कैलकुलस उदाहरण

$\frac{d y}{d t} = y \sin^{3} (t)$ , $y (0) = 1$

चरण 1

चरों को अलग करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

दोनों पक्षों को $\frac{1}{y}$ से गुणा करें.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d t} = \frac{1}{y} (y \sin^{3} (t))$

चरण 1.2

$y$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.1

$y \sin^{3} (t)$ में से $y$ का गुणनखंड करें.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d t} = \frac{1}{y} (y (\sin^{3} (t)))$

चरण 1.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d t} = \frac{1}{y} (y \sin^{3} (t))$

चरण 1.2.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d t} = \sin^{3} (t)$

चरण 1.3

समीकरण को फिर से लिखें.

$\frac{1}{y} d y = \sin^{3} (t) d t$

चरण 2

दोनों पक्षों को समाकलित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

प्रत्येक पक्ष का एक समाकलन सेट करें.

$\int \frac{1}{y} d y = \int \sin^{3} (t) d t$

चरण 2.2

$y$ के संबंध में $\frac{1}{y}$ का इंटीग्रल $\ln (| y |)$ है.

$\ln (| y |) + C_{1} = \int \sin^{3} (t) d t$

चरण 2.3

दाएं पक्ष का समाकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.1

$\sin^{2} (t)$ का गुणनखंड करें.

$\ln (| y |) + C_{1} = \int \sin^{2} (t) \sin (t) d t$

चरण 2.3.2

पाइथागोरस पहचान का उपयोग करते हुए, $\sin^{2} (t)$ को $1 - \cos^{2} (t)$ के रूप में फिर से लिखें.

$\ln (| y |) + C_{1} = \int (1 - \cos^{2} (t)) \sin (t) d t$

चरण 2.3.3

मान लीजिए $u = \cos (t)$ .फिर $d u = - \sin (t) d t$ , तो $- \frac{1}{\sin (t)} d u = d t$ . $u$ और $d$ $u$ का उपयोग करके फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.3.1

मान लें $u = \cos (t)$ . $\frac{d u}{d t}$ ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.3.1.1

$\cos (t)$ को अवकलित करें.

$\frac{d}{d t} [\cos (t)]$

चरण 2.3.3.1.2

$t$ के संबंध में $\cos (t)$ का व्युत्पन्न $- \sin (t)$ है.

$- \sin (t)$

चरण 2.3.3.2

$u$ और $d u$ का उपयोग करके समस्या को फिर से लिखें.

$\ln (| y |) + C_{1} = \int - 1 + u^{2} d u$

चरण 2.3.4

एकल समाकलन को कई समाकलन में विभाजित करें.

$\ln (| y |) + C_{1} = \int - 1 d u + \int u^{2} d u$

चरण 2.3.5

स्थिरांक नियम लागू करें.

$\ln (| y |) + C_{1} = - u + C_{2} + \int u^{2} d u$

चरण 2.3.6

घात नियम के अनुसार, $u$ के संबंध में $u^{2}$ का समाकलन $\frac{1}{3} u^{3}$ है.

$\ln (| y |) + C_{1} = - u + C_{2} + \frac{1}{3} u^{3} + C_{3}$

चरण 2.3.7

सरल करें.

$\ln (| y |) + C_{1} = - u + \frac{1}{3} u^{3} + C_{4}$

चरण 2.3.8

$u$ की सभी घटनाओं को $\cos (t)$ से बदलें.

$\ln (| y |) + C_{1} = - \cos (t) + \frac{1}{3} \cos^{3} (t) + C_{4}$

चरण 2.3.9

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{1}{3} \cos^{3} (t) - \cos (t) + C_{4}$

चरण 2.4

समाकलन के स्थिरांक को दाईं ओर $C$ के रूप में समूहित करें.

$\ln (| y |) = \frac{1}{3} \cos^{3} (t) - \cos (t) + C$

चरण 3

$y$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

$y$ के लिए हल करने के लिए, लघुगणक के गुणों का उपयोग करके समीकरण को फिर से लिखें.

