कैलकुलस उदाहरण

$(2 x y^{2} + \frac{x}{y^{2}}) d x + 4 x^{2} y d y = 0$

चरण 1

$\frac{\partial M}{\partial y}$ पता कीजिए जहां $M (x, y) = 2 x y^{2} + \frac{x}{y^{2}}$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

$M$ को $y$ से अलग करें.

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [2 x y^{2} + \frac{x}{y^{2}}]$

चरण 1.2

योग नियम के अनुसार, $y$ के संबंध में $2 x y^{2} + \frac{x}{y^{2}}$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d y} [2 x y^{2}] + \frac{d}{d y} [\frac{x}{y^{2}}]$ है.

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [2 x y^{2}] + \frac{d}{d y} [\frac{x}{y^{2}}]$

चरण 1.3

$\frac{d}{d y} [2 x y^{2}]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.3.1

चूंकि $2 x$ , $y$ के संबंध में स्थिर है, $y$ के संबंध में $2 x y^{2}$ का व्युत्पन्न $2 x \frac{d}{d y} [y^{2}]$ है.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x \frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [\frac{x}{y^{2}}]$

चरण 1.3.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ $n y^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 2$ है.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x (2 y) + \frac{d}{d y} [\frac{x}{y^{2}}]$

चरण 1.3.3

$2$ को $2$ से गुणा करें.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 4 x y + \frac{d}{d y} [\frac{x}{y^{2}}]$

चरण 1.4

$\frac{d}{d y} [\frac{x}{y^{2}}]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.4.1

चूंकि $x$ , $y$ के संबंध में स्थिर है, $y$ के संबंध में $\frac{x}{y^{2}}$ का व्युत्पन्न $x \frac{d}{d y} [\frac{1}{y^{2}}]$ है.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 4 x y + x \frac{d}{d y} [\frac{1}{y^{2}}]$

चरण 1.4.2

$\frac{1}{y^{2}}$ को ${(y^{2})}^{- 1}$ के रूप में फिर से लिखें.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 4 x y + x \frac{d}{d y} [{(y^{2})}^{- 1}]$

चरण 1.4.3

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ $f' (g (y)) g' (y)$ है, जहाँ $f (y) = y^{- 1}$ और $g (y) = y^{2}$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.4.3.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u$ को $y^{2}$ के रूप में सेट करें.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 4 x y + x (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d y} [y^{2}])$

चरण 1.4.3.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ $n u^{n - 1}$ है, जहाँ $n = - 1$ है.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 4 x y + x (- u^{- 2} \frac{d}{d y} [y^{2}])$

चरण 1.4.3.3

$u$ की सभी घटनाओं को $y^{2}$ से बदलें.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 4 x y + x (- {(y^{2})}^{- 2} \frac{d}{d y} [y^{2}])$

चरण 1.4.4

$\frac{\partial M}{\partial y} = 4 x y + x (- {(y^{2})}^{- 2} (2 y))$

चरण 1.4.5

घातांक को ${(y^{2})}^{- 2}$ में गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.4.5.1

घात नियम लागू करें और घातांक गुणा करें, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 4 x y + x (- y^{2 \cdot - 2} (2 y))$

चरण 1.4.5.2

$2$ को $- 2$ से गुणा करें.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 4 x y + x (- y^{- 4} (2 y))$

चरण 1.4.6

$2$ को $- 1$ से गुणा करें.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 4 x y + x (- 2 y^{- 4} y)$

चरण 1.4.7

$y$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 4 x y + x (- 2 (y^{1} y^{- 4}))$

चरण 1.4.8

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 4 x y + x (- 2 y^{1 - 4})$

चरण 1.4.9

$1$ में से $4$ घटाएं.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 4 x y + x (- 2 y^{- 3})$

चरण 1.5

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.5.1

ऋणात्मक घातांक नियम $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ का प्रयोग करके व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 4 x y + x (- 2 \frac{1}{y^{3}})$

चरण 1.5.2

पदों को मिलाएं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.5.2.1

$- 2$ और $\frac{1}{y^{3}}$ को मिलाएं.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 4 x y + x \frac{- 2}{y^{3}}$

चरण 1.5.2.2

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 4 x y + x (- \frac{2}{y^{3}})$

चरण 1.5.2.3

$x$ और $\frac{2}{y^{3}}$ को मिलाएं.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 4 x y - \frac{x \cdot 2}{y^{3}}$

चरण 1.5.2.4

$2$ को $x$ के बाईं ओर ले जाएं.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 4 x y - \frac{2 x}{y^{3}}$

चरण 2

$\frac{\partial N}{\partial x}$ पता कीजिए जहां $N (x, y) = 4 x^{2} y$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

$N$ को $x$ से अलग करें.

