कैलकुलस उदाहरण

$(x + y) \frac{d y}{d x} = 2 (x + y) + 1$

चरण 1

मान लीजिए $v = x + y$ . $x + y$ की सभी घटनाओं के लिए $v$ को प्रतिस्थापित करें.

$v \frac{d y}{d x} = 2 v + 1$

चरण 2

$x + y$ को अलग करके $\frac{d v}{d x}$ ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x + y$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y]$ है.

$\frac{d v}{d x} = \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y]$

चरण 2.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$\frac{d v}{d x} = 1 + \frac{d}{d x} [y]$

चरण 2.3

$\frac{d}{d x} [y]$ को $y'$ के रूप में फिर से लिखें.

$\frac{d v}{d x} = 1 + y'$

चरण 3

व्युत्पन्न को डिफरेन्शल इक्वेश़न में वापस प्रतिस्थापित करें.

$v \frac{d v}{d x} - v = 2 v + 1$

चरण 4

चरों को अलग करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1

$\frac{d v}{d x}$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1.1

$\frac{d v}{d x}$ वाले सभी पदों को समीकरण के दाईं ओर ले जाएं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1.1.1

समीकरण के दोनों पक्षों में $v$ जोड़ें.

$v \frac{d v}{d x} = 2 v + 1 + v$

चरण 4.1.1.2

$2 v$ और $v$ जोड़ें.

$v \frac{d v}{d x} = 3 v + 1$

चरण 4.1.2

$v \frac{d v}{d x} = 3 v + 1$ के प्रत्येक पद को $v$ से भाग दें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1.2.1

$v \frac{d v}{d x} = 3 v + 1$ के प्रत्येक पद को $v$ से विभाजित करें.

$\frac{v \frac{d v}{d x}}{v} = \frac{3 v}{v} + \frac{1}{v}$

चरण 4.1.2.2

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1.2.2.1

$v$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1.2.2.1.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{v \frac{d v}{d x}}{v} = \frac{3 v}{v} + \frac{1}{v}$

चरण 4.1.2.2.1.2

$\frac{d v}{d x}$ को $1$ से विभाजित करें.

$\frac{d v}{d x} = \frac{3 v}{v} + \frac{1}{v}$

चरण 4.1.2.3

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1.2.3.1

$v$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1.2.3.1.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{d v}{d x} = \frac{3 v}{v} + \frac{1}{v}$

चरण 4.1.2.3.1.2

$3$ को $1$ से विभाजित करें.

$\frac{d v}{d x} = 3 + \frac{1}{v}$

चरण 4.2

दोनों पक्षों को $\frac{1}{3 + \frac{1}{v}}$ से गुणा करें.

$\frac{1}{3 + \frac{1}{v}} \frac{d v}{d x} = \frac{1}{3 + \frac{1}{v}} (3 + \frac{1}{v})$

चरण 4.3

$3 + \frac{1}{v}$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.3.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{1}{3 + \frac{1}{v}} \frac{d v}{d x} = \frac{1}{3 + \frac{1}{v}} (3 + \frac{1}{v})$

चरण 4.3.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{1}{3 + \frac{1}{v}} \frac{d v}{d x} = 1$

चरण 4.4

समीकरण को फिर से लिखें.

$\frac{1}{3 + \frac{1}{v}} d v = 1 d x$

चरण 5

दोनों पक्षों को समाकलित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1

प्रत्येक पक्ष का एक समाकलन सेट करें.

$\int \frac{1}{3 + \frac{1}{v}} d v = \int d x$

चरण 5.2

बाएं पक्ष का समाकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.1

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.1.1

भाजक को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.1.1.1

$3$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{v}{v}$ से गुणा करें.

$\int \frac{1}{\frac{3 v}{v} + \frac{1}{v}} d v = \int d x$

चरण 5.2.1.1.2

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$\int \frac{1}{\frac{3 v + 1}{v}} d v = \int d x$

चरण 5.2.1.2

भाजक के प्रतिलोम से न्यूमेरेटर को गुणा करें.

$\int 1 \frac{v}{3 v + 1} d v = \int d x$

चरण 5.2.1.3

$\frac{v}{3 v + 1}$ को $1$ से गुणा करें.

$\int \frac{v}{3 v + 1} d v = \int d x$

चरण 5.2.2

$v$ को $3 v + 1$ से विभाजित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.2.1

बहुपदों को विभाजित करने के लिए सेट करें. यदि प्रत्येक घातांक के लिए कोई पद नहीं है, तो $0$ के मान वाला एक शब्द डालें.

$3 v$

$1$

$v$

$0$

चरण 5.2.2.2

भाज्य $v$ के उच्च क्रम के पद को विभाजक $3 v$ के उच्च क्रम वाले पद से विभाजित करें.

					$\frac{1}{3}$
	$3 v$	+	$1$		$v$	+	$0$

चरण 5.2.2.3

भाजक से नए भागफल पद को गुणा करें.

