कैलकुलस उदाहरण

$8 y \frac{d y}{d x} = 5 x^{2}$

चरण 1

समीकरण को फिर से लिखें.

$8 y d y = 5 x^{2} d x$

चरण 2

दोनों पक्षों को समाकलित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

प्रत्येक पक्ष का एक समाकलन सेट करें.

$\int 8 y d y = \int 5 x^{2} d x$

चरण 2.2

बाएं पक्ष का समाकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.1

चूँकि $8$ बटे $y$ अचर है, $8$ को समाकलन से हटा दें.

$8 \int y d y = \int 5 x^{2} d x$

चरण 2.2.2

घात नियम के अनुसार, $y$ के संबंध में $y$ का समाकलन $\frac{1}{2} y^{2}$ है.

$8 (\frac{1}{2} y^{2} + C_{1}) = \int 5 x^{2} d x$

चरण 2.2.3

उत्तर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.3.1

$8 (\frac{1}{2} y^{2} + C_{1})$ को $8 (\frac{1}{2}) y^{2} + C_{1}$ के रूप में फिर से लिखें.

$8 (\frac{1}{2}) y^{2} + C_{1} = \int 5 x^{2} d x$

चरण 2.2.3.2

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.3.2.1

$8$ और $\frac{1}{2}$ को मिलाएं.

$\frac{8}{2} y^{2} + C_{1} = \int 5 x^{2} d x$

चरण 2.2.3.2.2

$8$ और $2$ के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.3.2.2.1

$8$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$\frac{2 \cdot 4}{2} y^{2} + C_{1} = \int 5 x^{2} d x$

चरण 2.2.3.2.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.3.2.2.2.1

$2$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$\frac{2 \cdot 4}{2 (1)} y^{2} + C_{1} = \int 5 x^{2} d x$

चरण 2.2.3.2.2.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{2 \cdot 4}{2 \cdot 1} y^{2} + C_{1} = \int 5 x^{2} d x$

चरण 2.2.3.2.2.2.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{4}{1} y^{2} + C_{1} = \int 5 x^{2} d x$

चरण 2.2.3.2.2.2.4

$4$ को $1$ से विभाजित करें.

$4 y^{2} + C_{1} = \int 5 x^{2} d x$

चरण 2.3

दाएं पक्ष का समाकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.1

चूँकि $5$ बटे $x$ अचर है, $5$ को समाकलन से हटा दें.

$4 y^{2} + C_{1} = 5 \int x^{2} d x$

चरण 2.3.2

घात नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x^{2}$ का समाकलन $\frac{1}{3} x^{3}$ है.

$4 y^{2} + C_{1} = 5 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{2})$

चरण 2.3.3

उत्तर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.3.1

$5 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{2})$ को $5 (\frac{1}{3}) x^{3} + C_{2}$ के रूप में फिर से लिखें.

$4 y^{2} + C_{1} = 5 (\frac{1}{3}) x^{3} + C_{2}$

चरण 2.3.3.2

$5$ और $\frac{1}{3}$ को मिलाएं.

$4 y^{2} + C_{1} = \frac{5}{3} x^{3} + C_{2}$

चरण 2.4

समाकलन के स्थिरांक को दाईं ओर $K$ के रूप में समूहित करें.

$4 y^{2} = \frac{5}{3} x^{3} + K$

चरण 3

$y$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

$4 y^{2} = \frac{5}{3} x^{3} + K$ के प्रत्येक पद को $4$ से भाग दें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1.1

$4 y^{2} = \frac{5}{3} x^{3} + K$ के प्रत्येक पद को $4$ से विभाजित करें.

$\frac{4 y^{2}}{4} = \frac{\frac{5}{3} x^{3}}{4} + \frac{K}{4}$

चरण 3.1.2

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1.2.1

$4$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1.2.1.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{4 y^{2}}{4} = \frac{\frac{5}{3} x^{3}}{4} + \frac{K}{4}$

चरण 3.1.2.1.2

$y^{2}$ को $1$ से विभाजित करें.

$y^{2} = \frac{\frac{5}{3} x^{3}}{4} + \frac{K}{4}$

चरण 3.1.3

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1.3.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1.3.1.1

$\frac{5}{3}$ और $x^{3}$ को मिलाएं.

$y^{2} = \frac{\frac{5 x^{3}}{3}}{4} + \frac{K}{4}$

चरण 3.1.3.1.2

भाजक के प्रतिलोम से न्यूमेरेटर को गुणा करें.

$y^{2} = \frac{5 x^{3}}{3} \cdot \frac{1}{4} + \frac{K}{4}$

चरण 3.1.3.1.3

जोड़ना.

