कैलकुलस उदाहरण

$\cos (x + y) d x + (3 y^{2} + 2 y + \cos (x + y)) d y = 0$

चरण 1

$\frac{\partial M}{\partial y}$ पता कीजिए जहां $M (x, y) = \cos (x + y)$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

$M$ को $y$ से अलग करें.

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [\cos (x + y)]$

चरण 1.2

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ $f' (g (y)) g' (y)$ है, जहाँ $f (y) = \cos (y)$ और $g (y) = x + y$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u$ को $x + y$ के रूप में सेट करें.

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d y} [x + y]$

चरण 1.2.2

$u$ के संबंध में $\cos (u)$ का व्युत्पन्न $- \sin (u)$ है.

$\frac{\partial M}{\partial y} = - \sin (u) \frac{d}{d y} [x + y]$

चरण 1.2.3

$u$ की सभी घटनाओं को $x + y$ से बदलें.

$\frac{\partial M}{\partial y} = - \sin (x + y) \frac{d}{d y} [x + y]$

चरण 1.3

अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.3.1

योग नियम के अनुसार, $y$ के संबंध में $x + y$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [y]$ है.

$\frac{\partial M}{\partial y} = - \sin (x + y) (\frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [y])$

चरण 1.3.2

चूंकि $y$ के संबंध में $x$ स्थिर है, $y$ के संबंध में $x$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$\frac{\partial M}{\partial y} = - \sin (x + y) (0 + \frac{d}{d y} [y])$

चरण 1.3.3

$0$ और $\frac{d}{d y} [y]$ जोड़ें.

$\frac{\partial M}{\partial y} = - \sin (x + y) \frac{d}{d y} [y]$

चरण 1.3.4

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ $n y^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$\frac{\partial M}{\partial y} = - \sin (x + y) \cdot 1$

चरण 1.3.5

$- 1$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{\partial M}{\partial y} = - \sin (x + y)$

चरण 2

$\frac{\partial N}{\partial x}$ पता कीजिए जहां $N (x, y) = 3 y^{2} + 2 y + \cos (x + y)$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

$N$ को $x$ से अलग करें.

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [3 y^{2} + 2 y + \cos (x + y)]$

चरण 2.2

अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.1

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $3 y^{2} + 2 y + \cos (x + y)$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [3 y^{2}] + \frac{d}{d x} [2 y] + \frac{d}{d x} [\cos (x + y)]$ है.

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [3 y^{2}] + \frac{d}{d x} [2 y] + \frac{d}{d x} [\cos (x + y)]$

चरण 2.2.2

चूंकि $x$ के संबंध में $3 y^{2}$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $3 y^{2}$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + \frac{d}{d x} [2 y] + \frac{d}{d x} [\cos (x + y)]$

चरण 2.2.3

चूंकि $x$ के संबंध में $2 y$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $2 y$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + 0 + \frac{d}{d x} [\cos (x + y)]$

चरण 2.3

$\frac{d}{d x} [\cos (x + y)]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.1

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = \cos (x)$ और $g (x) = x + y$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.1.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u$ को $x + y$ के रूप में सेट करें.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + 0 + \frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [x + y]$

चरण 2.3.1.2

$u$ के संबंध में $\cos (u)$ का व्युत्पन्न $- \sin (u)$ है.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + 0 - \sin (u) \frac{d}{d x} [x + y]$

चरण 2.3.1.3

$u$ की सभी घटनाओं को $x + y$ से बदलें.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + 0 - \sin (x + y) \frac{d}{d x} [x + y]$

चरण 2.3.2

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x + y$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y]$ है.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + 0 - \sin (x + y) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y])$

चरण 2.3.3

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + 0 - \sin (x + y) (1 + \frac{d}{d x} [y])$

चरण 2.3.4

चूंकि $x$ के संबंध में $y$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $y$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + 0 - \sin (x + y) (1 + 0)$

चरण 2.3.5

$1$ और $0$ जोड़ें.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + 0 - \sin (x + y) \cdot 1$

चरण 2.3.6

$- 1$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + 0 - \sin (x + y)$

चरण 2.4

पदों को मिलाएं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.4.1

$0$ और $0$ जोड़ें.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 - \sin (x + y)$

चरण 2.4.2

$0$ में से $\sin (x + y)$ घटाएं.

