कैलकुलस उदाहरण

$d x - (1 + 2 x \tan (y)) d y = 0$

चरण 1

$\frac{\partial M}{\partial y}$ पता कीजिए जहां $M (x, y) = 1$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

$M$ को $y$ से अलग करें.

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [1]$

चरण 1.2

चूंकि $y$ के संबंध में $1$ स्थिर है, $y$ के संबंध में $1$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0$

चरण 2

$\frac{\partial N}{\partial x}$ पता कीजिए जहां $N (x, y) = - (1 + 2 x \tan (y))$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

$N$ को $x$ से अलग करें.

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [- (1 + 2 x \tan (y))]$

चरण 2.2

चूंकि $- 1$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $- (1 + 2 x \tan (y))$ का व्युत्पन्न $- \frac{d}{d x} [1 + 2 x \tan (y)]$ है.

$\frac{\partial N}{\partial x} = - \frac{d}{d x} [1 + 2 x \tan (y)]$

चरण 2.3

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $1 + 2 x \tan (y)$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [2 x \tan (y)]$ है.

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [2 x \tan (y)])$

चरण 2.4

चूंकि $x$ के संबंध में $1$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $1$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (0 + \frac{d}{d x} [2 x \tan (y)])$

चरण 2.5

$0$ और $\frac{d}{d x} [2 x \tan (y)]$ जोड़ें.

$\frac{\partial N}{\partial x} = - \frac{d}{d x} [2 x \tan (y)]$

चरण 2.6

चूंकि $2 \tan (y)$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $2 x \tan (y)$ का व्युत्पन्न $2 \tan (y) \frac{d}{d x} [x]$ है.

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (2 \tan (y) \frac{d}{d x} [x])$

चरण 2.7

$2$ को $- 1$ से गुणा करें.

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 2 (\tan (y) \frac{d}{d x} [x])$

चरण 2.8

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 2 \tan (y) \cdot 1$

चरण 2.9

$- 2$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 2 \tan (y)$

चरण 3

उस $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ को जांचें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

$\frac{\partial M}{\partial y}$ के लिए $0$ और $\frac{\partial N}{\partial x}$ के लिए $- 2 \tan (y)$ प्रतिस्थापित करें.

$0 = - 2 \tan (y)$

चरण 3.2

चूँकि बायाँ पक्ष दाएँ पक्ष के बराबर नहीं है, समीकरण एक सर्वसमिका नहीं है.

$0 = - 2 \tan (y)$ कोई सर्वसमिका नहीं है.

चरण 4

इंटिग्रेशन गुणनखंड $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ खोजें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1

$- 2 \tan (y)$ को $\frac{\partial N}{\partial x}$ से प्रतिस्थापित करें.

$\frac{- 2 \tan (y) - \frac{\partial M}{\partial y}}{M}$

चरण 4.2

$0$ को $\frac{\partial M}{\partial y}$ से प्रतिस्थापित करें.

$\frac{- 2 \tan (y) + 0}{M}$

चरण 4.3

$1$ को $M$ से प्रतिस्थापित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.3.1

$1$ को $M$ से प्रतिस्थापित करें.

$\frac{- 2 \tan (y) + 0}{1}$

चरण 4.3.2

$- 2 \tan (y) + 0$ को $1$ से विभाजित करें.

$- 2 \tan (y) + 0$

चरण 4.3.3

$1$ को $M$ से प्रतिस्थापित करें.

$- 2 \tan (y)$

चरण 4.4

इंटिग्रेशन गुणनखंड $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ खोजें.

$μ (x, y) = e^{\int - 2 \tan (y) d y}$

चरण 5

इंटिग्रल $e^{\int - 2 \tan (y) d y}$ को पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1

चूँकि $- 2$ बटे $y$ अचर है, $- 2$ को समाकलन से हटा दें.

$μ (x, y) = e^{- 2 \int \tan (y) d y}$

चरण 5.2

$y$ के संबंध में $\tan (y)$ का इंटीग्रल $\ln (| \sec (y) |)$ है.

$μ (x, y) = e^{- 2 (\ln (| \sec (y) |) + C)}$

चरण 5.3

सरल करें.

$μ (x, y) = e^{- 2 \ln (| \sec (y) |)} + C$

चरण 5.4

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.4.1

$- 2$ को लघुगणक के अंदर ले जाकर $- 2 \ln (| \sec (y) |)$ को सरल करें.

