कैलकुलस उदाहरण

$\frac{d y}{d x} = \frac{5 + 3 y}{x - 1}$

चरण 1

चरों को अलग करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

दोनों पक्षों को $\frac{1}{5 + 3 y}$ से गुणा करें.

$\frac{1}{5 + 3 y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{5 + 3 y} \cdot \frac{5 + 3 y}{x - 1}$

चरण 1.2

$5 + 3 y$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{1}{5 + 3 y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{5 + 3 y} \cdot \frac{5 + 3 y}{x - 1}$

चरण 1.2.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{1}{5 + 3 y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{x - 1}$

चरण 1.3

समीकरण को फिर से लिखें.

$\frac{1}{5 + 3 y} d y = \frac{1}{x - 1} d x$

चरण 2

दोनों पक्षों को समाकलित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

प्रत्येक पक्ष का एक समाकलन सेट करें.

$\int \frac{1}{5 + 3 y} d y = \int \frac{1}{x - 1} d x$

चरण 2.2

बाएं पक्ष का समाकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.1

मान लीजिए $u_{1} = 5 + 3 y$ .फिर $d u_{1} = 3 d y$ , तो $\frac{1}{3} d u_{1} = d y$ . $u_{1}$ और $d$ $u_{1}$ का उपयोग करके फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.1.1

मान लें $u_{1} = 5 + 3 y$ . $\frac{d u_{1}}{d y}$ ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.1.1.1

$5 + 3 y$ को अवकलित करें.

$\frac{d}{d y} [5 + 3 y]$

चरण 2.2.1.1.2

अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.1.1.2.1

योग नियम के अनुसार, $y$ के संबंध में $5 + 3 y$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d y} [5] + \frac{d}{d y} [3 y]$ है.

$\frac{d}{d y} [5] + \frac{d}{d y} [3 y]$

चरण 2.2.1.1.2.2

चूंकि $y$ के संबंध में $5$ स्थिर है, $y$ के संबंध में $5$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$0 + \frac{d}{d y} [3 y]$

चरण 2.2.1.1.3

$\frac{d}{d y} [3 y]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.1.1.3.1

चूंकि $3$ , $y$ के संबंध में स्थिर है, $y$ के संबंध में $3 y$ का व्युत्पन्न $3 \frac{d}{d y} [y]$ है.

$0 + 3 \frac{d}{d y} [y]$

चरण 2.2.1.1.3.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ $n y^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$0 + 3 \cdot 1$

चरण 2.2.1.1.3.3

$3$ को $1$ से गुणा करें.

$0 + 3$

चरण 2.2.1.1.4

$0$ और $3$ जोड़ें.

$3$

चरण 2.2.1.2

$u_{1}$ और $d u_{1}$ का उपयोग करके समस्या को फिर से लिखें.

$\int \frac{1}{u_{1}} \cdot \frac{1}{3} d u_{1} = \int \frac{1}{x - 1} d x$

चरण 2.2.2

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.2.1

$\frac{1}{u_{1}}$ को $\frac{1}{3}$ से गुणा करें.

$\int \frac{1}{u_{1} \cdot 3} d u_{1} = \int \frac{1}{x - 1} d x$

चरण 2.2.2.2

$3$ को $u_{1}$ के बाईं ओर ले जाएं.

$\int \frac{1}{3 u_{1}} d u_{1} = \int \frac{1}{x - 1} d x$

चरण 2.2.3

चूँकि $\frac{1}{3}$ बटे $u_{1}$ अचर है, $\frac{1}{3}$ को समाकलन से हटा दें.

$\frac{1}{3} \int \frac{1}{u_{1}} d u_{1} = \int \frac{1}{x - 1} d x$

चरण 2.2.4

$u_{1}$ के संबंध में $\frac{1}{u_{1}}$ का इंटीग्रल $\ln (| u_{1} |)$ है.

$\frac{1}{3} (\ln (| u_{1} |) + C_{1}) = \int \frac{1}{x - 1} d x$

चरण 2.2.5

सरल करें.

$\frac{1}{3} \ln (| u_{1} |) + C_{1} = \int \frac{1}{x - 1} d x$

चरण 2.2.6

$u_{1}$ की सभी घटनाओं को $5 + 3 y$ से बदलें.

