कैलकुलस उदाहरण

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2}}{y}$ , $y (0) = 3$

चरण 1

चरों को अलग करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

दोनों पक्षों को $y$ से गुणा करें.

$y \frac{d y}{d x} = y \frac{x^{2}}{y}$

चरण 1.2

$y$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$y \frac{d y}{d x} = y \frac{x^{2}}{y}$

चरण 1.2.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$y \frac{d y}{d x} = x^{2}$

चरण 1.3

समीकरण को फिर से लिखें.

$y d y = x^{2} d x$

चरण 2

दोनों पक्षों को समाकलित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

प्रत्येक पक्ष का एक समाकलन सेट करें.

$\int y d y = \int x^{2} d x$

चरण 2.2

घात नियम के अनुसार, $y$ के संबंध में $y$ का समाकलन $\frac{1}{2} y^{2}$ है.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int x^{2} d x$

चरण 2.3

घात नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x^{2}$ का समाकलन $\frac{1}{3} x^{3}$ है.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{3} x^{3} + C_{2}$

चरण 2.4

समाकलन के स्थिरांक को दाईं ओर $K$ के रूप में समूहित करें.

$\frac{1}{2} y^{2} = \frac{1}{3} x^{3} + K$

चरण 3

$y$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

समीकरण के दोनों पक्षों को $2$ से गुणा करें.

$2 (\frac{1}{2} y^{2}) = 2 (\frac{1}{3} x^{3} + K)$

चरण 3.2

समीकरण के दोनों पक्षों को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.1

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.1.1

$2 (\frac{1}{2} y^{2})$ को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.1.1.1

$\frac{1}{2}$ और $y^{2}$ को मिलाएं.

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (\frac{1}{3} x^{3} + K)$

चरण 3.2.1.1.2

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.1.1.2.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (\frac{1}{3} x^{3} + K)$

चरण 3.2.1.1.2.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$y^{2} = 2 (\frac{1}{3} x^{3} + K)$

चरण 3.2.2

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.2.1

$2 (\frac{1}{3} x^{3} + K)$ को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.2.1.1

$\frac{1}{3}$ और $x^{3}$ को मिलाएं.

$y^{2} = 2 (\frac{x^{3}}{3} + K)$

चरण 3.2.2.1.2

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$y^{2} = 2 \frac{x^{3}}{3} + 2 K$

चरण 3.2.2.1.3

$2$ और $\frac{x^{3}}{3}$ को मिलाएं.

$y^{2} = \frac{2 x^{3}}{3} + 2 K$

चरण 3.3

बाईं ओर के घातांक को समाप्त करने के लिए समीकरण के दोनों पक्षों का निर्दिष्ट मूल लें I

$y = \pm \sqrt{\frac{2 x^{3}}{3} + 2 K}$

चरण 3.4

$\pm \sqrt{\frac{2 x^{3}}{3} + 2 K}$ को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.4.1

$\frac{2 x^{3}}{3} + 2 K$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.4.1.1

$\frac{2 x^{3}}{3}$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$y = \pm \sqrt{2 \frac{x^{3}}{3} + 2 K}$

चरण 3.4.1.2

$2 K$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$y = \pm \sqrt{2 \frac{x^{3}}{3} + 2 K}$

चरण 3.4.1.3

$2 \frac{x^{3}}{3} + 2 K$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$y = \pm \sqrt{2 (\frac{x^{3}}{3} + K)}$

चरण 3.4.2

$K$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{3}{3}$ से गुणा करें.

$y = \pm \sqrt{2 (\frac{x^{3}}{3} + K \cdot \frac{3}{3})}$

चरण 3.4.3

पदों को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.4.3.1

$K$ और $\frac{3}{3}$ को मिलाएं.

$y = \pm \sqrt{2 (\frac{x^{3}}{3} + \frac{K \cdot 3}{3})}$

चरण 3.4.3.2

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$y = \pm \sqrt{2 \frac{x^{3} + K \cdot 3}{3}}$

चरण 3.4.4

$3$ को $K$ के बाईं ओर ले जाएं.

$y = \pm \sqrt{2 \frac{x^{3} + 3 K}{3}}$

चरण 3.4.5

$2$ और $\frac{x^{3} + 3 K}{3}$ को मिलाएं.

$y = \pm \sqrt{\frac{2 (x^{3} + 3 K)}{3}}$

चरण 3.4.6

$\sqrt{\frac{2 (x^{3} + 3 K)}{3}}$ को $\frac{\sqrt{2 (x^{3} + 3 K)}}{\sqrt{3}}$ के रूप में फिर से लिखें.

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (x^{3} + 3 K)}}{\sqrt{3}}$

चरण 3.4.7

$\frac{\sqrt{2 (x^{3} + 3 K)}}{\sqrt{3}}$ को $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ से गुणा करें.

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (x^{3} + 3 K)}}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$

चरण 3.4.8

भाजक को मिलाएं और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.4.8.1

$\frac{\sqrt{2 (x^{3} + 3 K)}}{\sqrt{3}}$ को $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ से गुणा करें.

