कैलकुलस उदाहरण

$\frac{d y}{d t} = e^{2 t} - 2 y$ , $y (1) = 2$

चरण 1

समीकरण के दोनों पक्षों में $2 y$ जोड़ें.

$\frac{d y}{d t} + 2 y = e^{2 t}$

चरण 2

समाकलित गुणनखंड को $e^{\int P (t) d t}$ सूत्र द्वारा परिभाषित किया गया है, जहां $P (t) = 2$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

समाकलन सेट करें.

$e^{\int 2 d t}$

चरण 2.2

स्थिरांक नियम लागू करें.

$e^{2 t + C}$

चरण 2.3

समाकलन का स्थिरांक निकालें.

$e^{2 t}$

चरण 3

प्रत्येक पद को समाकलन गुणनखंड $e^{2 t}$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

प्रत्येक पद को $e^{2 t}$ से गुणा करें.

$e^{2 t} \frac{d y}{d t} + e^{2 t} (2 y) = e^{2 t} e^{2 t}$

चरण 3.2

गुणन के क्रमविनिमेय गुण का उपयोग करके फिर से लिखें.

$e^{2 t} \frac{d y}{d t} + 2 e^{2 t} y = e^{2 t} e^{2 t}$

चरण 3.3

घातांक जोड़कर $e^{2 t}$ को $e^{2 t}$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.3.1

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$e^{2 t} \frac{d y}{d t} + 2 e^{2 t} y = e^{2 t + 2 t}$

चरण 3.3.2

$2 t$ और $2 t$ जोड़ें.

$e^{2 t} \frac{d y}{d t} + 2 e^{2 t} y = e^{4 t}$

चरण 3.4

गुणनखंडों को $e^{2 t} \frac{d y}{d t} + 2 e^{2 t} y = e^{4 t}$ में पुन: क्रमित करें.

$e^{2 t} \frac{d y}{d t} + 2 y e^{2 t} = e^{4 t}$

चरण 4

किसी गुणन में अंतर करने के परिणामस्वरूप बाईं ओर फिर से लिखें.

$\frac{d}{d t} [e^{2 t} y] = e^{4 t}$

चरण 5

प्रत्येक पक्ष का एक समाकलन सेट करें.

$\int \frac{d}{d t} [e^{2 t} y] d t = \int e^{4 t} d t$

चरण 6

बाएं पक्ष का समाकलन करें.

$e^{2 t} y = \int e^{4 t} d t$

चरण 7

दाएं पक्ष का समाकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.1

मान लीजिए $u = 4 t$ .फिर $d u = 4 d t$ , तो $\frac{1}{4} d u = d t$ . $u$ और $d$ $u$ का उपयोग करके फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.1.1

मान लें $u = 4 t$ . $\frac{d u}{d t}$ ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.1.1.1

$4 t$ को अवकलित करें.

$\frac{d}{d t} [4 t]$

चरण 7.1.1.2

चूंकि $4$ , $t$ के संबंध में स्थिर है, $t$ के संबंध में $4 t$ का व्युत्पन्न $4 \frac{d}{d t} [t]$ है.

$4 \frac{d}{d t} [t]$

चरण 7.1.1.3

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ $n t^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$4 \cdot 1$

चरण 7.1.1.4

$4$ को $1$ से गुणा करें.

$4$

चरण 7.1.2

$u$ और $d u$ का उपयोग करके समस्या को फिर से लिखें.

$e^{2 t} y = \int e^{u} \frac{1}{4} d u$

चरण 7.2

$e^{u}$ और $\frac{1}{4}$ को मिलाएं.

$e^{2 t} y = \int \frac{e^{u}}{4} d u$

चरण 7.3

चूँकि $\frac{1}{4}$ बटे $u$ अचर है, $\frac{1}{4}$ को समाकलन से हटा दें.

$e^{2 t} y = \frac{1}{4} \int e^{u} d u$

चरण 7.4

$u$ के संबंध में $e^{u}$ का इंटीग्रल $e^{u}$ है.

$e^{2 t} y = \frac{1}{4} (e^{u} + C)$

चरण 7.5

सरल करें.

$e^{2 t} y = \frac{1}{4} e^{u} + C$

चरण 7.6

$u$ की सभी घटनाओं को $4 t$ से बदलें.

