कैलकुलस उदाहरण

$(y \sin (x) + x y \cos (x)) d x + (x \sin (x) + 1) d y = 0$

चरण 1

$\frac{\partial M}{\partial y}$ पता कीजिए जहां $M (x, y) = y \sin (x) + x y \cos (x)$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

$M$ को $y$ से अलग करें.

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [y \sin (x) + x y \cos (x)]$

चरण 1.2

योग नियम के अनुसार, $y$ के संबंध में $y \sin (x) + x y \cos (x)$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d y} [y \sin (x)] + \frac{d}{d y} [x y \cos (x)]$ है.

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [y \sin (x)] + \frac{d}{d y} [x y \cos (x)]$

चरण 1.3

$\frac{d}{d y} [y \sin (x)]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.3.1

चूंकि $\sin (x)$ , $y$ के संबंध में स्थिर है, $y$ के संबंध में $y \sin (x)$ का व्युत्पन्न $\sin (x) \frac{d}{d y} [y]$ है.

$\frac{\partial M}{\partial y} = \sin (x) \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [x y \cos (x)]$

चरण 1.3.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ $n y^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$\frac{\partial M}{\partial y} = \sin (x) \cdot 1 + \frac{d}{d y} [x y \cos (x)]$

चरण 1.3.3

$\sin (x)$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{\partial M}{\partial y} = \sin (x) + \frac{d}{d y} [x y \cos (x)]$

चरण 1.4

$\frac{d}{d y} [x y \cos (x)]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.4.1

चूंकि $x \cos (x)$ , $y$ के संबंध में स्थिर है, $y$ के संबंध में $x y \cos (x)$ का व्युत्पन्न $x \cos (x) \frac{d}{d y} [y]$ है.

$\frac{\partial M}{\partial y} = \sin (x) + x \cos (x) \frac{d}{d y} [y]$

चरण 1.4.2

$\frac{\partial M}{\partial y} = \sin (x) + x \cos (x) \cdot 1$

चरण 1.4.3

$x$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{\partial M}{\partial y} = \sin (x) + x \cos (x)$

चरण 1.5

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$\frac{\partial M}{\partial y} = x \cos (x) + \sin (x)$

चरण 2

$\frac{\partial N}{\partial x}$ पता कीजिए जहां $N (x, y) = x \sin (x) + 1$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

$N$ को $x$ से अलग करें.

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x \sin (x) + 1]$

चरण 2.2

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x \sin (x) + 1$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [x \sin (x)] + \frac{d}{d x} [1]$ है.

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x \sin (x)] + \frac{d}{d x} [1]$

चरण 2.3

$\frac{d}{d x} [x \sin (x)]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.1

गुणनफल नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ है, जहाँ $f (x) = x$ और $g (x) = \sin (x)$ है.

$\frac{\partial N}{\partial x} = x \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \sin (x) \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

चरण 2.3.2

$x$ के संबंध में $\sin (x)$ का व्युत्पन्न $\cos (x)$ है.

$\frac{\partial N}{\partial x} = x \cos (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

चरण 2.3.3

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$\frac{\partial N}{\partial x} = x \cos (x) + \sin (x) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]$

चरण 2.3.4

$\sin (x)$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{\partial N}{\partial x} = x \cos (x) + \sin (x) + \frac{d}{d x} [1]$

चरण 2.4

स्थिरांक नियम का उपयोग करके अंतर करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.4.1

चूंकि $x$ के संबंध में $1$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $1$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$\frac{\partial N}{\partial x} = x \cos (x) + \sin (x) + 0$

चरण 2.4.2

$x \cos (x) + \sin (x)$ और $0$ जोड़ें.

$\frac{\partial N}{\partial x} = x \cos (x) + \sin (x)$

चरण 3

उस $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ को जांचें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

$\frac{\partial M}{\partial y}$ के लिए $x \cos (x) + \sin (x)$ और $\frac{\partial N}{\partial x}$ के लिए $x \cos (x) + \sin (x)$ प्रतिस्थापित करें.

$x \cos (x) + \sin (x) = x \cos (x) + \sin (x)$

चरण 3.2

चूँकि दोनों पक्षों को समतुल्य दिखाया गया है, समीकरण एक सर्वसमिका है.

$x \cos (x) + \sin (x) = x \cos (x) + \sin (x)$ एक सर्वसमिका है.

चरण 4

$f (x, y)$ को $N (x, y)$ के इंटीग्रल के बराबर सेट करें.

$f (x, y) = \int x \sin (x) + 1 d y$

चरण 5

$f (x, y)$ को खोजने के लिए $N (x, y) = x \sin (x) + 1$ को समाकलित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1

स्थिरांक नियम लागू करें.

$f (x, y) = (x \sin (x) + 1) y + C$

चरण 6

चूँकि $g (x)$ के इंटिग्रल में इंटिग्रेशन स्थिरांक होगा, हम $C$ को $g (x)$ से बदल सकते हैं.

$f (x, y) = (x \sin (x) + 1) y + g (x)$

चरण 7

$\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ सेट करें.

$\frac{\partial f}{\partial x} = y \sin (x) + x y \cos (x)$

चरण 8

$\frac{\partial f}{\partial x}$ पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.1

$f$ को $x$ से अलग करें.

