कैलकुलस उदाहरण

$\frac{d y}{d x} = x - 2 y \cot (2 x)$

चरण 1

डिफरेन्शल इक्वेश़न को $\frac{d y}{d x} + M (x) y = Q (x)$ के रूप में फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

समीकरण के दोनों पक्षों में $2 y \cot (2 x)$ जोड़ें.

$\frac{d y}{d x} + 2 y \cot (2 x) = x$

चरण 1.2

$2 y \cot (2 x)$ में से $y$ का गुणनखंड करें.

$\frac{d y}{d x} + y (2 \cot (2 x)) = x$

चरण 1.3

$y$ और $2 \cot (2 x)$ को पुन: क्रमित करें.

$\frac{d y}{d x} + 2 \cot (2 x) y = x$

चरण 2

समाकलित गुणनखंड को $e^{\int P (x) d x}$ सूत्र द्वारा परिभाषित किया गया है, जहां $P (x) = 2 \cot (2 x)$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

समाकलन सेट करें.

$e^{\int 2 \cot (2 x) d x}$

चरण 2.2

$2 \cot (2 x)$ को समाकलित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.1

चूँकि $2$ बटे $x$ अचर है, $2$ को समाकलन से हटा दें.

$e^{2 \int \cot (2 x) d x}$

चरण 2.2.2

मान लीजिए $u = 2 x$ .फिर $d u = 2 d x$ , तो $\frac{1}{2} d u = d x$ . $u$ और $d$ $u$ का उपयोग करके फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.2.1

मान लें $u = 2 x$ . $\frac{d u}{d x}$ ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.2.1.1

$2 x$ को अवकलित करें.

$\frac{d}{d x} [2 x]$

चरण 2.2.2.1.2

चूंकि $2$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $2 x$ का व्युत्पन्न $2 \frac{d}{d x} [x]$ है.

$2 \frac{d}{d x} [x]$

चरण 2.2.2.1.3

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$2 \cdot 1$

चरण 2.2.2.1.4

$2$ को $1$ से गुणा करें.

$2$

चरण 2.2.2.2

$u$ और $d u$ का उपयोग करके समस्या को फिर से लिखें.

$e^{2 \int \cot (u) \frac{1}{2} d u}$

चरण 2.2.3

$\cot (u)$ और $\frac{1}{2}$ को मिलाएं.

$e^{2 \int \frac{\cot (u)}{2} d u}$

चरण 2.2.4

चूँकि $\frac{1}{2}$ बटे $u$ अचर है, $\frac{1}{2}$ को समाकलन से हटा दें.

$e^{2 (\frac{1}{2} \int \cot (u) d u)}$

चरण 2.2.5

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.5.1

$\frac{1}{2}$ और $2$ को मिलाएं.

$e^{\frac{2}{2} \int \cot (u) d u}$

चरण 2.2.5.2

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.5.2.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$e^{\frac{2}{2} \int \cot (u) d u}$

चरण 2.2.5.2.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$e^{1 \int \cot (u) d u}$

चरण 2.2.5.3

$\int \cot (u) d u$ को $1$ से गुणा करें.

$e^{\int \cot (u) d u}$

चरण 2.2.6

$u$ के संबंध में $\cot (u)$ का इंटीग्रल $\ln (| \sin (u) |)$ है.

$e^{\ln (| \sin (u) |) + C}$

चरण 2.2.7

$u$ की सभी घटनाओं को $2 x$ से बदलें.

$e^{\ln (| \sin (2 x) |) + C}$

चरण 2.3

समाकलन का स्थिरांक निकालें.

$e^{\ln (\sin (2 x))}$

चरण 2.4

चरघातांक और लघुगणक व्युत्क्रम फलन होते हैं

$\sin (2 x)$

चरण 3

प्रत्येक पद को समाकलन गुणनखंड $\sin (2 x)$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

प्रत्येक पद को $\sin (2 x)$ से गुणा करें.

