कैलकुलस उदाहरण

$\frac{d y}{d x} = y \sin^{3} (x)$

चरण 1

चरों को अलग करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

दोनों पक्षों को $\frac{1}{y}$ से गुणा करें.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (y \sin^{3} (x))$

चरण 1.2

$y$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.1

$y \sin^{3} (x)$ में से $y$ का गुणनखंड करें.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (y (\sin^{3} (x)))$

चरण 1.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (y \sin^{3} (x))$

चरण 1.2.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \sin^{3} (x)$

चरण 1.3

समीकरण को फिर से लिखें.

$\frac{1}{y} d y = \sin^{3} (x) d x$

चरण 2

दोनों पक्षों को समाकलित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

प्रत्येक पक्ष का एक समाकलन सेट करें.

$\int \frac{1}{y} d y = \int \sin^{3} (x) d x$

चरण 2.2

$y$ के संबंध में $\frac{1}{y}$ का इंटीग्रल $\ln (| y |)$ है.

$\ln (| y |) + C_{1} = \int \sin^{3} (x) d x$

चरण 2.3

दाएं पक्ष का समाकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.1

$\sin^{2} (x)$ का गुणनखंड करें.

$\ln (| y |) + C_{1} = \int \sin^{2} (x) \sin (x) d x$

चरण 2.3.2

पाइथागोरस पहचान का उपयोग करते हुए, $\sin^{2} (x)$ को $1 - \cos^{2} (x)$ के रूप में फिर से लिखें.

$\ln (| y |) + C_{1} = \int (1 - \cos^{2} (x)) \sin (x) d x$

चरण 2.3.3

मान लीजिए $u = \cos (x)$ .फिर $d u = - \sin (x) d x$ , तो $- \frac{1}{\sin (x)} d u = d x$ . $u$ और $d$ $u$ का उपयोग करके फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.3.1

मान लें $u = \cos (x)$ . $\frac{d u}{d x}$ ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.3.1.1

$\cos (x)$ को अवकलित करें.

$\frac{d}{d x} [\cos (x)]$

चरण 2.3.3.1.2

$x$ के संबंध में $\cos (x)$ का व्युत्पन्न $- \sin (x)$ है.

$- \sin (x)$

चरण 2.3.3.2

$u$ और $d u$ का उपयोग करके समस्या को फिर से लिखें.

$\ln (| y |) + C_{1} = \int - 1 + u^{2} d u$

चरण 2.3.4

एकल समाकलन को कई समाकलन में विभाजित करें.

$\ln (| y |) + C_{1} = \int - 1 d u + \int u^{2} d u$

चरण 2.3.5

स्थिरांक नियम लागू करें.

$\ln (| y |) + C_{1} = - u + C_{2} + \int u^{2} d u$

चरण 2.3.6

घात नियम के अनुसार, $u$ के संबंध में $u^{2}$ का समाकलन $\frac{1}{3} u^{3}$ है.

$\ln (| y |) + C_{1} = - u + C_{2} + \frac{1}{3} u^{3} + C_{3}$

चरण 2.3.7

सरल करें.

$\ln (| y |) + C_{1} = - u + \frac{1}{3} u^{3} + C_{4}$

चरण 2.3.8

$u$ की सभी घटनाओं को $\cos (x)$ से बदलें.

$\ln (| y |) + C_{1} = - \cos (x) + \frac{1}{3} \cos^{3} (x) + C_{4}$

चरण 2.3.9

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{1}{3} \cos^{3} (x) - \cos (x) + C_{4}$

चरण 2.4

समाकलन के स्थिरांक को दाईं ओर $C$ के रूप में समूहित करें.

$\ln (| y |) = \frac{1}{3} \cos^{3} (x) - \cos (x) + C$

चरण 3

$y$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

$y$ के लिए हल करने के लिए, लघुगणक के गुणों का उपयोग करके समीकरण को फिर से लिखें.

$e^{\ln (| y |)} = e^{\frac{1}{3} \cos^{3} (x) - \cos (x) + C}$

चरण 3.2

लघुगणक की परिभाषा का उपयोग करते हुए $\ln (| y |) = \frac{1}{3} \cos^{3} (x) - \cos (x) + C$ को घातीय रूप में फिर से लिखें. अगर $x$ और $b$ धनात्मक वास्तविक संख्याएं हैं और $b \neq 1$ , तो $\log_{b} (x) = y$ $b^{y} = x$ के बराबर है.

$e^{\frac{1}{3} \cos^{3} (x) - \cos (x) + C} = | y |$

चरण 3.3

$y$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.3.1

समीकरण को $| y | = e^{\frac{1}{3} \cdot \cos^{3} (x) - \cos (x) + C}$ के रूप में फिर से लिखें.

$| y | = e^{\frac{1}{3} \cdot \cos^{3} (x) - \cos (x) + C}$

चरण 3.3.2

$\frac{1}{3}$ और $\cos^{3} (x)$ को मिलाएं.

$| y | = e^{\frac{\cos^{3} (x)}{3} - \cos (x) + C}$

चरण 3.3.3

निरपेक्ष मान पद को हटा दें. यह समीकरण के दाएं पक्ष की ओर एक $\pm$ बनाता है जो $| x | = \pm x$ है.

$y = \pm e^{\frac{\cos^{3} (x)}{3} - \cos (x) + C}$

चरण 4

स्थिर पदों को एक साथ समूहित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1

$e^{\frac{\cos^{3} (x)}{3} - \cos (x) + C}$ को $e^{\frac{\cos^{3} (x)}{3} - \cos (x)} e^{C}$ के रूप में फिर से लिखें.

$y = \pm e^{\frac{\cos^{3} (x)}{3} - \cos (x)} e^{C}$

चरण 4.2

$e^{\frac{\cos^{3} (x)}{3} - \cos (x)}$ और $e^{C}$ को पुन: क्रमित करें.

$y = \pm e^{C} e^{\frac{\cos^{3} (x)}{3} - \cos (x)}$

चरण 4.3

प्लस या माइनस के साथ स्थिरांक मिलाएं.

$y = C e^{\frac{\cos^{3} (x)}{3} - \cos (x)}$