$y^{2} = \frac{5 x^{3} \cdot 1}{3 \cdot 4} + \frac{K}{4}$

चरण 3.1.3.1.4

$5$ को $1$ से गुणा करें.

$y^{2} = \frac{5 x^{3}}{3 \cdot 4} + \frac{K}{4}$

चरण 3.1.3.1.5

$3$ को $4$ से गुणा करें.

$y^{2} = \frac{5 x^{3}}{12} + \frac{K}{4}$

चरण 3.2

बाईं ओर के घातांक को समाप्त करने के लिए समीकरण के दोनों पक्षों का निर्दिष्ट मूल लें I

$y = \pm \sqrt{\frac{5 x^{3}}{12} + \frac{K}{4}}$

चरण 3.3

$\pm \sqrt{\frac{5 x^{3}}{12} + \frac{K}{4}}$ को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.3.1

$\frac{K}{4}$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{3}{3}$ से गुणा करें.

$y = \pm \sqrt{\frac{5 x^{3}}{12} + \frac{K}{4} \cdot \frac{3}{3}}$

चरण 3.3.2

प्रत्येक व्यंजक को $12$ के सामान्य भाजक के साथ लिखें, प्रत्येक को $1$ के उपयुक्त गुणनखंड से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.3.2.1

$\frac{K}{4}$ को $\frac{3}{3}$ से गुणा करें.

$y = \pm \sqrt{\frac{5 x^{3}}{12} + \frac{K \cdot 3}{4 \cdot 3}}$

चरण 3.3.2.2

$4$ को $3$ से गुणा करें.

$y = \pm \sqrt{\frac{5 x^{3}}{12} + \frac{K \cdot 3}{12}}$

चरण 3.3.3

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$y = \pm \sqrt{\frac{5 x^{3} + K \cdot 3}{12}}$

चरण 3.3.4

$3$ को $K$ के बाईं ओर ले जाएं.

$y = \pm \sqrt{\frac{5 x^{3} + 3 K}{12}}$

चरण 3.3.5

$\frac{5 x^{3} + 3 K}{12}$ को ${(\frac{1}{2})}^{2} \frac{5 x^{3} + 3 K}{3}$ के रूप में फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.3.5.1

$5 x^{3} + 3 K$ में से पूर्ण घात $1^{2}$ का गुणनखंड करें.

$y = \pm \sqrt{\frac{1^{2} (5 x^{3} + 3 K)}{12}}$

चरण 3.3.5.2

$12$ में से पूर्ण घात $2^{2}$ का गुणनखंड करें.

$y = \pm \sqrt{\frac{1^{2} (5 x^{3} + 3 K)}{2^{2} \cdot 3}}$

चरण 3.3.5.3

भिन्न को पुनर्व्यवस्थित करें $\frac{1^{2} (5 x^{3} + 3 K)}{2^{2} \cdot 3}$ .

$y = \pm \sqrt{{(\frac{1}{2})}^{2} \frac{5 x^{3} + 3 K}{3}}$

चरण 3.3.6

करणी से पदों को बाहर निकालें.

$y = \pm \frac{1}{2} \sqrt{\frac{5 x^{3} + 3 K}{3}}$

चरण 3.3.7

$\sqrt{\frac{5 x^{3} + 3 K}{3}}$ को $\frac{\sqrt{5 x^{3} + 3 K}}{\sqrt{3}}$ के रूप में फिर से लिखें.

$y = \pm \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{5 x^{3} + 3 K}}{\sqrt{3}}$

चरण 3.3.8

जोड़ना.

$y = \pm \frac{1 \sqrt{5 x^{3} + 3 K}}{2 \sqrt{3}}$

चरण 3.3.9

$\sqrt{5 x^{3} + 3 K}$ को $1$ से गुणा करें.

$y = \pm \frac{\sqrt{5 x^{3} + 3 K}}{2 \sqrt{3}}$

चरण 3.3.10

$\frac{\sqrt{5 x^{3} + 3 K}}{2 \sqrt{3}}$ को $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ से गुणा करें.

$y = \pm \frac{\sqrt{5 x^{3} + 3 K}}{2 \sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$

चरण 3.3.11

भाजक को मिलाएं और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.3.11.1

$\frac{\sqrt{5 x^{3} + 3 K}}{2 \sqrt{3}}$ को $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ से गुणा करें.

$y = \pm \frac{\sqrt{5 x^{3} + 3 K} \sqrt{3}}{2 \sqrt{3} \sqrt{3}}$

चरण 3.3.11.2

$\sqrt{3}$ ले जाएं.