$\frac{1}{3} \ln (| 5 + 3 y |) + C_{1} = \int \frac{1}{x - 1} d x$

चरण 2.3

दाएं पक्ष का समाकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.1

मान लीजिए $u_{2} = x - 1$ . फिर $d u_{2} = d x$ . $u_{2}$ और $d$ $u_{2}$ का उपयोग करके फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.1.1

मान लें $u_{2} = x - 1$ . $\frac{d u_{2}}{d x}$ ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.1.1.1

$x - 1$ को अवकलित करें.

$\frac{d}{d x} [x - 1]$

चरण 2.3.1.1.2

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x - 1$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ है.

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

चरण 2.3.1.1.3

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$1 + \frac{d}{d x} [- 1]$

चरण 2.3.1.1.4

चूंकि $x$ के संबंध में $- 1$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $- 1$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$1 + 0$

चरण 2.3.1.1.5

$1$ और $0$ जोड़ें.

$1$

चरण 2.3.1.2

$u_{2}$ और $d u_{2}$ का उपयोग करके समस्या को फिर से लिखें.

$\frac{1}{3} \ln (| 5 + 3 y |) + C_{1} = \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

चरण 2.3.2

$u_{2}$ के संबंध में $\frac{1}{u_{2}}$ का इंटीग्रल $\ln (| u_{2} |)$ है.

$\frac{1}{3} \ln (| 5 + 3 y |) + C_{1} = \ln (| u_{2} |) + C_{2}$

चरण 2.3.3

$u_{2}$ की सभी घटनाओं को $x - 1$ से बदलें.

$\frac{1}{3} \ln (| 5 + 3 y |) + C_{1} = \ln (| x - 1 |) + C_{2}$

चरण 2.4

समाकलन के स्थिरांक को दाईं ओर $C$ के रूप में समूहित करें.

$\frac{1}{3} \ln (| 5 + 3 y |) = \ln (| x - 1 |) + C$

चरण 3

$y$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

समीकरण के दोनों पक्षों को $3$ से गुणा करें.

$3 (\frac{1}{3} \ln (| 5 + 3 y |)) = 3 (\ln (| x - 1 |) + C)$

चरण 3.2

समीकरण के दोनों पक्षों को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.1

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.1.1

$3 (\frac{1}{3} \ln (| 5 + 3 y |))$ को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.1.1.1

$\frac{1}{3}$ और $\ln (| 5 + 3 y |)$ को मिलाएं.

$3 \frac{\ln (| 5 + 3 y |)}{3} = 3 (\ln (| x - 1 |) + C)$

चरण 3.2.1.1.2

$3$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.1.1.2.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$3 \frac{\ln (| 5 + 3 y |)}{3} = 3 (\ln (| x - 1 |) + C)$

चरण 3.2.1.1.2.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\ln (| 5 + 3 y |) = 3 (\ln (| x - 1 |) + C)$

चरण 3.2.2

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.2.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\ln (| 5 + 3 y |) = 3 \ln (| x - 1 |) + 3 C$

चरण 3.3

लघुगणक वाले सभी पदों को समीकरण के बाईं पक्ष की ओर ले जाएँ.

$\ln (| 5 + 3 y |) - 3 \ln (| x - 1 |) = 3 C$

चरण 3.4

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.4.1

$\ln (| 5 + 3 y |) - 3 \ln (| x - 1 |)$ को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.4.1.1

$3$ को लघुगणक के अंदर ले जाकर $- 3 \ln (| x - 1 |)$ को सरल करें.

$\ln (| 5 + 3 y |) - \ln ({| x - 1 |}^{3}) = 3 C$

चरण 3.4.1.2

लघुगणक के भागफल गुण $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ का प्रयोग करें.

$\ln (\frac{| 5 + 3 y |}{{| x - 1 |}^{3}}) = 3 C$

चरण 3.5

$y$ के लिए हल करने के लिए, लघुगणक के गुणों का उपयोग करके समीकरण को फिर से लिखें.