$e^{\ln (| y |)} = e^{\frac{1}{3} \cos^{3} (t) - \cos (t) + C}$

चरण 3.2

लघुगणक की परिभाषा का उपयोग करते हुए $\ln (| y |) = \frac{1}{3} \cos^{3} (t) - \cos (t) + C$ को घातीय रूप में फिर से लिखें. अगर $x$ और $b$ धनात्मक वास्तविक संख्याएं हैं और $b \neq 1$ , तो $\log_{b} (x) = y$ $b^{y} = x$ के बराबर है.

$e^{\frac{1}{3} \cos^{3} (t) - \cos (t) + C} = | y |$

चरण 3.3

$y$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.3.1

समीकरण को $| y | = e^{\frac{1}{3} \cdot \cos^{3} (t) - \cos (t) + C}$ के रूप में फिर से लिखें.

$| y | = e^{\frac{1}{3} \cdot \cos^{3} (t) - \cos (t) + C}$

चरण 3.3.2

$\frac{1}{3}$ और $\cos^{3} (t)$ को मिलाएं.

$| y | = e^{\frac{\cos^{3} (t)}{3} - \cos (t) + C}$

चरण 3.3.3

निरपेक्ष मान पद को हटा दें. यह समीकरण के दाएं पक्ष की ओर एक $\pm$ बनाता है जो $| x | = \pm x$ है.

$y = \pm e^{\frac{\cos^{3} (t)}{3} - \cos (t) + C}$

चरण 4

स्थिर पदों को एक साथ समूहित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1

$e^{\frac{\cos^{3} (t)}{3} - \cos (t) + C}$ को $e^{\frac{\cos^{3} (t)}{3} - \cos (t)} e^{C}$ के रूप में फिर से लिखें.

$y = \pm e^{\frac{\cos^{3} (t)}{3} - \cos (t)} e^{C}$

चरण 4.2

$e^{\frac{\cos^{3} (t)}{3} - \cos (t)}$ और $e^{C}$ को पुन: क्रमित करें.

$y = \pm e^{C} e^{\frac{\cos^{3} (t)}{3} - \cos (t)}$

चरण 4.3

प्लस या माइनस के साथ स्थिरांक मिलाएं.

$y = C e^{\frac{\cos^{3} (t)}{3} - \cos (t)}$

चरण 5

$t$ के लिए $0$ और $y = C e^{\frac{\cos^{3} (t)}{3} - \cos (t)}$ में $y$ के लिए $1$ को प्रतिस्थापित करके $C$ का मान ज्ञात करने के लिए प्रारंभिक शर्त का उपयोग करें.

$1 = C e^{\frac{\cos^{3} (0)}{3} - \cos (0)}$

चरण 6

$C$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1

समीकरण को $C e^{\frac{\cos^{3} (0)}{3} - \cos (0)} = 1$ के रूप में फिर से लिखें.

$C e^{\frac{\cos^{3} (0)}{3} - \cos (0)} = 1$

चरण 6.2

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.1

$\cos (0)$ का सटीक मान $1$ है.

$C e^{\frac{\cos^{3} (0)}{3} - 1 \cdot 1} = 1$

चरण 6.2.2

$- 1$ को $1$ से गुणा करें.

$C e^{\frac{\cos^{3} (0)}{3} - 1} = 1$

चरण 6.2.3

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.3.1

$\cos (0)$ का सटीक मान $1$ है.

$C e^{\frac{1^{3}}{3} - 1} = 1$

चरण 6.2.3.2

एक का कोई भी घात एक होता है.

$C e^{\frac{1}{3} - 1} = 1$

चरण 6.2.4

$- 1$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{3}{3}$ से गुणा करें.

$C e^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} = 1$

चरण 6.2.5

$- 1$ और $\frac{3}{3}$ को मिलाएं.

$C e^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} = 1$

चरण 6.2.6

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$C e^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}} = 1$

चरण 6.2.7

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.7.1

$- 1$ को $3$ से गुणा करें.