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (x^{3} + 3 K)} \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

चरण 3.4.8.2

$\sqrt{3}$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (x^{3} + 3 K)} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}$

चरण 3.4.8.3

$\sqrt{3}$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (x^{3} + 3 K)} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}$

चरण 3.4.8.4

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (x^{3} + 3 K)} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

चरण 3.4.8.5

$1$ और $1$ जोड़ें.

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (x^{3} + 3 K)} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

चरण 3.4.8.6

${\sqrt{3}}^{2}$ को $3$ के रूप में फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.4.8.6.1

$\sqrt{3}$ को $3^{\frac{1}{2}}$ के रूप में फिर से लिखने के लिए $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ का उपयोग करें.

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (x^{3} + 3 K)} \sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

चरण 3.4.8.6.2

घात नियम लागू करें और घातांक गुणा करें, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (x^{3} + 3 K)} \sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

चरण 3.4.8.6.3

$\frac{1}{2}$ और $2$ को मिलाएं.

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (x^{3} + 3 K)} \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

चरण 3.4.8.6.4

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.4.8.6.4.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (x^{3} + 3 K)} \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

चरण 3.4.8.6.4.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (x^{3} + 3 K)} \sqrt{3}}{3^{1}}$

चरण 3.4.8.6.5

घातांक का मान ज्ञात करें.

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (x^{3} + 3 K)} \sqrt{3}}{3}$

चरण 3.4.9

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.4.9.1

रेडिकल के लिए उत्पाद नियम का उपयोग करके जोड़ें.

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (x^{3} + 3 K) \cdot 3}}{3}$

चरण 3.4.9.2

$3$ को $2$ से गुणा करें.

$y = \pm \frac{\sqrt{6 (x^{3} + 3 K)}}{3}$

चरण 3.5

पूर्ण हल के धनात्मक और ऋणात्मक दोनों भागों का परिणाम है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.5.1

सबसे पहले, पहला समाधान पता करने के लिए $\pm$ के धनात्मक मान का उपयोग करें.

$y = \frac{\sqrt{6 (x^{3} + 3 K)}}{3}$

चरण 3.5.2

इसके बाद, दूसरा हल ज्ञात करने के लिए $\pm$ के ऋणात्मक मान का उपयोग करें.

$y = - \frac{\sqrt{6 (x^{3} + 3 K)}}{3}$

चरण 3.5.3

पूर्ण हल के धनात्मक और ऋणात्मक दोनों भागों का परिणाम है.

$y = \frac{\sqrt{6 (x^{3} + 3 K)}}{3}$

$y = - \frac{\sqrt{6 (x^{3} + 3 K)}}{3}$

$y = \frac{\sqrt{6 (x^{3} + 3 K)}}{3}$

$y = - \frac{\sqrt{6 (x^{3} + 3 K)}}{3}$

$y = \frac{\sqrt{6 (x^{3} + 3 K)}}{3}$

$y = - \frac{\sqrt{6 (x^{3} + 3 K)}}{3}$

चरण 4

समाकलन की संतति को सरल करें.

$y = \frac{\sqrt{6 (x^{3} + K)}}{3}$

$y = - \frac{\sqrt{6 (x^{3} + K)}}{3}$

चरण 5

चूँकि $y$ प्रारंभिक स्थिति $(0, 3)$ में धनात्मक है, $K$ ज्ञात करने के लिए केवल $y = \frac{\sqrt{6 (x^{3} + K)}}{3}$ पर विचार करें. $x$ के लिए $0$ और $y$ के लिए $3$ प्रतिस्थापित करें.

$3 = \frac{\sqrt{6 (0^{3} + K)}}{3}$

चरण 6

$K$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1

समीकरण को $\frac{\sqrt{6 (0^{3} + K)}}{3} = 3$ के रूप में फिर से लिखें.

$\frac{\sqrt{6 (0^{3} + K)}}{3} = 3$

चरण 6.2

दोनों पक्षों को $3$ से गुणा करें.

$\frac{\sqrt{6 (0^{3} + K)}}{3} \cdot 3 = 3 \cdot 3$

चरण 6.3

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.3.1

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.3.1.1

$\frac{\sqrt{6 (0^{3} + K)}}{3} \cdot 3$ को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.3.1.1.1

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.3.1.1.1.1

$0$ को किसी भी धनात्मक घात तक बढ़ाने से $0$ प्राप्त होता है.

$\frac{\sqrt{6 (0 + K)}}{3} \cdot 3 = 3 \cdot 3$

चरण 6.3.1.1.1.2

$0$ और $K$ जोड़ें.

$\frac{\sqrt{6 K}}{3} \cdot 3 = 3 \cdot 3$

चरण 6.3.1.1.2

$3$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.3.1.1.2.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{\sqrt{6 K}}{3} \cdot 3 = 3 \cdot 3$

चरण 6.3.1.1.2.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\sqrt{6 K} = 3 \cdot 3$

चरण 6.3.2

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.3.2.1

$3$ को $3$ से गुणा करें.

