कैलकुलस उदाहरण

$x y y' = 1 - x^{2}$

चरण 1

डिफरेन्शल इक्वेश़न को फिर से लिखें

$x y \frac{d y}{d x} = 1 - x^{2}$

चरण 2

चरों को अलग करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

$x y \frac{d y}{d x} = 1 - x^{2}$ के प्रत्येक पद को $x y$ से भाग दें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.1

$x y \frac{d y}{d x} = 1 - x^{2}$ के प्रत्येक पद को $x y$ से विभाजित करें.

$\frac{x y \frac{d y}{d x}}{x y} = \frac{1}{x y} + \frac{- x^{2}}{x y}$

चरण 2.1.2

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.2.1

$x$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.2.1.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{x y \frac{d y}{d x}}{x y} = \frac{1}{x y} + \frac{- x^{2}}{x y}$

चरण 2.1.2.1.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{y \frac{d y}{d x}}{y} = \frac{1}{x y} + \frac{- x^{2}}{x y}$

चरण 2.1.2.2

$y$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.2.2.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{y \frac{d y}{d x}}{y} = \frac{1}{x y} + \frac{- x^{2}}{x y}$

चरण 2.1.2.2.2

$\frac{d y}{d x}$ को $1$ से विभाजित करें.

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{x y} + \frac{- x^{2}}{x y}$

चरण 2.1.3

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.3.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.3.1.1

$x^{2}$ और $x$ के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.3.1.1.1

$- x^{2}$ में से $x$ का गुणनखंड करें.

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{x y} + \frac{x (- x)}{x y}$

चरण 2.1.3.1.1.2

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.3.1.1.2.1

$x y$ में से $x$ का गुणनखंड करें.

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{x y} + \frac{x (- x)}{x (y)}$

चरण 2.1.3.1.1.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{x y} + \frac{x (- x)}{x y}$

चरण 2.1.3.1.1.2.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{x y} + \frac{- x}{y}$

चरण 2.1.3.1.2

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{x y} - \frac{x}{y}$

चरण 2.2

गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.1

$- \frac{x}{y}$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{x}{x}$ से गुणा करें.

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{x y} - \frac{x}{y} \cdot \frac{x}{x}$

चरण 2.2.2

प्रत्येक व्यंजक को $x y$ के सामान्य भाजक के साथ लिखें, प्रत्येक को $1$ के उपयुक्त गुणनखंड से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.2.1

$\frac{x}{y}$ को $\frac{x}{x}$ से गुणा करें.

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{x y} - \frac{x \cdot x}{y x}$

चरण 2.2.2.2

$y x$ के गुणनखंडों को फिर से क्रमित करें.

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{x y} - \frac{x \cdot x}{x y}$

चरण 2.2.3

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$\frac{d y}{d x} = \frac{1 - x \cdot x}{x y}$

चरण 2.2.4

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.4.1

$1$ को $1^{2}$ के रूप में फिर से लिखें.

$\frac{d y}{d x} = \frac{1^{2} - x \cdot x}{x y}$

चरण 2.2.4.2

$x \cdot x$ को $x^{2}$ के रूप में फिर से लिखें.

$\frac{d y}{d x} = \frac{1^{2} - x^{2}}{x y}$

चरण 2.2.4.3

चूंकि दोनों पद पूर्ण वर्ग हैं, इसलिए वर्ग सूत्र $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ के अंतर का उपयोग करके गुणनखंड निकालें जहां $a = 1$ और $b = x$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{(1 + x) (1 - x)}{x y}$

चरण 2.3

गुणनखंडों को पुनर्समूहन करें

$\frac{d y}{d x} = \frac{(1 + x) (1 - x)}{x} \cdot \frac{1}{y}$

चरण 2.4

दोनों पक्षों को $y$ से गुणा करें.

$y \frac{d y}{d x} = y (\frac{(1 + x) (1 - x)}{x} \cdot \frac{1}{y})$

चरण 2.5

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.5.1

$\frac{(1 + x) (1 - x)}{x}$ को $\frac{1}{y}$ से गुणा करें.

$y \frac{d y}{d x} = y \frac{(1 + x) (1 - x)}{x y}$

चरण 2.5.2

$y$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.5.2.1

$x y$ में से $y$ का गुणनखंड करें.

$y \frac{d y}{d x} = y \frac{(1 + x) (1 - x)}{y x}$

चरण 2.5.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$y \frac{d y}{d x} = y \frac{(1 + x) (1 - x)}{y x}$

चरण 2.5.2.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$y \frac{d y}{d x} = \frac{(1 + x) (1 - x)}{x}$

चरण 2.6

समीकरण को फिर से लिखें.

$y d y = \frac{(1 + x) (1 - x)}{x} d x$

चरण 3

दोनों पक्षों को समाकलित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

प्रत्येक पक्ष का एक समाकलन सेट करें.