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [4 x^{2} y]$

चरण 2.2

चूंकि $4 y$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $4 x^{2} y$ का व्युत्पन्न $4 y \frac{d}{d x} [x^{2}]$ है.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 4 y \frac{d}{d x} [x^{2}]$

चरण 2.3

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 2$ है.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 4 y (2 x)$

चरण 2.4

व्यंजक को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.4.1

$2$ को $4$ से गुणा करें.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 8 y x$

चरण 2.4.2

$8 y x$ के गुणनखंडों को फिर से क्रमित करें.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 8 x y$

चरण 3

उस $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ को जांचें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

$\frac{\partial M}{\partial y}$ के लिए $4 x y - \frac{2 x}{y^{3}}$ और $\frac{\partial N}{\partial x}$ के लिए $8 x y$ प्रतिस्थापित करें.

$4 x y - \frac{2 x}{y^{3}} = 8 x y$

चरण 3.2

चूँकि बायाँ पक्ष दाएँ पक्ष के बराबर नहीं है, समीकरण एक सर्वसमिका नहीं है.

$4 x y - \frac{2 x}{y^{3}} = 8 x y$ कोई सर्वसमिका नहीं है.

चरण 4

इंटिग्रेशन गुणनखंड $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ खोजें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1

$8 x y$ को $\frac{\partial N}{\partial x}$ से प्रतिस्थापित करें.

$\frac{8 x y - \frac{\partial M}{\partial y}}{M}$

चरण 4.2

$4 x y - \frac{2 x}{y^{3}}$ को $\frac{\partial M}{\partial y}$ से प्रतिस्थापित करें.

$\frac{8 x y - (4 x y - \frac{2 x}{y^{3}})}{M}$

चरण 4.3

$2 x y^{2} + \frac{x}{y^{2}}$ को $M$ से प्रतिस्थापित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.3.1

$2 x y^{2} + \frac{x}{y^{2}}$ को $M$ से प्रतिस्थापित करें.

$\frac{8 x y - (4 x y - \frac{2 x}{y^{3}})}{2 x y^{2} + \frac{x}{y^{2}}}$

चरण 4.3.2

भिन्न के न्यूमेरेटर और भाजक को $y^{2}$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.3.2.1

$\frac{8 x y - (4 x y - \frac{2 x}{y^{3}})}{2 x y^{2} + \frac{x}{y^{2}}}$ को $\frac{y^{2}}{y^{2}}$ से गुणा करें.

$\frac{y^{2}}{y^{2}} \cdot \frac{8 x y - (4 x y - \frac{2 x}{y^{3}})}{2 x y^{2} + \frac{x}{y^{2}}}$

चरण 4.3.2.2

जोड़ना.

$\frac{y^{2} (8 x y - (4 x y - \frac{2 x}{y^{3}}))}{y^{2} (2 x y^{2} + \frac{x}{y^{2}})}$

चरण 4.3.3

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{y^{2} (8 x y) + y^{2} (- (4 x y - \frac{2 x}{y^{3}}))}{y^{2} (2 x y^{2}) + y^{2} \frac{x}{y^{2}}}$

चरण 4.3.4

$y^{2}$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.3.4.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{y^{2} (8 x y) + y^{2} (- (4 x y - \frac{2 x}{y^{3}}))}{y^{2} (2 x y^{2}) + y^{2} \frac{x}{y^{2}}}$

चरण 4.3.4.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{y^{2} (8 x y) + y^{2} (- (4 x y - \frac{2 x}{y^{3}}))}{y^{2} (2 x y^{2}) + x}$

चरण 4.3.5

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.3.5.1

$y^{2} (8 x y) + y^{2} (- (4 x y - \frac{2 x}{y^{3}}))$ में से $y^{3}$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.3.5.1.1

$y^{2} (8 x y)$ में से $y^{3}$ का गुणनखंड करें.