$\sin (2 x) \frac{d y}{d x} + \sin (2 x) (2 \cot (2 x) y) = \sin (2 x) x$

चरण 3.2

ज्या और कोज्या के संदर्भ में फिर से लिखें, फिर सामान्य गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.1

कोष्ठक ले जाएँ.

$\sin (2 x) \frac{d y}{d x} + \sin (2 x) (2 \cot (2 x)) y = \sin (2 x) x$

चरण 3.2.2

$\sin (2 x)$ और $2 \cot (2 x)$ को पुन: क्रमित करें.

$\sin (2 x) \frac{d y}{d x} + 2 \cot (2 x) \sin (2 x) y = \sin (2 x) x$

चरण 3.2.3

कोष्ठक लगाएं.

$\sin (2 x) \frac{d y}{d x} + 2 (\cot (2 x) \sin (2 x)) y = \sin (2 x) x$

चरण 3.2.4

ज्या और कोज्या के संदर्भ में $\sin (2 x) (2 \cot (2 x) y)$ को फिर से लिखें.

$\sin (2 x) \frac{d y}{d x} + 2 (\frac{\cos (2 x)}{\sin (2 x)} \sin (2 x)) y = \sin (2 x) x$

चरण 3.2.5

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

$\sin (2 x) \frac{d y}{d x} + 2 \cos (2 x) y = \sin (2 x) x$

चरण 3.3

गुणनखंडों को $\sin (2 x) \frac{d y}{d x} + 2 \cos (2 x) y = \sin (2 x) x$ में पुन: क्रमित करें.

$\sin (2 x) \frac{d y}{d x} + 2 y \cos (2 x) = x \sin (2 x)$

चरण 4

किसी गुणन में अंतर करने के परिणामस्वरूप बाईं ओर फिर से लिखें.

$\frac{d}{d x} [\sin (2 x) y] = x \sin (2 x)$

चरण 5

प्रत्येक पक्ष का एक समाकलन सेट करें.

$\int \frac{d}{d x} [\sin (2 x) y] d x = \int x \sin (2 x) d x$

चरण 6

बाएं पक्ष का समाकलन करें.

$\sin (2 x) y = \int x \sin (2 x) d x$

चरण 7

दाएं पक्ष का समाकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.1

$\int u d v = u v - \int v d u$ , जहां $u = x$ और $d v = \sin (2 x)$ सूत्र का उपयोग करके भागों द्वारा एकीकृत करें.

$\sin (2 x) y = x (- \frac{1}{2} \cos (2 x)) - \int - \frac{1}{2} \cos (2 x) d x$

चरण 7.2

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.2.1

$\cos (2 x)$ और $\frac{1}{2}$ को मिलाएं.

$\sin (2 x) y = x (- \frac{\cos (2 x)}{2}) - \int - \frac{1}{2} \cos (2 x) d x$

चरण 7.2.2

$x$ और $\frac{\cos (2 x)}{2}$ को मिलाएं.

$\sin (2 x) y = - \frac{x \cos (2 x)}{2} - \int - \frac{1}{2} \cos (2 x) d x$

चरण 7.3

चूँकि $- \frac{1}{2}$ बटे $x$ अचर है, $- \frac{1}{2}$ को समाकलन से हटा दें.

$\sin (2 x) y = - \frac{x \cos (2 x)}{2} - (- \frac{1}{2} \int \cos (2 x) d x)$

चरण 7.4

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.4.1

$- 1$ को $- 1$ से गुणा करें.

$\sin (2 x) y = - \frac{x \cos (2 x)}{2} + 1 (\frac{1}{2} \int \cos (2 x) d x)$

चरण 7.4.2

$\frac{1}{2}$ को $1$ से गुणा करें.

$\sin (2 x) y = - \frac{x \cos (2 x)}{2} + \frac{1}{2} \int \cos (2 x) d x$

चरण 7.5

मान लीजिए $u = 2 x$ .फिर $d u = 2 d x$ , तो $\frac{1}{2} d u = d x$ . $u$ और $d$ $u$ का उपयोग करके फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.5.1

मान लें $u = 2 x$ . $\frac{d u}{d x}$ ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.5.1.1

$2 x$ को अवकलित करें.