$μ (x, y) = e^{\ln ({| \sec (y) |}^{- 2})} + C$

चरण 5.4.2

चरघातांक और लघुगणक व्युत्क्रम फलन होते हैं

$μ (x, y) = {| \sec (y) |}^{- 2} + C$

चरण 5.4.3

${| \sec (y) |}^{- 2}$ में निरपेक्ष मान हटा दें क्योंकि सम घात वाले घातांक हमेशा धनात्मक होते हैं.

$μ (x, y) = \sec^{- 2} (y) + C$

चरण 5.4.4

ऋणात्मक घातांक नियम $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ का प्रयोग करके व्यंजक को फिर से लिखें.

$μ (x, y) = \frac{1}{\sec^{2} (y)} + C$

चरण 5.4.5

$1$ को $1^{2}$ के रूप में फिर से लिखें.

$μ (x, y) = \frac{1^{2}}{\sec^{2} (y)} + C$

चरण 5.4.6

$\frac{1^{2}}{\sec^{2} (y)}$ को ${(\frac{1}{\sec (y)})}^{2}$ के रूप में फिर से लिखें.

$μ (x, y) = {(\frac{1}{\sec (y)})}^{2} + C$

चरण 5.4.7

ज्या और कोज्या के संदर्भ में $\sec (y)$ को फिर से लिखें.

$μ (x, y) = {(\frac{1}{\frac{1}{\cos (y)}})}^{2} + C$

चरण 5.4.8

$\frac{1}{\cos (y)}$ से भाग देने के लिए भिन्न के प्रतिलोम से गुणा करें.

$μ (x, y) = {(1 \cos (y))}^{2} + C$

चरण 5.4.9

$\cos (y)$ को $1$ से गुणा करें.

$μ (x, y) = \cos^{2} (y) + C$

चरण 6

$1$ को $\cos^{2} (y)$ से गुणा करें.

$d x - (1 + 2 x \tan (y)) d y = 0$

चरण 7

$f (x, y)$ को $M (x, y)$ के इंटीग्रल के बराबर सेट करें.

$f (x, y) = \int \cos^{2} (y) d x$

चरण 8

$f (x, y)$ को खोजने के लिए $M (x, y) = \cos^{2} (y)$ को समाकलित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.1

स्थिरांक नियम लागू करें.

$f (x, y) = \cos^{2} (y) x + C$

चरण 9

चूँकि $g (y)$ के इंटिग्रल में इंटिग्रेशन स्थिरांक होगा, हम $C$ को $g (y)$ से बदल सकते हैं.

$f (x, y) = \cos^{2} (y) x + g (y)$

चरण 10

$\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ सेट करें.

$\frac{\partial f}{\partial y} = - \cos^{2} (y) - 2 x \sin (y) \cos (y)$

चरण 11

$\frac{\partial f}{\partial y}$ पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 11.1

$f$ को $y$ से अलग करें.

$\frac{d}{d y} [\cos^{2} (y) x + g (y)] = - \cos^{2} (y) - 2 x \sin (y) \cos (y)$

चरण 11.2

योग नियम के अनुसार, $y$ के संबंध में $\cos^{2} (y) x + g (y)$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d y} [\cos^{2} (y) x] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ है.

$\frac{d}{d y} [\cos^{2} (y) x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \cos^{2} (y) - 2 x \sin (y) \cos (y)$

चरण 11.3

$\frac{d}{d y} [\cos^{2} (y) x]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 11.3.1

चूंकि $x$ , $y$ के संबंध में स्थिर है, $y$ के संबंध में $\cos^{2} (y) x$ का व्युत्पन्न $x \frac{d}{d y} [\cos^{2} (y)]$ है.

$x \frac{d}{d y} [\cos^{2} (y)] + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \cos^{2} (y) - 2 x \sin (y) \cos (y)$

चरण 11.3.2

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ $f' (g (y)) g' (y)$ है, जहाँ $f (y) = y^{2}$ और $g (y) = \cos (y)$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 11.3.2.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u$ को $\cos (y)$ के रूप में सेट करें.

$x (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d y} [\cos (y)]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \cos^{2} (y) - 2 x \sin (y) \cos (y)$

चरण 11.3.2.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ $n u^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 2$ है.

$x (2 u \frac{d}{d y} [\cos (y)]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \cos^{2} (y) - 2 x \sin (y) \cos (y)$

चरण 11.3.2.3

$u$ की सभी घटनाओं को $\cos (y)$ से बदलें.