$\frac{y^{3} (y^{- 1} (8 x y)) + y^{2} (- (4 x y - \frac{2 x}{y^{3}}))}{y^{2} (2 x y^{2}) + x}$

चरण 4.3.5.1.2

$y^{2} (- (4 x y - \frac{2 x}{y^{3}}))$ में से $y^{3}$ का गुणनखंड करें.

$\frac{y^{3} (y^{- 1} (8 x y)) + y^{3} (y^{- 1} (- (4 x y - \frac{2 x}{y^{3}})))}{y^{2} (2 x y^{2}) + x}$

चरण 4.3.5.1.3

$y^{3} (y^{- 1} (8 x y)) + y^{3} (y^{- 1} (- (4 x y - \frac{2 x}{y^{3}})))$ में से $y^{3}$ का गुणनखंड करें.

$\frac{y^{3} (y^{- 1} (8 x y) + y^{- 1} (- (4 x y - \frac{2 x}{y^{3}})))}{y^{2} (2 x y^{2}) + x}$

चरण 4.3.5.2

गुणन के क्रमविनिमेय गुण का उपयोग करके फिर से लिखें.

$\frac{y^{3} (8 y^{- 1} (x y) + y^{- 1} (- (4 x y - \frac{2 x}{y^{3}})))}{y^{2} (2 x y^{2}) + x}$

चरण 4.3.5.3

घातांक जोड़कर $y^{- 1}$ को $y$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.3.5.3.1

$y$ ले जाएं.

$\frac{y^{3} (8 (y \cdot y^{- 1}) x + y^{- 1} (- (4 x y - \frac{2 x}{y^{3}})))}{y^{2} (2 x y^{2}) + x}$

चरण 4.3.5.3.2

$y$ को $y^{- 1}$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.3.5.3.2.1

$y$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$\frac{y^{3} (8 (y^{1} y^{- 1}) x + y^{- 1} (- (4 x y - \frac{2 x}{y^{3}})))}{y^{2} (2 x y^{2}) + x}$

चरण 4.3.5.3.2.2

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$\frac{y^{3} (8 y^{1 - 1} x + y^{- 1} (- (4 x y - \frac{2 x}{y^{3}})))}{y^{2} (2 x y^{2}) + x}$

चरण 4.3.5.3.3

$1$ में से $1$ घटाएं.

$\frac{y^{3} (8 y^{0} x + y^{- 1} (- (4 x y - \frac{2 x}{y^{3}})))}{y^{2} (2 x y^{2}) + x}$

चरण 4.3.5.4

$8 y^{0} x$ को सरल करें.

$\frac{y^{3} (8 x + y^{- 1} (- (4 x y - \frac{2 x}{y^{3}})))}{y^{2} (2 x y^{2}) + x}$

चरण 4.3.5.5

गुणन के क्रमविनिमेय गुण का उपयोग करके फिर से लिखें.

$\frac{y^{3} (8 x - y^{- 1} (4 x y - \frac{2 x}{y^{3}}))}{y^{2} (2 x y^{2}) + x}$

चरण 4.3.5.6

ऋणात्मक घातांक नियम $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ का प्रयोग करके व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{y^{3} (8 x - \frac{1}{y} (4 x y - \frac{2 x}{y^{3}}))}{y^{2} (2 x y^{2}) + x}$

चरण 4.3.5.7

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{y^{3} (8 x - \frac{1}{y} (4 x y) - \frac{1}{y} (- \frac{2 x}{y^{3}}))}{y^{2} (2 x y^{2}) + x}$

चरण 4.3.5.8

$y$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.3.5.8.1

$- \frac{1}{y}$ में अग्रणी ऋणात्मक को न्यूमेरेटर में ले जाएं.

$\frac{y^{3} (8 x + \frac{- 1}{y} (4 x y) - \frac{1}{y} (- \frac{2 x}{y^{3}}))}{y^{2} (2 x y^{2}) + x}$

चरण 4.3.5.8.2

$4 x y$ में से $y$ का गुणनखंड करें.