$e^{2 t} y = \frac{1}{4} e^{4 t} + C$

चरण 8

$e^{2 t} y = \frac{1}{4} e^{4 t} + C$ के प्रत्येक पद को $e^{2 t}$ से भाग दें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.1

$e^{2 t} y = \frac{1}{4} e^{4 t} + C$ के प्रत्येक पद को $e^{2 t}$ से विभाजित करें.

$\frac{e^{2 t} y}{e^{2 t}} = \frac{\frac{1}{4} e^{4 t}}{e^{2 t}} + \frac{C}{e^{2 t}}$

चरण 8.2

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.2.1

$e^{2 t}$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.2.1.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{e^{2 t} y}{e^{2 t}} = \frac{\frac{1}{4} e^{4 t}}{e^{2 t}} + \frac{C}{e^{2 t}}$

चरण 8.2.1.2

$y$ को $1$ से विभाजित करें.

$y = \frac{\frac{1}{4} e^{4 t}}{e^{2 t}} + \frac{C}{e^{2 t}}$

चरण 8.3

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.3.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.3.1.1

$e^{4 t}$ और $e^{2 t}$ के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.3.1.1.1

$\frac{1}{4} e^{4 t}$ में से $e^{2 t}$ का गुणनखंड करें.

$y = \frac{e^{2 t} (\frac{1}{4} e^{2 t})}{e^{2 t}} + \frac{C}{e^{2 t}}$

चरण 8.3.1.1.2

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.3.1.1.2.1

$1$ से गुणा करें.

$y = \frac{e^{2 t} (\frac{1}{4} e^{2 t})}{e^{2 t} \cdot 1} + \frac{C}{e^{2 t}}$

चरण 8.3.1.1.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$y = \frac{e^{2 t} (\frac{1}{4} e^{2 t})}{e^{2 t} \cdot 1} + \frac{C}{e^{2 t}}$

चरण 8.3.1.1.2.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$y = \frac{\frac{1}{4} e^{2 t}}{1} + \frac{C}{e^{2 t}}$

चरण 8.3.1.1.2.4

$\frac{1}{4} e^{2 t}$ को $1$ से विभाजित करें.

$y = \frac{1}{4} e^{2 t} + \frac{C}{e^{2 t}}$

चरण 8.3.1.2

$\frac{1}{4}$ और $e^{2 t}$ को मिलाएं.

$y = \frac{e^{2 t}}{4} + \frac{C}{e^{2 t}}$

चरण 9

$t$ के लिए $1$ और $y = \frac{e^{2 t}}{4} + \frac{C}{e^{2 t}}$ में $y$ के लिए $2$ को प्रतिस्थापित करके $C$ का मान ज्ञात करने के लिए प्रारंभिक शर्त का उपयोग करें.

$2 = \frac{e^{2 \cdot 1}}{4} + \frac{C}{e^{2 \cdot 1}}$

चरण 10

$C$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 10.1

समीकरण को $\frac{e^{2 \cdot 1}}{4} + \frac{C}{e^{2 \cdot 1}} = 2$ के रूप में फिर से लिखें.

$\frac{e^{2 \cdot 1}}{4} + \frac{C}{e^{2 \cdot 1}} = 2$

चरण 10.2

$\frac{e^{2 \cdot 1}}{4} + \frac{C}{e^{2 \cdot 1}}$ को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 10.2.1

$2$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{e^{2}}{4} + \frac{C}{e^{2 \cdot 1}} = 2$

चरण 10.2.2

$2$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{e^{2}}{4} + \frac{C}{e^{2}} = 2$

चरण 10.3

समीकरण के दोनों पक्षों से $\frac{e^{2}}{4}$ घटाएं.

$\frac{C}{e^{2}} = 2 - \frac{e^{2}}{4}$

चरण 10.4

समीकरण के दोनों पक्षों को $e^{2}$ से गुणा करें.

$e^{2} \frac{C}{e^{2}} = e^{2} (2 - \frac{e^{2}}{4})$

चरण 10.5

समीकरण के दोनों पक्षों को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 10.5.1

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 10.5.1.1

$e^{2}$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 10.5.1.1.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$e^{2} \frac{C}{e^{2}} = e^{2} (2 - \frac{e^{2}}{4})$

चरण 10.5.1.1.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$C = e^{2} (2 - \frac{e^{2}}{4})$

चरण 10.5.2

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 10.5.2.1

$e^{2} (2 - \frac{e^{2}}{4})$ को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 10.5.2.1.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$C = e^{2} \cdot 2 + e^{2} (- \frac{e^{2}}{4})$

चरण 10.5.2.1.2

$2$ को $e^{2}$ के बाईं ओर ले जाएं.