$x (2 \cos (y) \frac{d}{d y} [\cos (y)]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \cos^{2} (y) - 2 x \sin (y) \cos (y)$

चरण 11.3.3

$y$ के संबंध में $\cos (y)$ का व्युत्पन्न $- \sin (y)$ है.

$x (2 \cos (y) (- \sin (y))) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \cos^{2} (y) - 2 x \sin (y) \cos (y)$

चरण 11.3.4

$- 1$ को $2$ से गुणा करें.

$x (- 2 \cos (y) \sin (y)) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \cos^{2} (y) - 2 x \sin (y) \cos (y)$

चरण 11.4

फलन नियम का उपयोग करके अंतर करें जो बताता है कि $g (y)$ का व्युत्पन्न $\frac{d g}{d y}$ है.

$x (- 2 \cos (y) \sin (y)) + \frac{d g}{d y} = - \cos^{2} (y) - 2 x \sin (y) \cos (y)$

चरण 11.5

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$\frac{d g}{d y} - 2 x \cos (y) \sin (y) = - \cos^{2} (y) - 2 x \sin (y) \cos (y)$

चरण 12

$\frac{d g}{d y}$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 12.1

$\frac{d g}{d y}$ वाले सभी पदों को समीकरण के दाईं ओर ले जाएं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 12.1.1

समीकरण के दोनों पक्षों में $2 x \cos (y) \sin (y)$ जोड़ें.

$\frac{d g}{d y} = - \cos^{2} (y) - 2 x \sin (y) \cos (y) + 2 x \cos (y) \sin (y)$

चरण 12.1.2

$- \cos^{2} (y) - 2 x \sin (y) \cos (y) + 2 x \cos (y) \sin (y)$ में विपरीत पदों को मिलाएं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 12.1.2.1

गुणनखंडों को $- 2 x \sin (y) \cos (y)$ और $2 x \cos (y) \sin (y)$ पदों में पुन: व्यवस्थित करें.

$\frac{d g}{d y} = - \cos^{2} (y) - 2 x \cos (y) \sin (y) + 2 x \cos (y) \sin (y)$

चरण 12.1.2.2

$- 2 x \cos (y) \sin (y)$ और $2 x \cos (y) \sin (y)$ जोड़ें.

$\frac{d g}{d y} = - \cos^{2} (y) + 0$

चरण 12.1.2.3

$- \cos^{2} (y)$ और $0$ जोड़ें.

$\frac{d g}{d y} = - \cos^{2} (y)$

चरण 13

$g (y)$ को खोजने के लिए $- \cos^{2} (y)$ का विरोधी व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 13.1

$\frac{d g}{d y} = - \cos^{2} (y)$ के दोनों पक्षों को समाकलित करें.

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int - \cos^{2} (y) d y$

चरण 13.2

$\int \frac{d g}{d y} d y$ का मान ज्ञात करें.

$g (y) = \int - \cos^{2} (y) d y$

चरण 13.3

चूँकि $- 1$ बटे $y$ अचर है, $- 1$ को समाकलन से हटा दें.

$g (y) = - \int \cos^{2} (y) d y$

चरण 13.4

$\cos^{2} (y)$ को $\frac{1 + \cos (2 y)}{2}$ के रूप में फिर से लिखने के लिए अर्ध-कोण सूत्र का प्रयोग करें.

$g (y) = - \int \frac{1 + \cos (2 y)}{2} d y$

चरण 13.5

चूँकि $\frac{1}{2}$ बटे $y$ अचर है, $\frac{1}{2}$ को समाकलन से हटा दें.

$g (y) = - (\frac{1}{2} \int 1 + \cos (2 y) d y)$

चरण 13.6

कोष्ठक हटा दें.

$g (y) = - \frac{1}{2} \int 1 + \cos (2 y) d y$

चरण 13.7

एकल समाकलन को कई समाकलन में विभाजित करें.

$g (y) = - \frac{1}{2} (\int d y + \int \cos (2 y) d y)$

चरण 13.8

स्थिरांक नियम लागू करें.

$g (y) = - \frac{1}{2} (y + C + \int \cos (2 y) d y)$

चरण 13.9

मान लीजिए $u = 2 y$ .फिर $d u = 2 d y$ , तो $\frac{1}{2} d u = d y$ . $u$ और $d$ $u$ का उपयोग करके फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 13.9.1

मान लें $u = 2 y$ . $\frac{d u}{d y}$ ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 13.9.1.1

$2 y$ को अवकलित करें.