$\frac{y^{3} (8 x + \frac{- 1}{y} (y (4 x)) - \frac{1}{y} (- \frac{2 x}{y^{3}}))}{y^{2} (2 x y^{2}) + x}$

चरण 4.3.5.8.3

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{y^{3} (8 x + \frac{- 1}{y} (y (4 x)) - \frac{1}{y} (- \frac{2 x}{y^{3}}))}{y^{2} (2 x y^{2}) + x}$

चरण 4.3.5.8.4

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{y^{3} (8 x - (4 x) - \frac{1}{y} (- \frac{2 x}{y^{3}}))}{y^{2} (2 x y^{2}) + x}$

चरण 4.3.5.9

$4$ को $- 1$ से गुणा करें.

$\frac{y^{3} (8 x - 4 x - \frac{1}{y} (- \frac{2 x}{y^{3}}))}{y^{2} (2 x y^{2}) + x}$

चरण 4.3.5.10

$- \frac{1}{y} (- \frac{2 x}{y^{3}})$ गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.3.5.10.1

$- 1$ को $- 1$ से गुणा करें.

$\frac{y^{3} (8 x - 4 x + 1 \frac{1}{y} \frac{2 x}{y^{3}})}{y^{2} (2 x y^{2}) + x}$

चरण 4.3.5.10.2

$\frac{1}{y}$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{y^{3} (8 x - 4 x + \frac{1}{y} \cdot \frac{2 x}{y^{3}})}{y^{2} (2 x y^{2}) + x}$

चरण 4.3.5.10.3

$\frac{1}{y}$ को $\frac{2 x}{y^{3}}$ से गुणा करें.

$\frac{y^{3} (8 x - 4 x + \frac{2 x}{y \cdot y^{3}})}{y^{2} (2 x y^{2}) + x}$

चरण 4.3.5.10.4

घातांक जोड़कर $y$ को $y^{3}$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.3.5.10.4.1

$y$ को $y^{3}$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.3.5.10.4.1.1

$y$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$\frac{y^{3} (8 x - 4 x + \frac{2 x}{y^{1} y^{3}})}{y^{2} (2 x y^{2}) + x}$

चरण 4.3.5.10.4.1.2

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$\frac{y^{3} (8 x - 4 x + \frac{2 x}{y^{1 + 3}})}{y^{2} (2 x y^{2}) + x}$

चरण 4.3.5.10.4.2

$1$ और $3$ जोड़ें.

$\frac{y^{3} (8 x - 4 x + \frac{2 x}{y^{4}})}{y^{2} (2 x y^{2}) + x}$

चरण 4.3.5.11

$8 x$ में से $4 x$ घटाएं.

$\frac{y^{3} (4 x + \frac{2 x}{y^{4}})}{y^{2} (2 x y^{2}) + x}$

चरण 4.3.5.12

$4 x + \frac{2 x}{y^{4}}$ में से $2 x$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.3.5.12.1

$4 x$ में से $2 x$ का गुणनखंड करें.

$\frac{y^{3} (2 x (2) + \frac{2 x}{y^{4}})}{y^{2} (2 x y^{2}) + x}$

चरण 4.3.5.12.2

$\frac{2 x}{y^{4}}$ में से $2 x$ का गुणनखंड करें.

$\frac{y^{3} (2 x (2) + 2 x \frac{1}{y^{4}})}{y^{2} (2 x y^{2}) + x}$

चरण 4.3.5.12.3

$2 x (2) + 2 x \frac{1}{y^{4}}$ में से $2 x$ का गुणनखंड करें.

$\frac{y^{3} (2 x (2 + \frac{1}{y^{4}}))}{y^{2} (2 x y^{2}) + x}$

$\frac{y^{3} \cdot 2 x (2 + \frac{1}{y^{4}})}{y^{2} (2 x y^{2}) + x}$

चरण 4.3.5.13

$2$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{y^{4}}{y^{4}}$ से गुणा करें.

$\frac{y^{3} \cdot 2 x (\frac{2 y^{4}}{y^{4}} + \frac{1}{y^{4}})}{y^{2} (2 x y^{2}) + x}$

चरण 4.3.5.14

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$\frac{y^{3} \cdot 2 x \frac{2 y^{4} + 1}{y^{4}}}{y^{2} (2 x y^{2}) + x}$

चरण 4.3.5.15

प्रतिपादकों को जोड़ें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.3.5.15.1

$y^{3}$ और $\frac{2 y^{4} + 1}{y^{4}}$ को मिलाएं.