$\frac{d}{d x} [2 x]$

चरण 7.5.1.2

चूंकि $2$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $2 x$ का व्युत्पन्न $2 \frac{d}{d x} [x]$ है.

$2 \frac{d}{d x} [x]$

चरण 7.5.1.3

$2 \cdot 1$

चरण 7.5.1.4

$2$ को $1$ से गुणा करें.

$2$

चरण 7.5.2

$u$ और $d u$ का उपयोग करके समस्या को फिर से लिखें.

$\sin (2 x) y = - \frac{x \cos (2 x)}{2} + \frac{1}{2} \int \cos (u) \frac{1}{2} d u$

चरण 7.6

$\cos (u)$ और $\frac{1}{2}$ को मिलाएं.

$\sin (2 x) y = - \frac{x \cos (2 x)}{2} + \frac{1}{2} \int \frac{\cos (u)}{2} d u$

चरण 7.7

चूँकि $\frac{1}{2}$ बटे $u$ अचर है, $\frac{1}{2}$ को समाकलन से हटा दें.

$\sin (2 x) y = - \frac{x \cos (2 x)}{2} + \frac{1}{2} (\frac{1}{2} \int \cos (u) d u)$

चरण 7.8

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.8.1

$\frac{1}{2}$ को $\frac{1}{2}$ से गुणा करें.

$\sin (2 x) y = - \frac{x \cos (2 x)}{2} + \frac{1}{2 \cdot 2} \int \cos (u) d u$

चरण 7.8.2

$2$ को $2$ से गुणा करें.

$\sin (2 x) y = - \frac{x \cos (2 x)}{2} + \frac{1}{4} \int \cos (u) d u$

चरण 7.9

$u$ के संबंध में $\cos (u)$ का इंटीग्रल $\sin (u)$ है.

$\sin (2 x) y = - \frac{x \cos (2 x)}{2} + \frac{1}{4} (\sin (u) + C)$

चरण 7.10

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.10.1

$- \frac{x \cos (2 x)}{2} + \frac{1}{4} (\sin (u) + C)$ को $- \frac{1}{2} x \cos (2 x) + \frac{1}{4} \sin (u) + C$ के रूप में फिर से लिखें.

$\sin (2 x) y = - \frac{1}{2} x \cos (2 x) + \frac{1}{4} \sin (u) + C$

चरण 7.10.2

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.10.2.1

$x$ और $\frac{1}{2}$ को मिलाएं.

$\sin (2 x) y = - \frac{x}{2} \cos (2 x) + \frac{1}{4} \sin (u) + C$

चरण 7.10.2.2

$\cos (2 x)$ और $\frac{x}{2}$ को मिलाएं.

$\sin (2 x) y = - \frac{\cos (2 x) x}{2} + \frac{1}{4} \sin (u) + C$

चरण 7.11

$u$ की सभी घटनाओं को $2 x$ से बदलें.

$\sin (2 x) y = - \frac{\cos (2 x) x}{2} + \frac{1}{4} \sin (2 x) + C$

चरण 7.12

गुणनखंडों को $\frac{\cos (2 x) x}{2}$ में पुन: क्रमित करें.

$\sin (2 x) y = - \frac{1}{2} x \cos (2 x) + \frac{1}{4} \sin (2 x) + C$

चरण 8

$y$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.1

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.1.1

$x$ और $\frac{1}{2}$ को मिलाएं.

$\sin (2 x) y = - \frac{x}{2} \cdot \cos (2 x) + \frac{1}{4} \cdot \sin (2 x) + C$

चरण 8.1.2

$\cos (2 x)$ और $\frac{x}{2}$ को मिलाएं.