$e^{\ln (\frac{| 5 + 3 y |}{{| x - 1 |}^{3}})} = e^{3 C}$

चरण 3.6

लघुगणक की परिभाषा का उपयोग करते हुए $\ln (\frac{| 5 + 3 y |}{{| x - 1 |}^{3}}) = 3 C$ को घातीय रूप में फिर से लिखें. अगर $x$ और $b$ धनात्मक वास्तविक संख्याएं हैं और $b \neq 1$ , तो $\log_{b} (x) = y$ $b^{y} = x$ के बराबर है.

$e^{3 C} = \frac{| 5 + 3 y |}{{| x - 1 |}^{3}}$

चरण 3.7

$y$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.7.1

समीकरण को $\frac{| 5 + 3 y |}{{| x - 1 |}^{3}} = e^{3 C}$ के रूप में फिर से लिखें.

$\frac{| 5 + 3 y |}{{| x - 1 |}^{3}} = e^{3 C}$

चरण 3.7.2

दोनों पक्षों को ${| x - 1 |}^{3}$ से गुणा करें.

$\frac{| 5 + 3 y |}{{| x - 1 |}^{3}} {| x - 1 |}^{3} = e^{3 C} {| x - 1 |}^{3}$

चरण 3.7.3

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.7.3.1

${| x - 1 |}^{3}$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.7.3.1.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{| 5 + 3 y |}{{| x - 1 |}^{3}} {| x - 1 |}^{3} = e^{3 C} {| x - 1 |}^{3}$

चरण 3.7.3.1.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$| 5 + 3 y | = e^{3 C} {| x - 1 |}^{3}$

चरण 3.7.4

$y$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.7.4.1

गुणनखंडों को $e^{3 C} {| x - 1 |}^{3}$ में पुन: क्रमित करें.

$| 5 + 3 y | = {| x - 1 |}^{3} e^{3 C}$

चरण 3.7.4.2

निरपेक्ष मान पद को हटा दें. यह समीकरण के दाएं पक्ष की ओर एक $\pm$ बनाता है जो $| x | = \pm x$ है.

$5 + 3 y = \pm {| x - 1 |}^{3} e^{3 C}$

चरण 3.7.4.3

गुणनखंडों को $\pm {| x - 1 |}^{3} e^{3 C}$ में पुन: क्रमित करें.

$5 + 3 y = \pm e^{3 C} {| x - 1 |}^{3}$

चरण 3.7.4.4

समीकरण के दोनों पक्षों से $5$ घटाएं.

$3 y = \pm e^{3 C} {| x - 1 |}^{3} - 5$

चरण 3.7.4.5

$3 y = \pm e^{3 C} {| x - 1 |}^{3} - 5$ के प्रत्येक पद को $3$ से भाग दें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.7.4.5.1

$3 y = \pm e^{3 C} {| x - 1 |}^{3} - 5$ के प्रत्येक पद को $3$ से विभाजित करें.

$\frac{3 y}{3} = \frac{\pm e^{3 C} {| x - 1 |}^{3}}{3} + \frac{- 5}{3}$

चरण 3.7.4.5.2

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.7.4.5.2.1

$3$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.7.4.5.2.1.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{3 y}{3} = \frac{\pm e^{3 C} {| x - 1 |}^{3}}{3} + \frac{- 5}{3}$

चरण 3.7.4.5.2.1.2

$y$ को $1$ से विभाजित करें.

$y = \frac{\pm e^{3 C} {| x - 1 |}^{3}}{3} + \frac{- 5}{3}$

चरण 3.7.4.5.3

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.7.4.5.3.1

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$y = \frac{\pm e^{3 C} {| x - 1 |}^{3}}{3} - \frac{5}{3}$

चरण 3.7.4.5.3.2

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$y = \frac{\pm e^{3 C} {| x - 1 |}^{3} - 5}{3}$

चरण 4

स्थिर पदों को एक साथ समूहित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1

समाकलन की संतति को सरल करें.

$y = \frac{\pm C {| x - 1 |}^{3} - 5}{3}$

चरण 4.2

प्लस या माइनस के साथ स्थिरांक मिलाएं.

$y = \frac{C {| x - 1 |}^{3} - 5}{3}$