$\frac{2 x \frac{y^{3} (2 y^{4} + 1)}{y^{4}}}{y^{2} (2 x y^{2}) + x}$

चरण 4.3.5.15.2

$2$ और $\frac{y^{3} (2 y^{4} + 1)}{y^{4}}$ को मिलाएं.

$\frac{x \frac{2 (y^{3} (2 y^{4} + 1))}{y^{4}}}{y^{2} (2 x y^{2}) + x}$

चरण 4.3.5.15.3

$x$ और $\frac{2 (y^{3} (2 y^{4} + 1))}{y^{4}}$ को मिलाएं.

$\frac{\frac{x (2 (y^{3} (2 y^{4} + 1)))}{y^{4}}}{y^{2} (2 x y^{2}) + x}$

चरण 4.3.5.16

अनावश्यक कोष्ठक हटा दें.

$\frac{\frac{x \cdot 2 y^{3} (2 y^{4} + 1)}{y^{4}}}{y^{2} (2 x y^{2}) + x}$

चरण 4.3.5.17

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करके व्यंजक $\frac{x \cdot 2 y^{3} (2 y^{4} + 1)}{y^{4}}$ को छोटा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.3.5.17.1

$x \cdot 2 y^{3} (2 y^{4} + 1)$ में से $y^{3}$ का गुणनखंड करें.

$\frac{\frac{y^{3} (x \cdot 2 (2 y^{4} + 1))}{y^{4}}}{y^{2} (2 x y^{2}) + x}$

चरण 4.3.5.17.2

$y^{4}$ में से $y^{3}$ का गुणनखंड करें.

$\frac{\frac{y^{3} (x \cdot 2 (2 y^{4} + 1))}{y^{3} y}}{y^{2} (2 x y^{2}) + x}$

चरण 4.3.5.17.3

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{\frac{y^{3} (x \cdot 2 (2 y^{4} + 1))}{y^{3} y}}{y^{2} (2 x y^{2}) + x}$

चरण 4.3.5.17.4

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{\frac{x \cdot 2 (2 y^{4} + 1)}{y}}{y^{2} (2 x y^{2}) + x}$

चरण 4.3.5.18

$2$ को $x$ के बाईं ओर ले जाएं.

$\frac{\frac{2 x (2 y^{4} + 1)}{y}}{y^{2} (2 x y^{2}) + x}$

चरण 4.3.6

भाजक को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.3.6.1

$y^{2} (2 x y^{2}) + x$ में से $x$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.3.6.1.1

$y^{2} (2 x y^{2})$ में से $x$ का गुणनखंड करें.

$\frac{\frac{2 x (2 y^{4} + 1)}{y}}{x (y^{2} (2 y^{2})) + x}$

चरण 4.3.6.1.2

$x$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$\frac{\frac{2 x (2 y^{4} + 1)}{y}}{x (y^{2} (2 y^{2})) + x^{1}}$

चरण 4.3.6.1.3

$x^{1}$ में से $x$ का गुणनखंड करें.

$\frac{\frac{2 x (2 y^{4} + 1)}{y}}{x (y^{2} (2 y^{2})) + x \cdot 1}$

चरण 4.3.6.1.4

$x (y^{2} (2 y^{2})) + x \cdot 1$ में से $x$ का गुणनखंड करें.

$\frac{\frac{2 x (2 y^{4} + 1)}{y}}{x (y^{2} (2 y^{2}) + 1)}$

चरण 4.3.6.2

गुणन के क्रमविनिमेय गुण का उपयोग करके फिर से लिखें.

$\frac{\frac{2 x (2 y^{4} + 1)}{y}}{x (2 y^{2} y^{2} + 1)}$

चरण 4.3.6.3

घातांक जोड़कर $y^{2}$ को $y^{2}$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.3.6.3.1

$y^{2}$ ले जाएं.

$\frac{\frac{2 x (2 y^{4} + 1)}{y}}{x (2 (y^{2} y^{2}) + 1)}$

चरण 4.3.6.3.2

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$\frac{\frac{2 x (2 y^{4} + 1)}{y}}{x (2 y^{2 + 2} + 1)}$

चरण 4.3.6.3.3

$2$ और $2$ जोड़ें.

