कैलकुलस उदाहरण

$\sin (θ) \frac{d r}{d θ} = - 1 - 2 r \cos (θ)$

चरण 1

डिफरेन्शल इक्वेश़न को $\frac{d r}{d θ} + M (θ) r = Q (θ)$ के रूप में फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

समीकरण के दोनों पक्षों में $2 r \cos (θ)$ जोड़ें.

$\sin (θ) \frac{d r}{d θ} + 2 r \cos (θ) = - 1$

चरण 1.2

$2 r \cos (θ)$ में से $r$ का गुणनखंड करें.

$\sin (θ) \frac{d r}{d θ} + r (2 \cos (θ)) = - 1$

चरण 1.3

$r$ और $2 \cos (θ)$ को पुन: क्रमित करें.

$\sin (θ) \frac{d r}{d θ} + 2 \cos (θ) r = - 1$

चरण 1.4

$\sin (θ) \frac{d r}{d θ} + 2 \cos (θ) r = - 1$ के प्रत्येक पद को $\sin (θ)$ से विभाजित करें.

$\frac{\sin (θ) \frac{d r}{d θ}}{\sin (θ)} + \frac{2 \cos (θ) r}{\sin (θ)} = \frac{- 1}{\sin (θ)}$

चरण 1.5

$\sin (θ)$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.5.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{\sin (θ) \frac{d r}{d θ}}{\sin (θ)} + \frac{2 \cos (θ) r}{\sin (θ)} = \frac{- 1}{\sin (θ)}$

चरण 1.5.2

$\frac{d r}{d θ}$ को $1$ से विभाजित करें.

$\frac{d r}{d θ} + \frac{2 \cos (θ) r}{\sin (θ)} = \frac{- 1}{\sin (θ)}$

चरण 1.6

$\frac{2 \cos (θ) r}{\sin (θ)}$ में से $r$ का गुणनखंड करें.

$\frac{d r}{d θ} + r \frac{2 \cos (θ)}{\sin (θ)} = \frac{- 1}{\sin (θ)}$

चरण 1.7

$r$ और $\frac{2 \cos (θ)}{\sin (θ)}$ को पुन: क्रमित करें.

$\frac{d r}{d θ} + \frac{2 \cos (θ)}{\sin (θ)} r = \frac{- 1}{\sin (θ)}$

चरण 2

समाकलित गुणनखंड को $e^{\int P (θ) d θ}$ सूत्र द्वारा परिभाषित किया गया है, जहां $P (θ) = \frac{2 \cos (θ)}{\sin (θ)}$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

समाकलन सेट करें.

$e^{\int \frac{2 \cos (θ)}{\sin (θ)} d θ}$

चरण 2.2

$\frac{2 \cos (θ)}{\sin (θ)}$ को समाकलित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.1

अलग-अलग भिन्न

$e^{\int \frac{2}{1} \cdot \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)} d θ}$

चरण 2.2.2

$\frac{\cos (θ)}{\sin (θ)}$ को $\cot (θ)$ में बदलें.

$e^{\int \frac{2}{1} \cot (θ) d θ}$

चरण 2.2.3

$2$ को $1$ से विभाजित करें.

$e^{\int 2 \cot (θ) d θ}$

चरण 2.2.4

चूँकि $2$ बटे $θ$ अचर है, $2$ को समाकलन से हटा दें.

$e^{2 \int \cot (θ) d θ}$

चरण 2.2.5

$θ$ के संबंध में $\cot (θ)$ का इंटीग्रल $\ln (| \sin (θ) |)$ है.

$e^{2 (\ln (| \sin (θ) |) + C)}$

चरण 2.2.6

सरल करें.

$e^{2 \ln (| \sin (θ) |) + C}$

चरण 2.3

समाकलन का स्थिरांक निकालें.

$e^{2 \ln (\sin (θ))}$

चरण 2.4

लघुगणक घात नियम का प्रयोग करें.

$e^{\ln (\sin^{2} (θ))}$

चरण 2.5

चरघातांक और लघुगणक व्युत्क्रम फलन होते हैं

$\sin^{2} (θ)$

चरण 3

प्रत्येक पद को समाकलन गुणनखंड $\sin^{2} (θ)$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

प्रत्येक पद को $\sin^{2} (θ)$ से गुणा करें.

$\sin^{2} (θ) \frac{d r}{d θ} + \sin^{2} (θ) (\frac{2 \cos (θ)}{\sin (θ)} r) = \sin^{2} (θ) \frac{- 1}{\sin (θ)}$

चरण 3.2

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.1

अलग-अलग भिन्न

$\sin^{2} (θ) \frac{d r}{d θ} + \sin^{2} (θ) (\frac{2}{1} \cdot \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)} r) = \sin^{2} (θ) \frac{- 1}{\sin (θ)}$

चरण 3.2.2

$\frac{\cos (θ)}{\sin (θ)}$ को $\cot (θ)$ में बदलें.

$\sin^{2} (θ) \frac{d r}{d θ} + \sin^{2} (θ) (\frac{2}{1} \cot (θ) r) = \sin^{2} (θ) \frac{- 1}{\sin (θ)}$

चरण 3.2.3

गुणन के क्रमविनिमेय गुण का उपयोग करके फिर से लिखें.

$\sin^{2} (θ) \frac{d r}{d θ} + \frac{2}{1} \sin^{2} (θ) \cot (θ) r = \sin^{2} (θ) \frac{- 1}{\sin (θ)}$

चरण 3.2.4

$2$ को $1$ से विभाजित करें.

$\sin^{2} (θ) \frac{d r}{d θ} + 2 \sin^{2} (θ) \cot (θ) r = \sin^{2} (θ) \frac{- 1}{\sin (θ)}$

चरण 3.3

$\sin (θ)$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.3.1

$\sin^{2} (θ)$ में से $\sin (θ)$ का गुणनखंड करें.