				$\frac{1}{3}$
$3 v$	+	$1$		$v$	+	$0$
			+	$v$	+	$\frac{1}{3}$

चरण 5.2.2.4

व्यंजक को भाज्य से घटाने की आवश्यकता है, इसलिए $v + \frac{1}{3}$ में सभी चिह्नों को प्रतिस्थापित करें

				$\frac{1}{3}$
$3 v$	+	$1$		$v$	+	$0$
			-	$v$	-	$\frac{1}{3}$

चरण 5.2.2.5

संकेतों को बदलने के बाद, नया लाभांश खोजने के लिए गुणा बहुपद से अंतिम लाभांश जोड़ें.

				$\frac{1}{3}$
$3 v$	+	$1$		$v$	+	$0$
			-	$v$	-	$\frac{1}{3}$
					-	$\frac{1}{3}$

चरण 5.2.2.6

अंतिम उत्तर भागफल और भाजक पर शेषफल है.

$\int \frac{1}{3} - \frac{1}{3 (3 v + 1)} d v = \int d x$

चरण 5.2.3

एकल समाकलन को कई समाकलन में विभाजित करें.

$\int \frac{1}{3} d v + \int - \frac{1}{3 (3 v + 1)} d v = \int d x$

चरण 5.2.4

स्थिरांक नियम लागू करें.

$\frac{1}{3} v + C_{1} + \int - \frac{1}{3 (3 v + 1)} d v = \int d x$

चरण 5.2.5

चूँकि $- 1$ बटे $v$ अचर है, $- 1$ को समाकलन से हटा दें.

$\frac{1}{3} v + C_{1} - \int \frac{1}{3 (3 v + 1)} d v = \int d x$

चरण 5.2.6

चूँकि $\frac{1}{3}$ बटे $v$ अचर है, $\frac{1}{3}$ को समाकलन से हटा दें.

$\frac{1}{3} v + C_{1} - (\frac{1}{3} \int \frac{1}{3 v + 1} d v) = \int d x$

चरण 5.2.7

मान लीजिए $u = 3 v + 1$ .फिर $d u = 3 d v$ , तो $\frac{1}{3} d u = d v$ . $u$ और $d$ $u$ का उपयोग करके फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.7.1

मान लें $u = 3 v + 1$ . $\frac{d u}{d v}$ ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.7.1.1

$3 v + 1$ को अवकलित करें.

$\frac{d}{d v} [3 v + 1]$

चरण 5.2.7.1.2

योग नियम के अनुसार, $v$ के संबंध में $3 v + 1$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d v} [3 v] + \frac{d}{d v} [1]$ है.

$\frac{d}{d v} [3 v] + \frac{d}{d v} [1]$

चरण 5.2.7.1.3

$\frac{d}{d v} [3 v]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.7.1.3.1

चूंकि $3$ , $v$ के संबंध में स्थिर है, $v$ के संबंध में $3 v$ का व्युत्पन्न $3 \frac{d}{d v} [v]$ है.

$3 \frac{d}{d v} [v] + \frac{d}{d v} [1]$

चरण 5.2.7.1.3.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d v} [v^{n}]$ $n v^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$3 \cdot 1 + \frac{d}{d v} [1]$

चरण 5.2.7.1.3.3

$3$ को $1$ से गुणा करें.

$3 + \frac{d}{d v} [1]$

चरण 5.2.7.1.4

स्थिरांक नियम का उपयोग करके अंतर करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.7.1.4.1

चूंकि $v$ के संबंध में $1$ स्थिर है, $v$ के संबंध में $1$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$3 + 0$

चरण 5.2.7.1.4.2

$3$ और $0$ जोड़ें.

$3$

चरण 5.2.7.2

$u$ और $d u$ का उपयोग करके समस्या को फिर से लिखें.

$\frac{1}{3} v + C_{1} - \frac{1}{3} \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{3} d u = \int d x$

चरण 5.2.8

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.8.1

$\frac{1}{u}$ को $\frac{1}{3}$ से गुणा करें.

$\frac{1}{3} v + C_{1} - \frac{1}{3} \int \frac{1}{u \cdot 3} d u = \int d x$

चरण 5.2.8.2

$3$ को $u$ के बाईं ओर ले जाएं.

$\frac{1}{3} v + C_{1} - \frac{1}{3} \int \frac{1}{3 u} d u = \int d x$

चरण 5.2.9

चूँकि $\frac{1}{3}$ बटे $u$ अचर है, $\frac{1}{3}$ को समाकलन से हटा दें.

$\frac{1}{3} v + C_{1} - \frac{1}{3} (\frac{1}{3} \int \frac{1}{u} d u) = \int d x$

चरण 5.2.10

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.10.1

$\frac{1}{3}$ को $\frac{1}{3}$ से गुणा करें.