$\frac{\frac{2 x (2 y^{4} + 1)}{y}}{x (2 y^{4} + 1)}$

चरण 4.3.7

भाजक के प्रतिलोम से न्यूमेरेटर को गुणा करें.

$\frac{2 x (2 y^{4} + 1)}{y} \cdot \frac{1}{x (2 y^{4} + 1)}$

चरण 4.3.8

जोड़ना.

$\frac{2 x (2 y^{4} + 1) \cdot 1}{y (x (2 y^{4} + 1))}$

चरण 4.3.9

$x$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.3.9.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{2 x (2 y^{4} + 1) \cdot 1}{y (x (2 y^{4} + 1))}$

चरण 4.3.9.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{(2 (2 y^{4} + 1)) \cdot 1}{y (2 y^{4} + 1)}$

चरण 4.3.10

$2 y^{4} + 1$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.3.10.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{2 (2 y^{4} + 1) \cdot 1}{y (2 y^{4} + 1)}$

चरण 4.3.10.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{(2) \cdot 1}{y}$

चरण 4.3.11

$2 x y^{2} + \frac{x}{y^{2}}$ को $M$ से प्रतिस्थापित करें.

$\frac{2}{y}$

चरण 4.4

इंटिग्रेशन गुणनखंड $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ खोजें.

$μ (x, y) = e^{\int \frac{2}{y} d y}$

चरण 5

इंटिग्रल $e^{\int \frac{2}{y} d y}$ को पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1

चूँकि $2$ बटे $y$ अचर है, $2$ को समाकलन से हटा दें.

$μ (x, y) = e^{2 \int \frac{1}{y} d y}$

चरण 5.2

$y$ के संबंध में $\frac{1}{y}$ का इंटीग्रल $\ln (| y |)$ है.

$μ (x, y) = e^{2 (\ln (| y |) + C)}$

चरण 5.3

सरल करें.

$μ (x, y) = e^{2 \ln (| y |)} + C$

चरण 5.4

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.4.1

$2$ को लघुगणक के अंदर ले जाकर $2 \ln (| y |)$ को सरल करें.

$μ (x, y) = e^{\ln ({| y |}^{2})} + C$

चरण 5.4.2

चरघातांक और लघुगणक व्युत्क्रम फलन होते हैं

$μ (x, y) = {| y |}^{2} + C$

चरण 5.4.3

${| y |}^{2}$ में निरपेक्ष मान हटा दें क्योंकि सम घात वाले घातांक हमेशा धनात्मक होते हैं.

$μ (x, y) = y^{2} + C$

चरण 6

$(2 x y^{2} + \frac{x}{y^{2}}) d x + 4 x^{2} y d y = 0$ के दोनों पक्षों को इंटिग्रेशन गुणनखंड $y^{2}$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1

$2 x y^{2} + \frac{x}{y^{2}}$ को $y^{2}$ से गुणा करें.

$(2 x y^{2} + \frac{x}{y^{2}}) y^{2} d x + 4 x^{2} y d y = 0$

चरण 6.2

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$(2 x y^{2} y^{2} + \frac{x}{y^{2}} y^{2}) d x + 4 x^{2} y d y = 0$

चरण 6.3

घातांक जोड़कर $y^{2}$ को $y^{2}$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.3.1

$y^{2}$ ले जाएं.

$(2 x (y^{2} y^{2}) + \frac{x}{y^{2}} y^{2}) d x + 4 x^{2} y d y = 0$

चरण 6.3.2

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$(2 x y^{2 + 2} + \frac{x}{y^{2}} y^{2}) d x + 4 x^{2} y d y = 0$

चरण 6.3.3

$2$ और $2$ जोड़ें.

$(2 x y^{4} + \frac{x}{y^{2}} y^{2}) d x + 4 x^{2} y d y = 0$

चरण 6.4

$y^{2}$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.4.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$(2 x y^{4} + \frac{x}{y^{2}} y^{2}) d x + 4 x^{2} y d y = 0$

चरण 6.4.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$(2 x y^{4} + x) d x + 4 x^{2} y d y = 0$

चरण 6.5

$4 x^{2} y$ को $y^{2}$ से गुणा करें.

