}{x} + 1 |) - \ln (| x |) = \frac{y}{x} + C$

चरण 8.2

समीकरण के दोनों पक्षों में $\ln (| x |)$ जोड़ें.

$- \ln (| - \frac{y}{x} + 1 |) = \frac{y}{x} + C + \ln (| x |)$

चरण 8.3

$- \ln (| - \frac{y}{x} + 1 |) = \frac{y}{x} + C + \ln (| x |)$ के प्रत्येक पद को $- 1$ से भाग दें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.3.1

$- \ln (| - \frac{y}{x} + 1 |) = \frac{y}{x} + C + \ln (| x |)$ के प्रत्येक पद को $- 1$ से विभाजित करें.

$\frac{- \ln (| - \frac{y}{x} + 1 |)}{- 1} = \frac{\frac{y}{x}}{- 1} + \frac{C}{- 1} + \frac{\ln (| x |)}{- 1}$

चरण 8.3.2

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.3.2.1

दो नकारात्मक मानों को विभाजित करने से एक सकारात्मक परिणाम प्राप्त होता है.

$\frac{\ln (| - \frac{y}{x} + 1 |)}{1} = \frac{\frac{y}{x}}{- 1} + \frac{C}{- 1} + \frac{\ln (| x |)}{- 1}$

चरण 8.3.2.2

$\ln (| - \frac{y}{x} + 1 |)$ को $1$ से विभाजित करें.

$\ln (| - \frac{y}{x} + 1 |) = \frac{\frac{y}{x}}{- 1} + \frac{C}{- 1} + \frac{\ln (| x |)}{- 1}$

चरण 8.3.3

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.3.3.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.3.3.1.1

ऋणात्मक को $\frac{\frac{y}{x}}{- 1}$ के भाजक से हटा दें.

$\ln (| - \frac{y}{x} + 1 |) = - 1 \cdot \frac{y}{x} + \frac{C}{- 1} + \frac{\ln (| x |)}{- 1}$

चरण 8.3.3.1.2

$- 1 \cdot \frac{y}{x}$ को $- \frac{y}{x}$ के रूप में फिर से लिखें.

$\ln (| - \frac{y}{x} + 1 |) = - \frac{y}{x} + \frac{C}{- 1} + \frac{\ln (| x |)}{- 1}$

चरण 8.3.3.1.3

ऋणात्मक को $\frac{C}{- 1}$ के भाजक से हटा दें.

$\ln (| - \frac{y}{x} + 1 |) = - \frac{y}{x} - 1 \cdot C + \frac{\ln (| x |)}{- 1}$

चरण 8.3.3.1.4

$- 1 \cdot C$ को $- C$ के रूप में फिर से लिखें.

$\ln (| - \frac{y}{x} + 1 |) = - \frac{y}{x} - C + \frac{\ln (| x |)}{- 1}$

चरण 8.3.3.1.5

ऋणात्मक को $\frac{\ln (| x |)}{- 1}$ के भाजक से हटा दें.

$\ln (| - \frac{y}{x} + 1 |) = - \frac{y}{x} - C - 1 \cdot \ln (| x |)$

चरण 8.3.3.1.6

$- 1 \cdot \ln (| x |)$ को $- \ln (| x |)$ के रूप में फिर से लिखें.

$\ln (| - \frac{y}{x} + 1 |) = - \frac{y}{x} - C - \ln (| x |)$

चरण 8.4

लघुगणक वाले सभी पदों को समीकरण के बाईं पक्ष की ओर ले जाएँ.

$\ln (| - \frac{y}{x} + 1 |) + \ln (| x |) = - \frac{y}{x} - C$

चरण 8.5

लघुगणक की गुणनफल गुणधर्म, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ का उपयोग करें.

$\ln (| - \frac{y}{x} + 1 | | x |) = - \frac{y}{x} - C$

चरण 8.6

निरपेक्ष मानों को गुणा करने के लिए, प्रत्येक निरपेक्ष मान के अंदर के पदों को गुणा करें.

$\ln (| (- \frac{y}{x} + 1) x |) = - \frac{y}{x} - C$

चरण 8.7

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\ln (| - \frac{y}{x} \cdot x + 1 x |) = - \frac{y}{x} - C$

चरण 8.8

$x$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.8.1

$- \frac{y}{x}$ में अग्रणी ऋणात्मक को न्यूमेरेटर में ले जाएं.

$\ln (| \frac{- y}{x} \cdot x + 1 x |) = - \frac{y}{x} - C$

चरण 8.8.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\ln (| \frac{- y}{x} \cdot x + 1 x |) = - \frac{y}{x} - C$

चरण 8.8.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\ln (| - y + 1 x |) = - \frac{y}{x} - C$

चरण 8.9

$x$ को $1$ से गुणा करें.

$\ln (| - y + x |) = - \frac{y}{x} - C$