$\int y d y = \int \frac{(1 + x) (1 - x)}{x} d x$

चरण 3.2

घात नियम के अनुसार, $y$ के संबंध में $y$ का समाकलन $\frac{1}{2} y^{2}$ है.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{(1 + x) (1 - x)}{x} d x$

चरण 3.3

दाएं पक्ष का समाकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.3.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{1 (1 - x) + x (1 - x)}{x} d x$

चरण 3.3.2

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{1 \cdot 1 + 1 (- x) + x (1 - x)}{x} d x$

चरण 3.3.3

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{1 \cdot 1 + 1 (- x) + x \cdot 1 + x (- x)}{x} d x$

चरण 3.3.4

व्यंजक को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.3.4.1

$x$ और $1$ को पुन: क्रमित करें.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{1 \cdot 1 + 1 \cdot - 1 x + 1 \cdot x + x (- x)}{x} d x$

चरण 3.3.4.2

$x$ और $- 1$ को पुन: क्रमित करें.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{1 \cdot 1 + 1 \cdot - 1 x + 1 \cdot x - 1 \cdot x \cdot x}{x} d x$

चरण 3.3.4.3

$1$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{1 + 1 \cdot - 1 x + 1 x - 1 x \cdot x}{x} d x$

चरण 3.3.4.4

$- 1$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{1 - x + 1 x - 1 x \cdot x}{x} d x$

चरण 3.3.4.5

$x$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{1 - x + x - 1 x \cdot x}{x} d x$

चरण 3.3.5

गुणनखंड ऋणात्मक प्राप्त हुआ.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{1 - x + x - (x \cdot x)}{x} d x$

चरण 3.3.6

$x$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{1 - x + x - (x^{1} x)}{x} d x$

चरण 3.3.7

$x$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{1 - x + x - (x^{1} x^{1})}{x} d x$

चरण 3.3.8

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{1 - x + x - x^{1 + 1}}{x} d x$

चरण 3.3.9

$1$ और $1$ जोड़ें.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{1 - x + x - x^{2}}{x} d x$

चरण 3.3.10

$- x$ और $x$ जोड़ें.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{1 + 0 - x^{2}}{x} d x$

चरण 3.3.11

व्यंजक को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.3.11.1

$0$ में से $x^{2}$ घटाएं.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{1 - x^{2}}{x} d x$

चरण 3.3.11.2

$1$ और $- x^{2}$ को पुन: क्रमित करें.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{- x^{2} + 1}{x} d x$

चरण 3.3.12

$- x^{2} + 1$ को $x$ से विभाजित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.3.12.1

बहुपदों को विभाजित करने के लिए सेट करें. यदि प्रत्येक घातांक के लिए कोई पद नहीं है, तो $0$ के मान वाला एक शब्द डालें.

$x$

$0$

$x^{2}$

$0 x$

$1$

चरण 3.3.12.2

भाज्य $- x^{2}$ के उच्च क्रम के पद को विभाजक $x$ के उच्च क्रम वाले पद से विभाजित करें.

				-	$x$
	$x$	+	$0$	-	$x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$

चरण 3.3.12.3

भाजक से नए भागफल पद को गुणा करें.

			-	$x$
$x$	+	$0$	-	$x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$
			-	$x^{2}$	+	$0$

चरण 3.3.12.4

व्यंजक को भाज्य से घटाने की आवश्यकता है, इसलिए $- x^{2} + 0$ में सभी चिह्नों को प्रतिस्थापित करें

			-	$x$
$x$	+	$0$	-	$x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$
			+	$x^{2}$	-	$0$

चरण 3.3.12.5

संकेतों को बदलने के बाद, नया लाभांश खोजने के लिए गुणा बहुपद से अंतिम लाभांश जोड़ें.

			-	$x$
$x$	+	$0$	-	$x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$
			+	$x^{2}$	-	$0$
						$0$

चरण 3.3.12.6

मूल भाज्य से अगले पद को वर्तमान लाभांश में नीचे खींचें.

			-	$x$
$x$	+	$0$	-	$x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$
			+	$x^{2}$	-	$0$
						$0$	+	$1$

चरण 3.3.12.7

अंतिम उत्तर भागफल और भाजक पर शेषफल है.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int - x + \frac{1}{x} d x$

चरण 3.3.13

एकल समाकलन को कई समाकलन में विभाजित करें.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int - x d x + \int \frac{1}{x} d x$

चरण 3.3.14

चूँकि $- 1$ बटे $x$ अचर है, $- 1$ को समाकलन से हटा दें.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - \int x d x + \int \frac{1}{x} d x$

चरण 3.3.15

घात नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x$ का समाकलन $\frac{1}{2} x^{2}$ है.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2}) + \int \frac{1}{x} d x$

चरण 3.3.16

$x$ के संबंध में $\frac{1}{x}$ का इंटीग्रल $\ln (| x |)$ है.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2}) + \ln (| x |) + C_{3}$

चरण 3.3.17

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.3.17.1

$\frac{1}{2}$ और $x^{2}$ को मिलाएं.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - (\frac{x^{2}}{2} + C_{2}) + \ln (| x |) + C_{3}$

चरण 3.3.17.2

सरल करें.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - \frac{1}{2} x^{2} + \ln (| x |) + C_{4}$

चरण 3.4

समाकलन के स्थिरांक को दाईं ओर $C$ के रूप में समूहित करें.

