कैलकुलस उदाहरण

$x y^{3} d x + (x^{2} y^{2} + 1) d y = 0$

चरण 1

$\frac{\partial M}{\partial y}$ पता कीजिए जहां $M (x, y) = x y^{3}$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

$M$ को $y$ से अलग करें.

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [x y^{3}]$

चरण 1.2

चूंकि $x$ , $y$ के संबंध में स्थिर है, $y$ के संबंध में $x y^{3}$ का व्युत्पन्न $x \frac{d}{d y} [y^{3}]$ है.

$\frac{\partial M}{\partial y} = x \frac{d}{d y} [y^{3}]$

चरण 1.3

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ $n y^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 3$ है.

$\frac{\partial M}{\partial y} = x (3 y^{2})$

चरण 1.4

पुन: व्यवस्थित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.4.1

$3$ को $x$ के बाईं ओर ले जाएं.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 3 \cdot x y^{2}$

चरण 1.4.2

$3 x y^{2}$ के गुणनखंडों को फिर से क्रमित करें.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 3 y^{2} x$

चरण 2

$\frac{\partial N}{\partial x}$ पता कीजिए जहां $N (x, y) = x^{2} y^{2} + 1$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

$N$ को $x$ से अलग करें.

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x^{2} y^{2} + 1]$

चरण 2.2

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x^{2} y^{2} + 1$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [x^{2} y^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ है.

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x^{2} y^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

चरण 2.3

$\frac{d}{d x} [x^{2} y^{2}]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.1

चूंकि $y^{2}$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $x^{2} y^{2}$ का व्युत्पन्न $y^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ है.

$\frac{\partial N}{\partial x} = y^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

चरण 2.3.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 2$ है.

$\frac{\partial N}{\partial x} = y^{2} (2 x) + \frac{d}{d x} [1]$

चरण 2.3.3

$2$ को $y^{2}$ के बाईं ओर ले जाएं.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 y^{2} x + \frac{d}{d x} [1]$

चरण 2.4

स्थिरांक नियम का उपयोग करके अंतर करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.4.1

चूंकि $x$ के संबंध में $1$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $1$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 y^{2} x + 0$

चरण 2.4.2

$2 y^{2} x$ और $0$ जोड़ें.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 y^{2} x$

चरण 3

उस $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ को जांचें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

$\frac{\partial M}{\partial y}$ के लिए $3 y^{2} x$ और $\frac{\partial N}{\partial x}$ के लिए $2 y^{2} x$ प्रतिस्थापित करें.

$3 y^{2} x = 2 y^{2} x$

चरण 3.2

चूँकि बायाँ पक्ष दाएँ पक्ष के बराबर नहीं है, समीकरण एक सर्वसमिका नहीं है.

$3 y^{2} x = 2 y^{2} x$ कोई सर्वसमिका नहीं है.

चरण 4

इंटिग्रेशन गुणनखंड $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ खोजें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1

$2 y^{2} x$ को $\frac{\partial N}{\partial x}$ से प्रतिस्थापित करें.

$\frac{2 y^{2} x - \frac{\partial M}{\partial y}}{M}$

चरण 4.2

$3 y^{2} x$ को $\frac{\partial M}{\partial y}$ से प्रतिस्थापित करें.

$\frac{2 y^{2} x - (3 y^{2} x)}{M}$

चरण 4.3

$x y^{3}$ को $M$ से प्रतिस्थापित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.3.1

$x y^{3}$ को $M$ से प्रतिस्थापित करें.

$\frac{2 y^{2} x - (3 y^{2} x)}{x y^{3}}$

चरण 4.3.2

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.3.2.1

$2 y^{2} x - 1 \cdot 3 y^{2} x$ में से $y^{2} x$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.3.2.1.1

$2 y^{2} x$ में से $y^{2} x$ का गुणनखंड करें.

$\frac{y^{2} x (2) - 1 \cdot 3 y^{2} x}{x y^{3}}$

चरण 4.3.2.1.2

$- 1 \cdot 3 y^{2} x$ में से $y^{2} x$ का गुणनखंड करें.

$\frac{y^{2} x (2) + y^{2} x (- 1 \cdot 3)}{x y^{3}}$

चरण 4.3.2.1.3

$y^{2} x (2) + y^{2} x (- 1 \cdot 3)$ में से $y^{2} x$ का गुणनखंड करें.

$\frac{y^{2} x (2 - 1 \cdot 3)}{x y^{3}}$

चरण 4.3.2.2

$- 1$ को $3$ से गुणा करें.

$\frac{y^{2} x (2 - 3)}{x y^{3}}$

चरण 4.3.2.3

$2$ में से $3$ घटाएं.