$y = \pm \frac{\sqrt{5 x^{3} + 3 K} \sqrt{3}}{2 (\sqrt{3} \sqrt{3})}$

चरण 3.3.11.3

$\sqrt{3}$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$y = \pm \frac{\sqrt{5 x^{3} + 3 K} \sqrt{3}}{2 ({\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3})}$

चरण 3.3.11.4

$\sqrt{3}$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$y = \pm \frac{\sqrt{5 x^{3} + 3 K} \sqrt{3}}{2 ({\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1})}$

चरण 3.3.11.5

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$y = \pm \frac{\sqrt{5 x^{3} + 3 K} \sqrt{3}}{2 {\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

चरण 3.3.11.6

$1$ और $1$ जोड़ें.

$y = \pm \frac{\sqrt{5 x^{3} + 3 K} \sqrt{3}}{2 {\sqrt{3}}^{2}}$

चरण 3.3.11.7

${\sqrt{3}}^{2}$ को $3$ के रूप में फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.3.11.7.1

$\sqrt{3}$ को $3^{\frac{1}{2}}$ के रूप में फिर से लिखने के लिए $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ का उपयोग करें.

$y = \pm \frac{\sqrt{5 x^{3} + 3 K} \sqrt{3}}{2 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

चरण 3.3.11.7.2

घात नियम लागू करें और घातांक गुणा करें, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{5 x^{3} + 3 K} \sqrt{3}}{2 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

चरण 3.3.11.7.3

$\frac{1}{2}$ और $2$ को मिलाएं.

$y = \pm \frac{\sqrt{5 x^{3} + 3 K} \sqrt{3}}{2 \cdot 3^{\frac{2}{2}}}$

चरण 3.3.11.7.4

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.3.11.7.4.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$y = \pm \frac{\sqrt{5 x^{3} + 3 K} \sqrt{3}}{2 \cdot 3^{\frac{2}{2}}}$

चरण 3.3.11.7.4.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$y = \pm \frac{\sqrt{5 x^{3} + 3 K} \sqrt{3}}{2 \cdot 3^{1}}$

चरण 3.3.11.7.5

घातांक का मान ज्ञात करें.

$y = \pm \frac{\sqrt{5 x^{3} + 3 K} \sqrt{3}}{2 \cdot 3}$

चरण 3.3.12

रेडिकल के लिए उत्पाद नियम का उपयोग करके जोड़ें.

$y = \pm \frac{\sqrt{(5 x^{3} + 3 K) \cdot 3}}{2 \cdot 3}$

चरण 3.3.13

व्यंजक को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.3.13.1

$2$ को $3$ से गुणा करें.

$y = \pm \frac{\sqrt{(5 x^{3} + 3 K) \cdot 3}}{6}$

चरण 3.3.13.2

गुणनखंडों को $\pm \frac{\sqrt{(5 x^{3} + 3 K) \cdot 3}}{6}$ में पुन: क्रमित करें.

$y = \pm \frac{\sqrt{3 (5 x^{3} + 3 K)}}{6}$

चरण 3.4

पूर्ण हल के धनात्मक और ऋणात्मक दोनों भागों का परिणाम है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.4.1

सबसे पहले, पहला समाधान पता करने के लिए $\pm$ के धनात्मक मान का उपयोग करें.

$y = \frac{\sqrt{3 (5 x^{3} + 3 K)}}{6}$

चरण 3.4.2

इसके बाद, दूसरा हल ज्ञात करने के लिए $\pm$ के ऋणात्मक मान का उपयोग करें.

$y = - \frac{\sqrt{3 (5 x^{3} + 3 K)}}{6}$

चरण 3.4.3

पूर्ण हल के धनात्मक और ऋणात्मक दोनों भागों का परिणाम है.

$y = \frac{\sqrt{3 (5 x^{3} + 3 K)}}{6}$

$y = - \frac{\sqrt{3 (5 x^{3} + 3 K)}}{6}$

$y = \frac{\sqrt{3 (5 x^{3} + 3 K)}}{6}$

$y = - \frac{\sqrt{3 (5 x^{3} + 3 K)}}{6}$

$y = \frac{\sqrt{3 (5 x^{3} + 3 K)}}{6}$

$y = - \frac{\sqrt{3 (5 x^{3} + 3 K)}}{6}$

चरण 4

समाकलन की संतति को सरल करें.

$y = \frac{\sqrt{3 (5 x^{3} + K)}}{6}$

$y = - \frac{\sqrt{3 (5 x^{3} + K)}}{6}$