$(2 x y^{4} + x) d x + 4 x^{2} y \cdot y^{2} d y = 0$

चरण 6.6

घातांक जोड़कर $y$ को $y^{2}$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.6.1

$y^{2}$ ले जाएं.

$(2 x y^{4} + x) d x + 4 x^{2} (y^{2} y) d y = 0$

चरण 6.6.2

$y^{2}$ को $y$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.6.2.1

$y$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$(2 x y^{4} + x) d x + 4 x^{2} (y^{2} y^{1}) d y = 0$

चरण 6.6.2.2

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$(2 x y^{4} + x) d x + 4 x^{2} y^{2 + 1} d y = 0$

चरण 6.6.3

$2$ और $1$ जोड़ें.

$(2 x y^{4} + x) d x + 4 x^{2} y^{3} d y = 0$

चरण 7

$f (x, y)$ को $N (x, y)$ के इंटीग्रल के बराबर सेट करें.

$f (x, y) = \int 4 x^{2} y^{3} d y$

चरण 8

$f (x, y)$ को खोजने के लिए $N (x, y) = 4 x^{2} y^{3}$ को समाकलित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.1

चूँकि $4 x^{2}$ बटे $y$ अचर है, $4 x^{2}$ को समाकलन से हटा दें.

$f (x, y) = 4 x^{2} \int y^{3} d y$

चरण 8.2

घात नियम के अनुसार, $y$ के संबंध में $y^{3}$ का समाकलन $\frac{1}{4} y^{4}$ है.

$f (x, y) = 4 x^{2} (\frac{1}{4} y^{4} + C)$

चरण 8.3

उत्तर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.3.1

$4 x^{2} (\frac{1}{4} y^{4} + C)$ को $4 x^{2} \frac{1}{4} y^{4} + C$ के रूप में फिर से लिखें.

$f (x, y) = 4 x^{2} \frac{1}{4} y^{4} + C$

चरण 8.3.2

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.3.2.1

$4$ और $\frac{1}{4}$ को मिलाएं.

$f (x, y) = x^{2} \frac{4}{4} y^{4} + C$

चरण 8.3.2.2

$x^{2}$ और $\frac{4}{4}$ को मिलाएं.

$f (x, y) = \frac{x^{2} \cdot 4}{4} y^{4} + C$

चरण 8.3.2.3

$4$ को $x^{2}$ के बाईं ओर ले जाएं.

$f (x, y) = \frac{4 \cdot x^{2}}{4} y^{4} + C$

चरण 8.3.2.4

$4$ को $x^{2}$ से गुणा करें.

$f (x, y) = \frac{4 x^{2}}{4} y^{4} + C$

चरण 8.3.2.5

$4$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.3.2.5.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$f (x, y) = \frac{4 x^{2}}{4} y^{4} + C$

चरण 8.3.2.5.2

$x^{2}$ को $1$ से विभाजित करें.

$f (x, y) = x^{2} y^{4} + C$

चरण 9

चूँकि $g (x)$ के इंटिग्रल में इंटिग्रेशन स्थिरांक होगा, हम $C$ को $g (x)$ से बदल सकते हैं.

$f (x, y) = x^{2} y^{4} + g (x)$

चरण 10

$\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ सेट करें.

$\frac{\partial f}{\partial x} = 2 x y^{4} + x$

चरण 11

$\frac{\partial f}{\partial x}$ पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 11.1

$f$ को $x$ से अलग करें.

$\frac{d}{d x} [x^{2} y^{4} + g (x)] = 2 x y^{4} + x$

चरण 11.2

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x^{2} y^{4} + g (x)$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [x^{2} y^{4}] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ है.

$\frac{d}{d x} [x^{2} y^{4}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 x y^{4} + x$

चरण 11.3

$\frac{d}{d x} [x^{2} y^{4}]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 11.3.1

चूंकि $y^{4}$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $x^{2} y^{4}$ का व्युत्पन्न $y^{4} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ है.

$y^{4} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 x y^{4} + x$

चरण 11.3.2

$y^{4} (2 x) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 x y^{4} + x$

चरण 11.3.3

$2$ को $y^{4}$ के बाईं ओर ले जाएं.