$C e^{\frac{1 - 3}{3}} = 1$

चरण 6.2.7.2

$1$ में से $3$ घटाएं.

$C e^{\frac{- 2}{3}} = 1$

चरण 6.3

$C e^{\frac{- 2}{3}} = 1$ के प्रत्येक पद को $e^{- \frac{2}{3}}$ से भाग दें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.3.1

$C e^{\frac{- 2}{3}} = 1$ के प्रत्येक पद को $e^{- \frac{2}{3}}$ से विभाजित करें.

$\frac{C e^{\frac{- 2}{3}}}{e^{- \frac{2}{3}}} = \frac{1}{e^{- \frac{2}{3}}}$

चरण 6.3.2

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.3.2.1

$C e^{\frac{- 2}{3}}$ में से $e^{- \frac{2}{3}}$ का गुणनखंड करें.

$\frac{e^{- \frac{2}{3}} (C e^{\frac{0}{3}})}{e^{- \frac{2}{3}}} = \frac{1}{e^{- \frac{2}{3}}}$

चरण 6.3.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.3.2.2.1

$1$ से गुणा करें.

$\frac{e^{- \frac{2}{3}} (C e^{\frac{0}{3}})}{e^{- \frac{2}{3}} \cdot 1} = \frac{1}{e^{- \frac{2}{3}}}$

चरण 6.3.2.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{e^{- \frac{2}{3}} (C e^{\frac{0}{3}})}{e^{- \frac{2}{3}} \cdot 1} = \frac{1}{e^{- \frac{2}{3}}}$

चरण 6.3.2.2.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{C e^{\frac{0}{3}}}{1} = \frac{1}{e^{- \frac{2}{3}}}$

चरण 6.3.2.2.4

$C e^{\frac{0}{3}}$ को $1$ से विभाजित करें.

$C e^{\frac{0}{3}} = \frac{1}{e^{- \frac{2}{3}}}$

चरण 6.3.2.3

$0$ और $3$ के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.3.2.3.1

$0$ में से $3$ का गुणनखंड करें.

$C e^{\frac{3 (0)}{3}} = \frac{1}{e^{- \frac{2}{3}}}$

चरण 6.3.2.3.2

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.3.2.3.2.1

$3$ में से $3$ का गुणनखंड करें.

$C e^{\frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}} = \frac{1}{e^{- \frac{2}{3}}}$

चरण 6.3.2.3.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$C e^{\frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}} = \frac{1}{e^{- \frac{2}{3}}}$

चरण 6.3.2.3.2.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$C e^{\frac{0}{1}} = \frac{1}{e^{- \frac{2}{3}}}$

चरण 6.3.2.3.2.4

$0$ को $1$ से विभाजित करें.

$C e^{0} = \frac{1}{e^{- \frac{2}{3}}}$

चरण 6.3.2.4

व्यंजक को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.3.2.4.1

$0$ तक बढ़ाई गई कोई भी चीज़ $1$ होती है.

$C \cdot 1 = \frac{1}{e^{- \frac{2}{3}}}$

चरण 6.3.2.4.2

$C$ को $1$ से गुणा करें.

$C = \frac{1}{e^{- \frac{2}{3}}}$

चरण 6.3.3

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.3.3.1

ऋणात्मक घातांक नियम $\frac{1}{b^{- n}} = b^{n}$ का उपयोग करके $e^{- \frac{2}{3}}$ को न्यूमेरेटर में ले जाएं.

$C = e^{\frac{2}{3}}$

चरण 7

$e^{\frac{2}{3}}$ को $y = C e^{\frac{\cos^{3} (t)}{3} - \cos (t)}$ में $C$ के स्थान पर प्रतिस्थापित करें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.1

$e^{\frac{2}{3}}$ को $C$ से प्रतिस्थापित करें.

$y = e^{\frac{2}{3}} e^{\frac{\cos^{3} (t)}{3} - \cos (t)}$

चरण 7.2

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$y = e^{\frac{2}{3} + \frac{\cos^{3} (t)}{3} - \cos (t)}$