$\frac{\partial N}{\partial x} = - \sin (x + y)$

चरण 3

उस $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ को जांचें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

$\frac{\partial M}{\partial y}$ के लिए $- \sin (x + y)$ और $\frac{\partial N}{\partial x}$ के लिए $- \sin (x + y)$ प्रतिस्थापित करें.

$- \sin (x + y) = - \sin (x + y)$

चरण 3.2

चूँकि दोनों पक्षों को समतुल्य दिखाया गया है, समीकरण एक सर्वसमिका है.

$- \sin (x + y) = - \sin (x + y)$ एक सर्वसमिका है.

चरण 4

$f (x, y)$ को $M (x, y)$ के इंटीग्रल के बराबर सेट करें.

$f (x, y) = \int \cos (x + y) d x$

चरण 5

$f (x, y)$ को खोजने के लिए $M (x, y) = \cos (x + y)$ को समाकलित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1

मान लीजिए $u = x + y$ . फिर $d u = d x$ . $u$ और $d$ $u$ का उपयोग करके फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1.1

मान लें $u = x + y$ . $\frac{d u}{d x}$ ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1.1.1

$x + y$ को अवकलित करें.

$\frac{d}{d x} [x + y]$

चरण 5.1.1.2

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x + y$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y]$ है.

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y]$

चरण 5.1.1.3

$1 + \frac{d}{d x} [y]$

चरण 5.1.1.4

चूंकि $x$ के संबंध में $y$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $y$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$1 + 0$

चरण 5.1.1.5

$1$ और $0$ जोड़ें.

$1$

चरण 5.1.2

$u$ और $d u$ का उपयोग करके समस्या को फिर से लिखें.

$f (x, y) = \int \cos (u) d u$

चरण 5.2

$u$ के संबंध में $\cos (u)$ का इंटीग्रल $\sin (u)$ है.

$f (x, y) = \sin (u) + C$

चरण 5.3

$u$ की सभी घटनाओं को $x + y$ से बदलें.

$f (x, y) = \sin (x + y) + C$

चरण 6

चूँकि $g (y)$ के इंटिग्रल में इंटिग्रेशन स्थिरांक होगा, हम $C$ को $g (y)$ से बदल सकते हैं.

$f (x, y) = \sin (x + y) + g (y)$

चरण 7

$\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ सेट करें.

$\frac{\partial f}{\partial y} = 3 y^{2} + 2 y + \cos (x + y)$

चरण 8

$\frac{\partial f}{\partial y}$ पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.1

$f$ को $y$ से अलग करें.

$\frac{d}{d y} [\sin (x + y) + g (y)] = 3 y^{2} + 2 y + \cos (x + y)$

चरण 8.2

योग नियम के अनुसार, $y$ के संबंध में $\sin (x + y) + g (y)$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d y} [\sin (x + y)] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ है.

$\frac{d}{d y} [\sin (x + y)] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 y^{2} + 2 y + \cos (x + y)$

चरण 8.3

$\frac{d}{d y} [\sin (x + y)]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.3.1

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ $f' (g (y)) g' (y)$ है, जहाँ $f (y) = \sin (y)$ और $g (y) = x + y$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.3.1.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u$ को $x + y$ के रूप में सेट करें.

$\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d y} [x + y] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 y^{2} + 2 y + \cos (x + y)$

चरण 8.3.1.2

$u$ के संबंध में $\sin (u)$ का व्युत्पन्न $\cos (u)$ है.

$\cos (u) \frac{d}{d y} [x + y] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 y^{2} + 2 y + \cos (x + y)$

चरण 8.3.1.3

$u$ की सभी घटनाओं को $x + y$ से बदलें.

$\cos (x + y) \frac{d}{d y} [x + y] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 y^{2} + 2 y + \cos (x + y)$

चरण 8.3.2

योग नियम के अनुसार, $y$ के संबंध में $x + y$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [y]$ है.

$\cos (x + y) (\frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [y]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 y^{2} + 2 y + \cos (x + y)$

चरण 8.3.3

चूंकि $y$ के संबंध में $x$ स्थिर है, $y$ के संबंध में $x$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$\cos (x + y) (0 + \frac{d}{d y} [y]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 y^{2} + 2 y + \cos (x + y)$

चरण 8.3.4

$\cos (x + y) (0 + 1) + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 y^{2} + 2 y + \cos (x + y)$

चरण 8.3.5

$0$ और $1$ जोड़ें.

$\cos (x + y) \cdot 1 + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 y^{2} + 2 y + \cos (x + y)$

चरण 8.3.6

$\cos (x + y)$ को $1$ से गुणा करें.