$C = 2 \cdot e^{2} + e^{2} (- \frac{e^{2}}{4})$

चरण 10.5.2.1.3

$e^{2} (- \frac{e^{2}}{4})$ गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 10.5.2.1.3.1

$e^{2}$ और $\frac{e^{2}}{4}$ को मिलाएं.

$C = 2 \cdot e^{2} - \frac{e^{2} e^{2}}{4}$

चरण 10.5.2.1.3.2

घातांक जोड़कर $e^{2}$ को $e^{2}$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 10.5.2.1.3.2.1

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$C = 2 \cdot e^{2} - \frac{e^{2 + 2}}{4}$

चरण 10.5.2.1.3.2.2

$2$ और $2$ जोड़ें.

$C = 2 \cdot e^{2} - \frac{e^{4}}{4}$

$C = 2 e^{2} - \frac{e^{4}}{4}$

चरण 11

$2 e^{2} - \frac{e^{4}}{4}$ को $y = \frac{e^{2 t}}{4} + \frac{C}{e^{2 t}}$ में $C$ के स्थान पर प्रतिस्थापित करें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 11.1

$2 e^{2} - \frac{e^{4}}{4}$ को $C$ से प्रतिस्थापित करें.

$y = \frac{e^{2 t}}{4} + \frac{2 e^{2} - \frac{e^{4}}{4}}{e^{2 t}}$

चरण 11.2

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 11.2.1

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 11.2.1.1

$2 e^{2}$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{4}{4}$ से गुणा करें.

$y = \frac{e^{2 t}}{4} + \frac{2 e^{2} \cdot \frac{4}{4} - \frac{e^{4}}{4}}{e^{2 t}}$

चरण 11.2.1.2

$2 e^{2}$ और $\frac{4}{4}$ को मिलाएं.

$y = \frac{e^{2 t}}{4} + \frac{\frac{2 e^{2} \cdot 4}{4} - \frac{e^{4}}{4}}{e^{2 t}}$

चरण 11.2.1.3

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$y = \frac{e^{2 t}}{4} + \frac{\frac{2 e^{2} \cdot 4 - e^{4}}{4}}{e^{2 t}}$

चरण 11.2.1.4

$4$ को $2$ से गुणा करें.

$y = \frac{e^{2 t}}{4} + \frac{\frac{8 e^{2} - e^{4}}{4}}{e^{2 t}}$

चरण 11.2.2

भाजक के प्रतिलोम से न्यूमेरेटर को गुणा करें.

$y = \frac{e^{2 t}}{4} + \frac{8 e^{2} - e^{4}}{4} \cdot \frac{1}{e^{2 t}}$

चरण 11.2.3

$\frac{8 e^{2} - e^{4}}{4}$ को $\frac{1}{e^{2 t}}$ से गुणा करें.

$y = \frac{e^{2 t}}{4} + \frac{8 e^{2} - e^{4}}{4 e^{2 t}}$

चरण 11.3

$\frac{e^{2 t}}{4}$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{e^{2 t}}{e^{2 t}}$ से गुणा करें.

$y = \frac{e^{2 t}}{4} \cdot \frac{e^{2 t}}{e^{2 t}} + \frac{8 e^{2} - e^{4}}{4 e^{2 t}}$

चरण 11.4

$\frac{e^{2 t}}{4}$ को $\frac{e^{2 t}}{e^{2 t}}$ से गुणा करें.

$y = \frac{e^{2 t} e^{2 t}}{4 e^{2 t}} + \frac{8 e^{2} - e^{4}}{4 e^{2 t}}$

चरण 11.5

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$y = \frac{e^{2 t} e^{2 t} + 8 e^{2} - e^{4}}{4 e^{2 t}}$

चरण 11.6

घातांक जोड़कर $e^{2 t}$ को $e^{2 t}$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 11.6.1

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$y = \frac{e^{2 t + 2 t} + 8 e^{2} - e^{4}}{4 e^{2 t}}$

चरण 11.6.2

$2 t$ और $2 t$ जोड़ें.

$y = \frac{e^{4 t} + 8 e^{2} - e^{4}}{4 e^{2 t}}$