$\sin^{2} (θ) \frac{d r}{d θ} + 2 \sin^{2} (θ) \cot (θ) r = \sin (θ) \sin (θ) \frac{- 1}{\sin (θ)}$

चरण 3.3.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\sin^{2} (θ) \frac{d r}{d θ} + 2 \sin^{2} (θ) \cot (θ) r = \sin (θ) \sin (θ) \frac{- 1}{\sin (θ)}$

चरण 3.3.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\sin^{2} (θ) \frac{d r}{d θ} + 2 \sin^{2} (θ) \cot (θ) r = \sin (θ) \cdot - 1$

चरण 3.4

$- 1$ को $\sin (θ)$ के बाईं ओर ले जाएं.

$\sin^{2} (θ) \frac{d r}{d θ} + 2 \sin^{2} (θ) \cot (θ) r = - 1 \cdot \sin (θ)$

चरण 3.5

$- 1 \sin (θ)$ को $- \sin (θ)$ के रूप में फिर से लिखें.

$\sin^{2} (θ) \frac{d r}{d θ} + 2 \sin^{2} (θ) \cot (θ) r = - \sin (θ)$

चरण 3.6

गुणनखंडों को $\sin^{2} (θ) \frac{d r}{d θ} + 2 \sin^{2} (θ) \cot (θ) r = - \sin (θ)$ में पुन: क्रमित करें.

$\sin^{2} (θ) \frac{d r}{d θ} + 2 r \sin^{2} (θ) \cot (θ) = - \sin (θ)$

चरण 4

किसी गुणन में अंतर करने के परिणामस्वरूप बाईं ओर फिर से लिखें.

$\frac{d}{d θ} [\sin^{2} (θ) r] = - \sin (θ)$

चरण 5

प्रत्येक पक्ष का एक समाकलन सेट करें.

$\int \frac{d}{d θ} [\sin^{2} (θ) r] d θ = \int - \sin (θ) d θ$

चरण 6

बाएं पक्ष का समाकलन करें.

$\sin^{2} (θ) r = \int - \sin (θ) d θ$

चरण 7

दाएं पक्ष का समाकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.1

चूँकि $- 1$ बटे $θ$ अचर है, $- 1$ को समाकलन से हटा दें.

$\sin^{2} (θ) r = - \int \sin (θ) d θ$

चरण 7.2

$θ$ के संबंध में $\sin (θ)$ का इंटीग्रल $- \cos (θ)$ है.

$\sin^{2} (θ) r = - (- \cos (θ) + C)$

चरण 7.3

उत्तर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.3.1

सरल करें.

$\sin^{2} (θ) r = - - \cos (θ) + C$

चरण 7.3.2

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.3.2.1

$- 1$ को $- 1$ से गुणा करें.

$\sin^{2} (θ) r = 1 \cos (θ) + C$

चरण 7.3.2.2

$\cos (θ)$ को $1$ से गुणा करें.

$\sin^{2} (θ) r = \cos (θ) + C$

चरण 8

$\sin^{2} (θ) r = \cos (θ) + C$ के प्रत्येक पद को $\sin^{2} (θ)$ से भाग दें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.1

$\sin^{2} (θ) r = \cos (θ) + C$ के प्रत्येक पद को $\sin^{2} (θ)$ से विभाजित करें.

$\frac{\sin^{2} (θ) r}{\sin^{2} (θ)} = \frac{\cos (θ)}{\sin^{2} (θ)} + \frac{C}{\sin^{2} (θ)}$

चरण 8.2

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.2.1

$\sin^{2} (θ)$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.2.1.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{\sin^{2} (θ) r}{\sin^{2} (θ)} = \frac{\cos (θ)}{\sin^{2} (θ)} + \frac{C}{\sin^{2} (θ)}$

चरण 8.2.1.2

$r$ को $1$ से विभाजित करें.

$r = \frac{\cos (θ)}{\sin^{2} (θ)} + \frac{C}{\sin^{2} (θ)}$

चरण 8.3

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.3.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.3.1.1

$\sin^{2} (θ)$ में से $\sin (θ)$ का गुणनखंड करें.

$r = \frac{\cos (θ)}{\sin (θ) \sin (θ)} + \frac{C}{\sin^{2} (θ)}$

चरण 8.3.1.2

अलग-अलग भिन्न

$r = \frac{1}{\sin (θ)} \cdot \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)} + \frac{C}{\sin^{2} (θ)}$

चरण 8.3.1.3

$\frac{\cos (θ)}{\sin (θ)}$ को $\cot (θ)$ में बदलें.

$r = \frac{1}{\sin (θ)} \cot (θ) + \frac{C}{\sin^{2} (θ)}$

चरण 8.3.1.4

$\frac{1}{\sin (θ)}$ को $\csc (θ)$ में बदलें.

$r = \csc (θ) \cot (θ) + \frac{C}{\sin^{2} (θ)}$

चरण 8.3.1.5

$1$ से गुणा करें.

$r = \csc (θ) \cot (θ) + \frac{C}{\sin^{2} (θ) \cdot 1}$

चरण 8.3.1.6

अलग-अलग भिन्न

$r = \csc (θ) \cot (θ) + \frac{C}{1} \cdot \frac{1}{\sin^{2} (θ)}$

चरण 8.3.1.7

$\frac{1}{\sin^{2} (θ)}$ को $\csc^{2} (θ)$ में बदलें.

$r = \csc (θ) \cot (θ) + \frac{C}{1} \csc^{2} (θ)$

चरण 8.3.1.8

$C$ को $1$ से विभाजित करें.

$r = \csc (θ) \cot (θ) + C \csc^{2} (θ)$