कैलकुलस उदाहरण

Solve $x \frac{d y}{d x} = y^{2} + 1$ and find the particular solution when $y (1) = 1$

चरण 1

चरों को अलग करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

दोनों पक्षों को $\frac{1}{y^{2} + 1}$ से गुणा करें.

$\frac{1}{y^{2} + 1} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{2} + 1} (y^{2} + 1)$

चरण 1.2

$y^{2} + 1$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{1}{y^{2} + 1} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{2} + 1} (y^{2} + 1)$

चरण 1.2.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{1}{y^{2} + 1} \frac{d y}{d x} = 1$

चरण 1.3

समीकरण को फिर से लिखें.

$\frac{1}{y^{2} + 1} d y = 1 d x$

चरण 2

दोनों पक्षों को समाकलित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

प्रत्येक पक्ष का एक समाकलन सेट करें.

$\int \frac{1}{y^{2} + 1} d y = \int d x$

चरण 2.2

बाएं पक्ष का समाकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.1

व्यंजक को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.1.1

$y^{2}$ और $1$ को पुन: क्रमित करें.

$\int \frac{1}{1 + y^{2}} d y = \int d x$

चरण 2.2.1.2

$1$ को $1^{2}$ के रूप में फिर से लिखें.

$\int \frac{1}{1^{2} + y^{2}} d y = \int d x$

चरण 2.2.2

$y$ के संबंध में $\frac{1}{1^{2} + y^{2}}$ का इंटीग्रल $\arctan (y) + C_{1}$ है.

$\arctan (y) + C_{1} = \int d x$

चरण 2.3

स्थिरांक नियम लागू करें.

$\arctan (y) + C_{1} = x + C_{2}$

चरण 2.4

समाकलन के स्थिरांक को दाईं ओर $K$ के रूप में समूहित करें.

$\arctan (y) = x + K$

चरण 3

चाप स्पर्शरेखा के अंदर से $y$ निकालने के लिए समीकरण के दोनों पक्षों का व्युत्क्रम चाप स्पर्शरेखा लें.

$y = \tan (x + K)$

चरण 4

$x$ के लिए $1$ और $y = \tan (x + K)$ में $y$ के लिए $1$ को प्रतिस्थापित करके $K$ का मान ज्ञात करने के लिए प्रारंभिक शर्त का उपयोग करें.

$1 = \tan (1 + K)$

चरण 5

$K$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1

समीकरण को $\tan (1 + K) = 1$ के रूप में फिर से लिखें.

$\tan (1 + K) = 1$

चरण 5.2

स्पर्शरेखा के अंदर से $K$ निकालने के लिए समीकरण के दोनों पक्षों की व्युत्क्रम स्पर्शरेखा लें.

$1 + K = \arctan (1)$

चरण 5.3

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.3.1

$\arctan (1)$ का सटीक मान $\frac{π}{4}$ है.

$1 + K = \frac{π}{4}$

चरण 5.4

समीकरण के दोनों पक्षों से $1$ घटाएं.

$K = \frac{π}{4} - 1$

चरण 5.5

पहले और तीसरे चतुर्थांश में स्पर्शरेखा फलन धनात्मक होता है. दूसरा हल पता करने के लिए, चौथे चतुर्थांश में हल पता करने के लिए $π$ से संदर्भ कोण जोड़ें.

$1 + K = π + \frac{π}{4}$

चरण 5.6

$K$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.6.1

$π + \frac{π}{4}$ को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.6.1.1

$π$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{4}{4}$ से गुणा करें.

$1 + K = π \cdot \frac{4}{4} + \frac{π}{4}$

चरण 5.6.1.2

न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.6.1.2.1

$π$ और $\frac{4}{4}$ को मिलाएं.

$1 + K = \frac{π \cdot 4}{4} + \frac{π}{4}$

चरण 5.6.1.2.2

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$1 + K = \frac{π \cdot 4 + π}{4}$

चरण 5.6.1.3

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.6.1.3.1

$4$ को $π$ के बाईं ओर ले जाएं.

$1 + K = \frac{4 \cdot π + π}{4}$

चरण 5.6.1.3.2

$4 π$ और $π$ जोड़ें.

$1 + K = \frac{5 π}{4}$

चरण 5.6.2

समीकरण के दोनों पक्षों से $1$ घटाएं.

$K = \frac{5 π}{4} - 1$

चरण 5.7

$\tan (1 + K)$ का आवर्त ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.7.1

फलन की अवधि की गणना $\frac{π}{| b |}$ का उपयोग करके की जा सकती है.

$\frac{π}{| b |}$

चरण 5.7.2

आवर्त काल के लिए सूत्र में $b$ को $1$ से बदलें.

$\frac{π}{| 1 |}$

चरण 5.7.3

निरपेक्ष मान किसी संख्या और शून्य के बीच की दूरी है. $0$ और $1$ के बीच की दूरी $1$ है.

$\frac{π}{1}$

चरण 5.7.4

$π$ को $1$ से विभाजित करें.

$π$

चरण 5.8

$\tan (1 + K)$ फलन की अवधि $π$ है, इसलिए मान प्रत्येक $π$ रेडियन को दोनों दिशाओं में दोहराएंगे.

$K = \frac{π}{4} - 1 + π n, \frac{5 π}{4} - 1 + π n$ , किसी भी पूर्णांक $n$ के लिए

चरण 5.9

उत्तरों को समेकित करें.

$K = \frac{π}{4} - 1 + π n$

चरण 6

$\frac{π}{4} - 1 + π n$ को $y = \tan (x + K)$ में $K$ के स्थान पर प्रतिस्थापित करें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1

$\frac{π}{4} - 1 + π n$ को $K$ से प्रतिस्थापित करें.

$y = \tan (x + \frac{π}{4} - 1 + π n)$