$\frac{d}{d x} [(x \sin (x) + 1) y + g (x)] = y \sin (x) + x y \cos (x)$

चरण 8.2

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $(x \sin (x) + 1) y + g (x)$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [(x \sin (x) + 1) y] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ है.

$\frac{d}{d x} [(x \sin (x) + 1) y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = y \sin (x) + x y \cos (x)$

चरण 8.3

$\frac{d}{d x} [(x \sin (x) + 1) y]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.3.1

चूंकि $y$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $(x \sin (x) + 1) y$ का व्युत्पन्न $y \frac{d}{d x} [x \sin (x) + 1]$ है.

$y \frac{d}{d x} [x \sin (x) + 1] + \frac{d}{d x} [g (x)] = y \sin (x) + x y \cos (x)$

चरण 8.3.2

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x \sin (x) + 1$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [x \sin (x)] + \frac{d}{d x} [1]$ है.

$y (\frac{d}{d x} [x \sin (x)] + \frac{d}{d x} [1]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = y \sin (x) + x y \cos (x)$

चरण 8.3.3

$y (x \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \sin (x) \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = y \sin (x) + x y \cos (x)$

चरण 8.3.4

$x$ के संबंध में $\sin (x)$ का व्युत्पन्न $\cos (x)$ है.

$y (x \cos (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = y \sin (x) + x y \cos (x)$

चरण 8.3.5

$y (x \cos (x) + \sin (x) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = y \sin (x) + x y \cos (x)$

चरण 8.3.6

चूंकि $x$ के संबंध में $1$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $1$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$y (x \cos (x) + \sin (x) \cdot 1 + 0) + \frac{d}{d x} [g (x)] = y \sin (x) + x y \cos (x)$

चरण 8.3.7

$\sin (x)$ को $1$ से गुणा करें.

$y (x \cos (x) + \sin (x) + 0) + \frac{d}{d x} [g (x)] = y \sin (x) + x y \cos (x)$

चरण 8.3.8

$x \cos (x) + \sin (x)$ और $0$ जोड़ें.

$y (x \cos (x) + \sin (x)) + \frac{d}{d x} [g (x)] = y \sin (x) + x y \cos (x)$

चरण 8.4

फलन नियम का उपयोग करके अंतर करें जो बताता है कि $g (x)$ का व्युत्पन्न $\frac{d g}{d x}$ है.

$y (x \cos (x) + \sin (x)) + \frac{d g}{d x} = y \sin (x) + x y \cos (x)$

चरण 8.5

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.5.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$y (x \cos (x)) + y \sin (x) + \frac{d g}{d x} = y \sin (x) + x y \cos (x)$

चरण 8.5.2

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$\frac{d g}{d x} + x y \cos (x) + y \sin (x) = y \sin (x) + x y \cos (x)$

चरण 9

$\frac{d g}{d x}$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.1

$\frac{d g}{d x}$ वाले सभी पदों को समीकरण के दाईं ओर ले जाएं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.1.1

समीकरण के दोनों पक्षों से $x y \cos (x)$ घटाएं.

$\frac{d g}{d x} + y \sin (x) = y \sin (x) + x y \cos (x) - x y \cos (x)$

चरण 9.1.2

समीकरण के दोनों पक्षों से $y \sin (x)$ घटाएं.

$\frac{d g}{d x} = y \sin (x) + x y \cos (x) - x y \cos (x) - y \sin (x)$

चरण 9.1.3

$y \sin (x) + x y \cos (x) - x y \cos (x) - y \sin (x)$ में विपरीत पदों को मिलाएं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.1.3.1

$x y \cos (x)$ में से $x y \cos (x)$ घटाएं.

$\frac{d g}{d x} = y \sin (x) + 0 - y \sin (x)$

चरण 9.1.3.2

$y \sin (x)$ और $0$ जोड़ें.

$\frac{d g}{d x} = y \sin (x) - y \sin (x)$

चरण 9.1.3.3

$y \sin (x)$ में से $y \sin (x)$ घटाएं.

$\frac{d g}{d x} = 0$

चरण 10

$g (x)$ को खोजने के लिए $0$ का विरोधी व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 10.1

$\frac{d g}{d x} = 0$ के दोनों पक्षों को समाकलित करें.

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int 0 d x$

चरण 10.2

$\int \frac{d g}{d x} d x$ का मान ज्ञात करें.

$g (x) = \int 0 d x$

चरण 10.3

$x$ के संबंध में $0$ का इंटीग्रल $0$ है.

$g (x) = 0 + C$

चरण 10.4

$0$ और $C$ जोड़ें.

$g (x) = C$

चरण 11

$f (x, y) = (x \sin (x) + 1) y + g (x)$ में $g (x)$ को प्रतिस्थापित करें.

$f (x, y) = (x \sin (x) + 1) y + C$

चरण 12

$f (x, y) = (x \sin (x) + 1) y + C$ को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 12.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 12.1.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$f (x, y) = x \sin (x) y + 1 y + C$

चरण 12.1.2

$y$ को $1$ से गुणा करें.

$f (x, y) = x \sin (x) y + y + C$

चरण 12.2

गुणनखंडों को $f (x, y) = x \sin (x) y + y + C$ में पुन: क्रमित करें.

$f (x, y) = x y \sin (x) + y + C$