$\frac{y^{2} x \cdot - 1}{x y^{3}}$

चरण 4.3.3

$y^{2}$ और $y^{3}$ के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.3.3.1

$y^{2} x \cdot - 1$ में से $y^{2}$ का गुणनखंड करें.

$\frac{y^{2} (x \cdot - 1)}{x y^{3}}$

चरण 4.3.3.2

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.3.3.2.1

$x y^{3}$ में से $y^{2}$ का गुणनखंड करें.

$\frac{y^{2} (x \cdot - 1)}{y^{2} (x y)}$

चरण 4.3.3.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{y^{2} (x \cdot - 1)}{y^{2} (x y)}$

चरण 4.3.3.2.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{x \cdot - 1}{x y}$

चरण 4.3.4

$x$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.3.4.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{x \cdot - 1}{x y}$

चरण 4.3.4.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{- 1}{y}$

चरण 4.3.5

$x y^{3}$ को $M$ से प्रतिस्थापित करें.

$- \frac{1}{y}$

चरण 4.4

इंटिग्रेशन गुणनखंड $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ खोजें.

$μ (x, y) = e^{\int - \frac{1}{y} d y}$

चरण 5

इंटिग्रल $e^{\int - \frac{1}{y} d y}$ को पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1

चूँकि $- 1$ बटे $y$ अचर है, $- 1$ को समाकलन से हटा दें.

$μ (x, y) = e^{- \int \frac{1}{y} d y}$

चरण 5.2

$y$ के संबंध में $\frac{1}{y}$ का इंटीग्रल $\ln (| y |)$ है.

$μ (x, y) = e^{- (\ln (| y |) + C)}$

चरण 5.3

सरल करें.

$μ (x, y) = e^{- \ln (| y |)} + C$

चरण 5.4

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.4.1

$- 1$ को लघुगणक के अंदर ले जाकर $- \ln (| y |)$ को सरल करें.

$μ (x, y) = e^{\ln ({| y |}^{- 1})} + C$

चरण 5.4.2

चरघातांक और लघुगणक व्युत्क्रम फलन होते हैं

$μ (x, y) = {| y |}^{- 1} + C$

चरण 5.4.3

ऋणात्मक घातांक नियम $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ का प्रयोग करके व्यंजक को फिर से लिखें.

$μ (x, y) = \frac{1}{| y |} + C$

चरण 6

$x y^{3} d x + (x^{2} y^{2} + 1) d y = 0$ के दोनों पक्षों को इंटिग्रेशन गुणनखंड $\frac{1}{y}$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1

$x y^{3}$ को $\frac{1}{y}$ से गुणा करें.

$x y^{3} \frac{1}{y} d x + (x^{2} y^{2} + 1) d y = 0$

चरण 6.2

$y$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.1

$x y^{3}$ में से $y$ का गुणनखंड करें.

$y (x y^{2}) \frac{1}{y} d x + (x^{2} y^{2} + 1) d y = 0$

चरण 6.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$y (x y^{2}) \frac{1}{y} d x + (x^{2} y^{2} + 1) d y = 0$

चरण 6.2.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$x y^{2} d x + (x^{2} y^{2} + 1) d y = 0$

चरण 6.3

$x^{2} y^{2} + 1$ को $\frac{1}{y}$ से गुणा करें.

$x y^{2} d x + (x^{2} y^{2} + 1) \frac{1}{y} d y = 0$

चरण 6.4

$x^{2} y^{2} + 1$ को $\frac{1}{y}$ से गुणा करें.

$x y^{2} d x + \frac{x^{2} y^{2} + 1}{y} d y = 0$

चरण 7

$f (x, y)$ को $M (x, y)$ के इंटीग्रल के बराबर सेट करें.

$f (x, y) = \int x y^{2} d x$

चरण 8

$f (x, y)$ को खोजने के लिए $M (x, y) = x y^{2}$ को समाकलित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.1

चूँकि $y^{2}$ बटे $x$ अचर है, $y^{2}$ को समाकलन से हटा दें.

$f (x, y) = y^{2} \int x d x$

चरण 8.2

घात नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x$ का समाकलन $\frac{1}{2} x^{2}$ है.

$f (x, y) = y^{2} (\frac{1}{2} x^{2} + C)$

चरण 8.3

उत्तर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.3.1

$y^{2} (\frac{1}{2} x^{2} + C)$ को $y^{2} \frac{1}{2} x^{2} + C$ के रूप में फिर से लिखें.

$f (x, y) = y^{2} \frac{1}{2} x^{2} + C$

चरण 8.3.2

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.3.2.1

$y^{2}$ और $\frac{1}{2}$ को मिलाएं.