$\sqrt{6 K} = 9$

चरण 6.4

$K$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.4.1

समीकरण के बाईं पक्ष की ओर मूलांक निकालने के लिए, समीकरण के दोनों पक्षों का वर्ग करें.

${\sqrt{6 K}}^{2} = 9^{2}$

चरण 6.4.2

समीकरण के प्रत्येक पक्ष को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.4.2.1

$\sqrt{6 K}$ को ${(6 K)}^{\frac{1}{2}}$ के रूप में फिर से लिखने के लिए $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ का उपयोग करें.

${({(6 K)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 9^{2}$

चरण 6.4.2.2

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.4.2.2.1

${({(6 K)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.4.2.2.1.1

घातांक को ${({(6 K)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ में गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.4.2.2.1.1.1

घात नियम लागू करें और घातांक गुणा करें, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(6 K)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 9^{2}$

चरण 6.4.2.2.1.1.2

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.4.2.2.1.1.2.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

${(6 K)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 9^{2}$

चरण 6.4.2.2.1.1.2.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

${(6 K)}^{1} = 9^{2}$

चरण 6.4.2.2.1.2

सरल करें.

$6 K = 9^{2}$

चरण 6.4.2.3

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.4.2.3.1

$9$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$6 K = 81$

चरण 6.4.3

$6 K = 81$ के प्रत्येक पद को $6$ से भाग दें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.4.3.1

$6 K = 81$ के प्रत्येक पद को $6$ से विभाजित करें.

$\frac{6 K}{6} = \frac{81}{6}$

चरण 6.4.3.2

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.4.3.2.1

$6$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.4.3.2.1.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{6 K}{6} = \frac{81}{6}$

चरण 6.4.3.2.1.2

$K$ को $1$ से विभाजित करें.

$K = \frac{81}{6}$

चरण 6.4.3.3

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.4.3.3.1

$81$ और $6$ के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.4.3.3.1.1

$81$ में से $3$ का गुणनखंड करें.

$K = \frac{3 (27)}{6}$

चरण 6.4.3.3.1.2

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.4.3.3.1.2.1

$6$ में से $3$ का गुणनखंड करें.

$K = \frac{3 \cdot 27}{3 \cdot 2}$

चरण 6.4.3.3.1.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$K = \frac{3 \cdot 27}{3 \cdot 2}$

चरण 6.4.3.3.1.2.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$K = \frac{27}{2}$

चरण 7

$\frac{27}{2}$ को $y = \frac{\sqrt{6 (x^{3} + K)}}{3}$ में $K$ के स्थान पर प्रतिस्थापित करें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.1

$\frac{27}{2}$ को $K$ से प्रतिस्थापित करें.

$y = \frac{\sqrt{6 (x^{3} + \frac{27}{2})}}{3}$

चरण 7.2

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.2.1

$x^{3}$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{2}{2}$ से गुणा करें.

$y = \frac{\sqrt{6 (x^{3} \cdot \frac{2}{2} + \frac{27}{2})}}{3}$

चरण 7.2.2

$x^{3}$ और $\frac{2}{2}$ को मिलाएं.

$y = \frac{\sqrt{6 (\frac{x^{3} \cdot 2}{2} + \frac{27}{2})}}{3}$

चरण 7.2.3

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$y = \frac{\sqrt{6 \frac{x^{3} \cdot 2 + 27}{2}}}{3}$

चरण 7.2.4

$2$ को $x^{3}$ के बाईं ओर ले जाएं.

$y = \frac{\sqrt{6 \frac{2 x^{3} + 27}{2}}}{3}$

चरण 7.2.5

$6$ और $\frac{2 x^{3} + 27}{2}$ को मिलाएं.

$y = \frac{\sqrt{\frac{6 (2 x^{3} + 27)}{2}}}{3}$

चरण 7.2.6

सामान्य गुणनखंडों को रद्द करके व्यंजक को छोटा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.2.6.1

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करके व्यंजक $\frac{6 (2 x^{3} + 27)}{2}$ को छोटा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.2.6.1.1

$6 (2 x^{3} + 27)$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$y = \frac{\sqrt{\frac{2 (3 (2 x^{3} + 27))}{2}}}{3}$

चरण 7.2.6.1.2

$2$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$y = \frac{\sqrt{\frac{2 (3 (2 x^{3} + 27))}{2 (1)}}}{3}$

चरण 7.2.6.1.3

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$y = \frac{\sqrt{\frac{2 (3 (2 x^{3} + 27))}{2 \cdot 1}}}{3}$

चरण 7.2.6.1.4

व्यंजक को फिर से लिखें.

$y = \frac{\sqrt{\frac{3 (2 x^{3} + 27)}{1}}}{3}$

चरण 7.2.6.2

$3 (2 x^{3} + 27)$ को $1$ से विभाजित करें.

$y = \frac{\sqrt{3 (2 x^{3} + 27)}}{3}$