$\frac{d}{d y} [2 y]$

चरण 13.9.1.2

चूंकि $2$ , $y$ के संबंध में स्थिर है, $y$ के संबंध में $2 y$ का व्युत्पन्न $2 \frac{d}{d y} [y]$ है.

$2 \frac{d}{d y} [y]$

चरण 13.9.1.3

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ $n y^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$2 \cdot 1$

चरण 13.9.1.4

$2$ को $1$ से गुणा करें.

$2$

चरण 13.9.2

$u$ और $d u$ का उपयोग करके समस्या को फिर से लिखें.

$g (y) = - \frac{1}{2} (y + C + \int \cos (u) \frac{1}{2} d u)$

चरण 13.10

$\cos (u)$ और $\frac{1}{2}$ को मिलाएं.

$g (y) = - \frac{1}{2} (y + C + \int \frac{\cos (u)}{2} d u)$

चरण 13.11

चूँकि $\frac{1}{2}$ बटे $u$ अचर है, $\frac{1}{2}$ को समाकलन से हटा दें.

$g (y) = - \frac{1}{2} (y + C + \frac{1}{2} \int \cos (u) d u)$

चरण 13.12

$u$ के संबंध में $\cos (u)$ का इंटीग्रल $\sin (u)$ है.

$g (y) = - \frac{1}{2} (y + C + \frac{1}{2} (\sin (u) + C))$

चरण 13.13

सरल करें.

$g (y) = - \frac{1}{2} (y + \frac{1}{2} \sin (u)) + C$

चरण 13.14

$u$ की सभी घटनाओं को $2 y$ से बदलें.

$g (y) = - \frac{1}{2} (y + \frac{1}{2} \sin (2 y)) + C$

चरण 13.15

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 13.15.1

$\frac{1}{2}$ और $\sin (2 y)$ को मिलाएं.

$g (y) = - \frac{1}{2} (y + \frac{\sin (2 y)}{2}) + C$

चरण 13.15.2

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$g (y) = - \frac{1}{2} y - \frac{1}{2} \cdot \frac{\sin (2 y)}{2} + C$

चरण 13.15.3

$y$ और $\frac{1}{2}$ को मिलाएं.

$g (y) = - \frac{y}{2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{\sin (2 y)}{2} + C$

चरण 13.15.4

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{\sin (2 y)}{2}$ गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 13.15.4.1

$\frac{\sin (2 y)}{2}$ को $\frac{1}{2}$ से गुणा करें.

$g (y) = - \frac{y}{2} - \frac{\sin (2 y)}{2 \cdot 2} + C$

चरण 13.15.4.2

$2$ को $2$ से गुणा करें.

$g (y) = - \frac{y}{2} - \frac{\sin (2 y)}{4} + C$

चरण 13.16

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 13.16.1

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$g (y) = - (\frac{1}{2} y) - (\frac{1}{4} \sin (2 y)) + C$

चरण 13.16.2

कोष्ठक हटा दें.

$g (y) = - \frac{1}{2} y - (\frac{1}{4} \sin (2 y)) + C$

चरण 13.16.3

कोष्ठक हटा दें.

$g (y) = - \frac{1}{2} y - \frac{1}{4} \sin (2 y) + C$

चरण 14

$f (x, y) = \cos^{2} (y) x + g (y)$ में $g (y)$ को प्रतिस्थापित करें.

$f (x, y) = \cos^{2} (y) x - \frac{1}{2} y - \frac{1}{4} \sin (2 y) + C$

चरण 15

$f (x, y) = \cos^{2} (y) x - \frac{1}{2} y - \frac{1}{4} \sin (2 y) + C$ को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 15.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 15.1.1

$y$ और $\frac{1}{2}$ को मिलाएं.

$f (x, y) = \cos^{2} (y) x - \frac{y}{2} - \frac{1}{4} \sin (2 y) + C$

चरण 15.1.2

$\sin (2 y)$ और $\frac{1}{4}$ को मिलाएं.

$f (x, y) = \cos^{2} (y) x - \frac{y}{2} - \frac{\sin (2 y)}{4} + C$

चरण 15.2

गुणनखंडों को $f (x, y) = \cos^{2} (y) x - \frac{y}{2} - \frac{\sin (2 y)}{4} + C$ में पुन: क्रमित करें.

$f (x, y) = x \cos^{2} (y) - \frac{y}{2} - \frac{\sin (2 y)}{4} + C$