कैलकुलस उदाहरण

$(x + 1) \frac{d y}{d x} + y = \ln (x)$ , $y (1) = 10$

चरण 1

जाँच करें कि क्या समीकरण का बायाँ पक्ष $(x + 1) y$ पद के व्युत्पन्न का परिणाम है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

गुणनफल नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ है, जहाँ $f (x) = x + 1$ और $g (x) = y$ है.

$(x + 1) \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x + 1]$

चरण 1.2

$\frac{d}{d x} [y]$ को $y'$ के रूप में फिर से लिखें.

$(x + 1) y' + y \frac{d}{d x} [x + 1]$

चरण 1.3

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x + 1$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ है.

$(x + 1) y' + y (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])$

चरण 1.4

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$(x + 1) y' + y (1 + \frac{d}{d x} [1])$

चरण 1.5

चूंकि $x$ के संबंध में $1$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $1$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$(x + 1) y' + y (1 + 0)$

चरण 1.6

$1$ और $0$ जोड़ें.

$(x + 1) y' + y \cdot 1$

चरण 1.7

$\frac{d y}{d x}$ को $y'$ से प्रतिस्थापित करें.

$(x + 1) \frac{d y}{d x} + y \cdot 1$

चरण 1.8

$y$ और $1$ को पुन: क्रमित करें.

$(x + 1) \frac{d y}{d x} + 1 \cdot y$

चरण 1.9

$y$ को $1$ से गुणा करें.

$(x + 1) \frac{d y}{d x} + y$

चरण 2

किसी गुणन में अंतर करने के परिणामस्वरूप बाईं ओर फिर से लिखें.

$\frac{d}{d x} [(x + 1) y] = \ln (x)$

चरण 3

प्रत्येक पक्ष का एक समाकलन सेट करें.

$\int \frac{d}{d x} [(x + 1) y] d x = \int \ln (x) d x$

चरण 4

बाएं पक्ष का समाकलन करें.

$(x + 1) y = \int \ln (x) d x$

चरण 5

दाएं पक्ष का समाकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1

$\int u d v = u v - \int v d u$ , जहां $u = \ln (x)$ और $d v = 1$ सूत्र का उपयोग करके भागों द्वारा एकीकृत करें.

$(x + 1) y = \ln (x) x - \int x \frac{1}{x} d x$

चरण 5.2

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.1

$x$ और $\frac{1}{x}$ को मिलाएं.

$(x + 1) y = \ln (x) x - \int \frac{x}{x} d x$

चरण 5.2.2

$x$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.2.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$(x + 1) y = \ln (x) x - \int \frac{x}{x} d x$

चरण 5.2.2.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$(x + 1) y = \ln (x) x - \int d x$

चरण 5.3

स्थिरांक नियम लागू करें.

$(x + 1) y = \ln (x) x - (x + C)$

चरण 5.4

सरल करें.

$(x + 1) y = \ln (x) x - x + C$

चरण 6

$(x + 1) y = \ln (x) x - x + C$ के प्रत्येक पद को $x + 1$ से भाग दें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1

$(x + 1) y = \ln (x) x - x + C$ के प्रत्येक पद को $x + 1$ से विभाजित करें.

$\frac{(x + 1) y}{x + 1} = \frac{\ln (x) x}{x + 1} + \frac{- x}{x + 1} + \frac{C}{x + 1}$

चरण 6.2

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.1

$x + 1$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.1.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{(x + 1) y}{x + 1} = \frac{\ln (x) x}{x + 1} + \frac{- x}{x + 1} + \frac{C}{x + 1}$

चरण 6.2.1.2

$y$ को $1$ से विभाजित करें.

$y = \frac{\ln (x) x}{x + 1} + \frac{- x}{x + 1} + \frac{C}{x + 1}$

चरण 6.3

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.3.1

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$y = \frac{\ln (x) x}{x + 1} - \frac{x}{x + 1} + \frac{C}{x + 1}$

चरण 6.3.2

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$y = \frac{\ln (x) x - x}{x + 1} + \frac{C}{x + 1}$

चरण 6.3.3

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$y = \frac{\ln (x) x - x + C}{x + 1}$

चरण 6.3.4

गुणनखंडों को $\ln (x) x - x + C$ में पुन: क्रमित करें.

$y = \frac{x \ln (x) - x + C}{x + 1}$

चरण 7

$x$ के लिए $1$ और $y = \frac{x \ln (x) - x + C}{x + 1}$ में $y$ के लिए $10$ को प्रतिस्थापित करके $C$ का मान ज्ञात करने के लिए प्रारंभिक शर्त का उपयोग करें.

$10 = \frac{1 \ln (1) - 1 + C}{1 + 1}$

चरण 8

$C$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.1

समीकरण को $\frac{1 \ln (1) - 1 + C}{1 + 1} = 10$ के रूप में फिर से लिखें.

$\frac{1 \ln (1) - 1 + C}{1 + 1} = 10$

चरण 8.2

समीकरण के दोनों पक्षों को $1 + 1$ से गुणा करें.

$(1 + 1) \frac{1 \ln (1) - 1 + C}{1 + 1} = (1 + 1) \cdot 10$

चरण 8.3

समीकरण के दोनों पक्षों को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.3.1

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.3.1.1

$(1 + 1) \frac{1 \ln (1) - 1 + C}{1 + 1}$ को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.3.1.1.1

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.3.1.1.1.1

$\ln (1)$ को $1$ से गुणा करें.

$(1 + 1) \frac{\ln (1) - 1 + C}{1 + 1} = (1 + 1) \cdot 10$

चरण 8.3.1.1.1.2

$1$ का प्राकृतिक लघुगणक $0$ है.

$(1 + 1) \frac{0 - 1 + C}{1 + 1} = (1 + 1) \cdot 10$

चरण 8.3.1.1.1.3

$0$ में से $1$ घटाएं.

$(1 + 1) \frac{- 1 + C}{1 + 1} = (1 + 1) \cdot 10$

चरण 8.3.1.1.2

सामान्य गुणनखंडों को रद्द करके व्यंजक को छोटा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.3.1.1.2.1

$1$ और $1$ जोड़ें.

$(1 + 1) \frac{- 1 + C}{2} = (1 + 1) \cdot 10$

चरण 8.3.1.1.2.2

$1$ और $1$ जोड़ें.

$2 \frac{- 1 + C}{2} = (1 + 1) \cdot 10$

चरण 8.3.1.1.2.3

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.3.1.1.2.3.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$2 \frac{- 1 + C}{2} = (1 + 1) \cdot 10$

चरण 8.3.1.1.2.3.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$- 1 + C = (1 + 1) \cdot 10$

चरण 8.3.2

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.3.2.1

$(1 + 1) \cdot 10$ को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.3.2.1.1

$1$ और $1$ जोड़ें.

$- 1 + C = 2 \cdot 10$

चरण 8.3.2.1.2

$2$ को $10$ से गुणा करें.

$- 1 + C = 20$

चरण 8.4

$C$ वाले सभी पदों को समीकरण के दाईं ओर ले जाएं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.4.1

समीकरण के दोनों पक्षों में $1$ जोड़ें.

$C = 20 + 1$

चरण 8.4.2

$20$ और $1$ जोड़ें.

$C = 21$

चरण 9

$21$ को $y = \frac{x \ln (x) - x + C}{x + 1}$ में $C$ के स्थान पर प्रतिस्थापित करें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.1

$21$ को $C$ से प्रतिस्थापित करें.

$y = \frac{x \ln (x) - x + 21}{x + 1}$