$\frac{1}{3} v + C_{1} - \frac{1}{3 \cdot 3} \int \frac{1}{u} d u = \int d x$

चरण 5.2.10.2

$3$ को $3$ से गुणा करें.

$\frac{1}{3} v + C_{1} - \frac{1}{9} \int \frac{1}{u} d u = \int d x$

चरण 5.2.11

$u$ के संबंध में $\frac{1}{u}$ का इंटीग्रल $\ln (| u |)$ है.

$\frac{1}{3} v + C_{1} - \frac{1}{9} (\ln (| u |) + C_{2}) = \int d x$

चरण 5.2.12

सरल करें.

$\frac{1}{3} v - \frac{1}{9} \ln (| u |) + C_{3} = \int d x$

चरण 5.3

स्थिरांक नियम लागू करें.

$\frac{1}{3} v - \frac{1}{9} \ln (| u |) + C_{3} = x + C_{4}$

चरण 5.4

समाकलन के स्थिरांक को दाईं ओर $C$ के रूप में समूहित करें.

$\frac{1}{3} v - \frac{1}{9} \ln (| u |) = x + C$

चरण 6

$v$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1.1

$\frac{1}{3}$ और $v$ को मिलाएं.

$\frac{v}{3} - \frac{1}{9} \ln (| u |) = x + C$

चरण 6.1.2

$- \frac{1}{9} \ln (| u |)$ गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1.2.1

$\ln (| u |)$ और $\frac{1}{9}$ को पुन: क्रमित करें.

$\frac{v}{3} - (\frac{1}{9} \ln (| u |)) = x + C$

चरण 6.1.2.2

$\frac{1}{9}$ को लघुगणक के अंदर ले जाकर $\frac{1}{9} \ln (| u |)$ को सरल करें.

$\frac{v}{3} - \ln ({| u |}^{\frac{1}{9}}) = x + C$

चरण 6.2

समीकरण के दोनों पक्षों में $\ln ({| u |}^{\frac{1}{9}})$ जोड़ें.

$\frac{v}{3} = x + C + \ln ({| u |}^{\frac{1}{9}})$

चरण 6.3

समीकरण के दोनों पक्षों को $3$ से गुणा करें.

$3 \frac{v}{3} = 3 (x + C + \ln ({| u |}^{\frac{1}{9}}))$

चरण 6.4

समीकरण के दोनों पक्षों को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.4.1

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.4.1.1

$3$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.4.1.1.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$3 \frac{v}{3} = 3 (x + C + \ln ({| u |}^{\frac{1}{9}}))$

चरण 6.4.1.1.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$v = 3 (x + C + \ln ({| u |}^{\frac{1}{9}}))$

चरण 6.4.2

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.4.2.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$v = 3 x + 3 C + 3 \ln ({| u |}^{\frac{1}{9}})$

चरण 6.5

$3 x + 3 C + 3 \ln ({| u |}^{\frac{1}{9}})$ को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.5.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.5.1.1

$3$ को लघुगणक के अंदर ले जाकर $3 \ln ({| u |}^{\frac{1}{9}})$ को सरल करें.

$v = 3 x + 3 C + \ln ({({| u |}^{\frac{1}{9}})}^{3})$

चरण 6.5.1.2

घातांक को ${({| u |}^{\frac{1}{9}})}^{3}$ में गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.5.1.2.1

घात नियम लागू करें और घातांक गुणा करें, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$v = 3 x + 3 C + \ln ({| u |}^{\frac{1}{9} \cdot 3})$

चरण 6.5.1.2.2

$3$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.5.1.2.2.1

$9$ में से $3$ का गुणनखंड करें.

$v = 3 x + 3 C + \ln ({| u |}^{\frac{1}{3 (3)} \cdot 3})$

चरण 6.5.1.2.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$v = 3 x + 3 C + \ln ({| u |}^{\frac{1}{3 \cdot 3} \cdot 3})$

चरण 6.5.1.2.2.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$v = 3 x + 3 C + \ln ({| u |}^{\frac{1}{3}})$

चरण 6.5.2

$3 x$ और $3 C$ को पुन: क्रमित करें.

$v = 3 C + 3 x + \ln ({| u |}^{\frac{1}{3}})$

चरण 7

समाकलन की संतति को सरल करें.

$v = C + 3 x + \ln ({| u |}^{\frac{1}{3}})$

चरण 8

$v$ की सभी घटनाओं को $x + y$ से बदलें.

$x + y = C + 3 x + \ln ({| u |}^{\frac{1}{3}})$

चरण 9

$y$ वाले सभी पदों को समीकरण के दाईं ओर ले जाएं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.1

समीकरण के दोनों पक्षों से $x$ घटाएं.

$y = C + 3 x + \ln ({| u |}^{\frac{1}{3}}) - x$

चरण 9.2

$3 x$ में से $x$ घटाएं.

$y = C + 2 x + \ln ({| u |}^{\frac{1}{3}})$