$\cos (x + y) + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 y^{2} + 2 y + \cos (x + y)$

चरण 8.4

फलन नियम का उपयोग करके अंतर करें जो बताता है कि $g (y)$ का व्युत्पन्न $\frac{d g}{d y}$ है.

$\cos (x + y) + \frac{d g}{d y} = 3 y^{2} + 2 y + \cos (x + y)$

चरण 8.5

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$\frac{d g}{d y} + \cos (x + y) = 3 y^{2} + 2 y + \cos (x + y)$

चरण 9

$\frac{d g}{d y}$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.1

$\frac{d g}{d y}$ वाले सभी पदों को समीकरण के दाईं ओर ले जाएं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.1.1

समीकरण के दोनों पक्षों से $\cos (x + y)$ घटाएं.

$\frac{d g}{d y} = 3 y^{2} + 2 y + \cos (x + y) - \cos (x + y)$

चरण 9.1.2

$3 y^{2} + 2 y + \cos (x + y) - \cos (x + y)$ में विपरीत पदों को मिलाएं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.1.2.1

$\cos (x + y)$ में से $\cos (x + y)$ घटाएं.

$\frac{d g}{d y} = 3 y^{2} + 2 y + 0$

चरण 9.1.2.2

$3 y^{2} + 2 y$ और $0$ जोड़ें.

$\frac{d g}{d y} = 3 y^{2} + 2 y$

चरण 10

$g (y)$ को खोजने के लिए $3 y^{2} + 2 y$ का विरोधी व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 10.1

$\frac{d g}{d y} = 3 y^{2} + 2 y$ के दोनों पक्षों को समाकलित करें.

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int 3 y^{2} + 2 y d y$

चरण 10.2

$\int \frac{d g}{d y} d y$ का मान ज्ञात करें.

$g (y) = \int 3 y^{2} + 2 y d y$

चरण 10.3

एकल समाकलन को कई समाकलन में विभाजित करें.

$g (y) = \int 3 y^{2} d y + \int 2 y d y$

चरण 10.4

चूँकि $3$ बटे $y$ अचर है, $3$ को समाकलन से हटा दें.

$g (y) = 3 \int y^{2} d y + \int 2 y d y$

चरण 10.5

घात नियम के अनुसार, $y$ के संबंध में $y^{2}$ का समाकलन $\frac{1}{3} y^{3}$ है.

$g (y) = 3 (\frac{1}{3} y^{3} + C) + \int 2 y d y$

चरण 10.6

चूँकि $2$ बटे $y$ अचर है, $2$ को समाकलन से हटा दें.

$g (y) = 3 (\frac{1}{3} y^{3} + C) + 2 \int y d y$

चरण 10.7

घात नियम के अनुसार, $y$ के संबंध में $y$ का समाकलन $\frac{1}{2} y^{2}$ है.

$g (y) = 3 (\frac{1}{3} y^{3} + C) + 2 (\frac{1}{2} y^{2} + C)$

चरण 10.8

सरल करें.

$g (y) = 3 (\frac{1}{3}) y^{3} + 2 (\frac{1}{2}) y^{2} + C$

चरण 10.9

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 10.9.1

$3$ और $\frac{1}{3}$ को मिलाएं.

$g (y) = \frac{3}{3} y^{3} + 2 (\frac{1}{2}) y^{2} + C$

चरण 10.9.2

$3$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 10.9.2.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$g (y) = \frac{3}{3} y^{3} + 2 (\frac{1}{2}) y^{2} + C$

चरण 10.9.2.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$g (y) = 1 y^{3} + 2 (\frac{1}{2}) y^{2} + C$

चरण 10.9.3

$y^{3}$ को $1$ से गुणा करें.

$g (y) = y^{3} + 2 (\frac{1}{2}) y^{2} + C$

चरण 10.9.4

$2$ और $\frac{1}{2}$ को मिलाएं.

$g (y) = y^{3} + \frac{2}{2} y^{2} + C$

चरण 10.9.5

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 10.9.5.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$g (y) = y^{3} + \frac{2}{2} y^{2} + C$

चरण 10.9.5.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$g (y) = y^{3} + 1 y^{2} + C$

चरण 10.9.6

$y^{2}$ को $1$ से गुणा करें.

$g (y) = y^{3} + y^{2} + C$

चरण 11

$f (x, y) = \sin (x + y) + g (y)$ में $g (y)$ को प्रतिस्थापित करें.

$f (x, y) = \sin (x + y) + y^{3} + y^{2} + C$