$\sin (2 x) y = - \frac{\cos (2 x) x}{2} + \frac{1}{4} \cdot \sin (2 x) + C$

चरण 8.2

$\sin (2 x) y = - \frac{\cos (2 x) x}{2} + \frac{1}{4} \cdot \sin (2 x) + C$ के प्रत्येक पद को $\sin (2 x)$ से भाग दें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.2.1

$\sin (2 x) y = - \frac{\cos (2 x) x}{2} + \frac{1}{4} \cdot \sin (2 x) + C$ के प्रत्येक पद को $\sin (2 x)$ से विभाजित करें.

$\frac{\sin (2 x) y}{\sin (2 x)} = \frac{- \frac{\cos (2 x) x}{2}}{\sin (2 x)} + \frac{\frac{1}{4} \cdot \sin (2 x)}{\sin (2 x)} + \frac{C}{\sin (2 x)}$

चरण 8.2.2

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.2.2.1

$\sin (2 x)$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.2.2.1.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{\sin (2 x) y}{\sin (2 x)} = \frac{- \frac{\cos (2 x) x}{2}}{\sin (2 x)} + \frac{\frac{1}{4} \cdot \sin (2 x)}{\sin (2 x)} + \frac{C}{\sin (2 x)}$

चरण 8.2.2.1.2

$y$ को $1$ से विभाजित करें.

$y = \frac{- \frac{\cos (2 x) x}{2}}{\sin (2 x)} + \frac{\frac{1}{4} \cdot \sin (2 x)}{\sin (2 x)} + \frac{C}{\sin (2 x)}$

चरण 8.2.3

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.2.3.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.2.3.1.1

भाजक के प्रतिलोम से न्यूमेरेटर को गुणा करें.

$y = - \frac{\cos (2 x) x}{2} \cdot \frac{1}{\sin (2 x)} + \frac{\frac{1}{4} \cdot \sin (2 x)}{\sin (2 x)} + \frac{C}{\sin (2 x)}$

चरण 8.2.3.1.2

$\frac{1}{\sin (2 x)}$ को $\csc (2 x)$ में बदलें.

$y = - \frac{\cos (2 x) x}{2} \csc (2 x) + \frac{\frac{1}{4} \cdot \sin (2 x)}{\sin (2 x)} + \frac{C}{\sin (2 x)}$

चरण 8.2.3.1.3

$\csc (2 x)$ और $\frac{\cos (2 x) x}{2}$ को मिलाएं.

$y = - \frac{\csc (2 x) (\cos (2 x) x)}{2} + \frac{\frac{1}{4} \cdot \sin (2 x)}{\sin (2 x)} + \frac{C}{\sin (2 x)}$

चरण 8.2.3.1.4

$\sin (2 x)$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.2.3.1.4.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$y = - \frac{\csc (2 x) \cos (2 x) x}{2} + \frac{\frac{1}{4} \cdot \sin (2 x)}{\sin (2 x)} + \frac{C}{\sin (2 x)}$

चरण 8.2.3.1.4.2

$\frac{1}{4}$ को $1$ से विभाजित करें.

$y = - \frac{\csc (2 x) \cos (2 x) x}{2} + \frac{1}{4} + \frac{C}{\sin (2 x)}$

चरण 8.2.3.1.5

अलग-अलग भिन्न

$y = - \frac{\csc (2 x) \cos (2 x) x}{2} + \frac{1}{4} + \frac{C}{1} \cdot \frac{1}{\sin (2 x)}$

चरण 8.2.3.1.6

$\frac{1}{\sin (2 x)}$ को $\csc (2 x)$ में बदलें.

$y = - \frac{\csc (2 x) \cos (2 x) x}{2} + \frac{1}{4} + \frac{C}{1} \csc (2 x)$

चरण 8.2.3.1.7

$C$ को $1$ से विभाजित करें.

$y = - \frac{\csc (2 x) \cos (2 x) x}{2} + \frac{1}{4} + C \csc (2 x)$

चरण 8.2.3.2

गुणनखंडों को $- \frac{\csc (2 x) \cos (2 x) x}{2} + \frac{1}{4} + C \csc (2 x)$ में पुन: क्रमित करें.

$y = - \frac{x \csc (2 x) \cos (2 x)}{2} + \frac{1}{4} + C \csc (2 x)$