$\frac{1}{2} y^{2} = - \frac{1}{2} x^{2} + \ln (| x |) + C$

चरण 4

$y$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1

समीकरण के दोनों पक्षों को $2$ से गुणा करें.

$2 (\frac{1}{2} y^{2}) = 2 (- \frac{1}{2} x^{2} + \ln (| x |) + C)$

चरण 4.2

समीकरण के दोनों पक्षों को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.2.1

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.2.1.1

$2 (\frac{1}{2} y^{2})$ को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.2.1.1.1

$\frac{1}{2}$ और $y^{2}$ को मिलाएं.

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (- \frac{1}{2} x^{2} + \ln (| x |) + C)$

चरण 4.2.1.1.2

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.2.1.1.2.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (- \frac{1}{2} x^{2} + \ln (| x |) + C)$

चरण 4.2.1.1.2.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$y^{2} = 2 (- \frac{1}{2} x^{2} + \ln (| x |) + C)$

चरण 4.2.2

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.2.2.1

$2 (- \frac{1}{2} x^{2} + \ln (| x |) + C)$ को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.2.2.1.1

$x^{2}$ और $\frac{1}{2}$ को मिलाएं.

$y^{2} = 2 (- \frac{x^{2}}{2} + \ln (| x |) + C)$

चरण 4.2.2.1.2

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$y^{2} = 2 (- \frac{x^{2}}{2}) + 2 \ln (| x |) + 2 C$

चरण 4.2.2.1.3

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.2.2.1.3.1

$- \frac{x^{2}}{2}$ में अग्रणी ऋणात्मक को न्यूमेरेटर में ले जाएं.

$y^{2} = 2 \frac{- x^{2}}{2} + 2 \ln (| x |) + 2 C$

चरण 4.2.2.1.3.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$y^{2} = 2 \frac{- x^{2}}{2} + 2 \ln (| x |) + 2 C$

चरण 4.2.2.1.3.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$y^{2} = - x^{2} + 2 \ln (| x |) + 2 C$

चरण 4.3

$2$ को लघुगणक के अंदर ले जाकर $2 \ln (| x |)$ को सरल करें.

$y^{2} = - x^{2} + \ln ({| x |}^{2}) + 2 C$

चरण 4.4

बाईं ओर के घातांक को समाप्त करने के लिए समीकरण के दोनों पक्षों का निर्दिष्ट मूल लें I

$y = \pm \sqrt{- x^{2} + \ln ({| x |}^{2}) + 2 C}$

चरण 4.5

${| x |}^{2}$ में निरपेक्ष मान हटा दें क्योंकि सम घात वाले घातांक हमेशा धनात्मक होते हैं.

$y = \pm \sqrt{- x^{2} + \ln (x^{2}) + 2 C}$

चरण 4.6

पूर्ण हल के धनात्मक और ऋणात्मक दोनों भागों का परिणाम है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.6.1

सबसे पहले, पहला समाधान पता करने के लिए $\pm$ के धनात्मक मान का उपयोग करें.

$y = \sqrt{- x^{2} + \ln (x^{2}) + 2 C}$

चरण 4.6.2

इसके बाद, दूसरा हल ज्ञात करने के लिए $\pm$ के ऋणात्मक मान का उपयोग करें.

$y = - \sqrt{- x^{2} + \ln (x^{2}) + 2 C}$

चरण 4.6.3

पूर्ण हल के धनात्मक और ऋणात्मक दोनों भागों का परिणाम है.

$y = \sqrt{- x^{2} + \ln (x^{2}) + 2 C}$

$y = - \sqrt{- x^{2} + \ln (x^{2}) + 2 C}$

$y = \sqrt{- x^{2} + \ln (x^{2}) + 2 C}$

$y = - \sqrt{- x^{2} + \ln (x^{2}) + 2 C}$

$y = \sqrt{- x^{2} + \ln (x^{2}) + 2 C}$

$y = - \sqrt{- x^{2} + \ln (x^{2}) + 2 C}$

चरण 5

समाकलन की संतति को सरल करें.

$y = \sqrt{- x^{2} + \ln (x^{2}) + C}$

$y = - \sqrt{- x^{2} + \ln (x^{2}) + C}$