$2 y^{4} x + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 x y^{4} + x$

चरण 11.4

फलन नियम का उपयोग करके अंतर करें जो बताता है कि $g (x)$ का व्युत्पन्न $\frac{d g}{d x}$ है.

$2 y^{4} x + \frac{d g}{d x} = 2 x y^{4} + x$

चरण 11.5

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$\frac{d g}{d x} + 2 y^{4} x = 2 x y^{4} + x$

चरण 12

$\frac{d g}{d x}$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 12.1

$\frac{d g}{d x}$ वाले सभी पदों को समीकरण के दाईं ओर ले जाएं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 12.1.1

समीकरण के दोनों पक्षों से $2 y^{4} x$ घटाएं.

$\frac{d g}{d x} = 2 x y^{4} + x - 2 y^{4} x$

चरण 12.1.2

$2 x y^{4} + x - 2 y^{4} x$ में विपरीत पदों को मिलाएं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 12.1.2.1

गुणनखंडों को $2 x y^{4}$ और $- 2 y^{4} x$ पदों में पुन: व्यवस्थित करें.

$\frac{d g}{d x} = 2 y^{4} x + x - 2 y^{4} x$

चरण 12.1.2.2

$2 y^{4} x$ में से $2 y^{4} x$ घटाएं.

$\frac{d g}{d x} = x + 0$

चरण 12.1.2.3

$x$ और $0$ जोड़ें.

$\frac{d g}{d x} = x$

चरण 13

$g (x)$ को खोजने के लिए $x$ का विरोधी व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 13.1

$\frac{d g}{d x} = x$ के दोनों पक्षों को समाकलित करें.

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int x d x$

चरण 13.2

$\int \frac{d g}{d x} d x$ का मान ज्ञात करें.

$g (x) = \int x d x$

चरण 13.3

घात नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x$ का समाकलन $\frac{1}{2} x^{2}$ है.

$g (x) = \frac{1}{2} x^{2} + C$

चरण 14

$f (x, y) = x^{2} y^{4} + g (x)$ में $g (x)$ को प्रतिस्थापित करें.

$f (x, y) = x^{2} y^{4} + \frac{1}{2} x^{2} + C$

चरण 15

$f (x, y) = x^{2} y^{4} + \frac{1}{2} x^{2} + C$ को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 15.1

$\frac{1}{2}$ और $x^{2}$ को मिलाएं.

$f (x, y) = x^{2} y^{4} + \frac{x^{2}}{2} + C$

चरण 15.2

$x^{2} y^{4}$ के गुणनखंडों को फिर से क्रमित करें.

$f (x, y) = y^{4} x^{2} + \frac{x^{2}}{2} + C$

चरण 15.3

$y^{4} x^{2}$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{2}{2}$ से गुणा करें.

$f (x, y) = y^{4} x^{2} \cdot \frac{2}{2} + \frac{x^{2}}{2} + C$

चरण 15.4

$y^{4} x^{2}$ और $\frac{2}{2}$ को मिलाएं.

$f (x, y) = \frac{y^{4} x^{2} \cdot 2}{2} + \frac{x^{2}}{2} + C$

चरण 15.5

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$f (x, y) = \frac{y^{4} x^{2} \cdot 2 + x^{2}}{2} + C$

चरण 15.6

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 15.6.1

$y^{4} x^{2} \cdot 2 + x^{2}$ में से $x^{2}$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 15.6.1.1

$y^{4} x^{2} \cdot 2$ में से $x^{2}$ का गुणनखंड करें.

$f (x, y) = \frac{x^{2} (y^{4} \cdot 2) + x^{2}}{2} + C$

चरण 15.6.1.2

$1$ से गुणा करें.

$f (x, y) = \frac{x^{2} (y^{4} \cdot 2) + x^{2} \cdot 1}{2} + C$

चरण 15.6.1.3

$x^{2} (y^{4} \cdot 2) + x^{2} \cdot 1$ में से $x^{2}$ का गुणनखंड करें.

$f (x, y) = \frac{x^{2} (y^{4} \cdot 2 + 1)}{2} + C$

चरण 15.6.2

$2$ को $y^{4}$ के बाईं ओर ले जाएं.

$f (x, y) = \frac{x^{2} (2 y^{4} + 1)}{2} + C$