$f (x, y) = \frac{y^{2}}{2} x^{2} + C$

चरण 8.3.2.2

$\frac{y^{2}}{2}$ और $x^{2}$ को मिलाएं.

$f (x, y) = \frac{y^{2} x^{2}}{2} + C$

चरण 8.3.3

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$f (x, y) = \frac{1}{2} y^{2} x^{2} + C$

चरण 9

चूँकि $g (y)$ के इंटिग्रल में इंटिग्रेशन स्थिरांक होगा, हम $C$ को $g (y)$ से बदल सकते हैं.

$f (x, y) = \frac{1}{2} y^{2} x^{2} + g (y)$

चरण 10

$\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ सेट करें.

$\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{x^{2} y^{2} + 1}{y}$

चरण 11

$\frac{\partial f}{\partial y}$ पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 11.1

$f$ को $y$ से अलग करें.

$\frac{d}{d y} [\frac{1}{2} y^{2} x^{2} + g (y)] = \frac{x^{2} y^{2} + 1}{y}$

चरण 11.2

योग नियम के अनुसार, $y$ के संबंध में $\frac{1}{2} y^{2} x^{2} + g (y)$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d y} [\frac{1}{2} y^{2} x^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ है.

$\frac{d}{d y} [\frac{1}{2} y^{2} x^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x^{2} y^{2} + 1}{y}$

चरण 11.3

$\frac{d}{d y} [\frac{1}{2} y^{2} x^{2}]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 11.3.1

$\frac{1}{2}$ और $y^{2}$ को मिलाएं.

$\frac{d}{d y} [\frac{y^{2}}{2} x^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x^{2} y^{2} + 1}{y}$

चरण 11.3.2

$\frac{y^{2}}{2}$ और $x^{2}$ को मिलाएं.

$\frac{d}{d y} [\frac{y^{2} x^{2}}{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x^{2} y^{2} + 1}{y}$

चरण 11.3.3

चूंकि $\frac{x^{2}}{2}$ , $y$ के संबंध में स्थिर है, $y$ के संबंध में $\frac{y^{2} x^{2}}{2}$ का व्युत्पन्न $\frac{x^{2}}{2} \frac{d}{d y} [y^{2}]$ है.

$\frac{x^{2}}{2} \frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x^{2} y^{2} + 1}{y}$

चरण 11.3.4

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ $n y^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 2$ है.

$\frac{x^{2}}{2} (2 y) + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x^{2} y^{2} + 1}{y}$

चरण 11.3.5

$2$ और $\frac{x^{2}}{2}$ को मिलाएं.

$\frac{2 x^{2}}{2} y + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x^{2} y^{2} + 1}{y}$

चरण 11.3.6

$\frac{2 x^{2}}{2}$ और $y$ को मिलाएं.

$\frac{2 x^{2} y}{2} + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x^{2} y^{2} + 1}{y}$

चरण 11.3.7

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 11.3.7.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{2 x^{2} y}{2} + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x^{2} y^{2} + 1}{y}$

चरण 11.3.7.2

$x^{2} y$ को $1$ से विभाजित करें.

$x^{2} y + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x^{2} y^{2} + 1}{y}$

चरण 11.4

फलन नियम का उपयोग करके अंतर करें जो बताता है कि $g (y)$ का व्युत्पन्न $\frac{d g}{d y}$ है.

$x^{2} y + \frac{d g}{d y} = \frac{x^{2} y^{2} + 1}{y}$

चरण 11.5

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$\frac{d g}{d y} + x^{2} y = \frac{x^{2} y^{2} + 1}{y}$

चरण 12

$\frac{d g}{d y}$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 12.1

$\frac{d g}{d y}$ वाले सभी पदों को समीकरण के दाईं ओर ले जाएं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 12.1.1

समीकरण के दोनों पक्षों से $x^{2} y$ घटाएं.

$\frac{d g}{d y} = \frac{x^{2} y^{2} + 1}{y} - x^{2} y$

चरण 12.1.2

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 12.1.2.1

भिन्न $\frac{x^{2} y^{2} + 1}{y}$ को दो भिन्नों में विभाजित करें.

$\frac{d g}{d y} = \frac{x^{2} y^{2}}{y} + \frac{1}{y} - x^{2} y$

चरण 12.1.2.2

$y^{2}$ और $y$ के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 12.1.2.2.1

$x^{2} y^{2}$ में से $y$ का गुणनखंड करें.

$\frac{d g}{d y} = \frac{y (x^{2} y)}{y} + \frac{1}{y} - x^{2} y$

चरण 12.1.2.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 12.1.2.2.2.1

$y$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$\frac{d g}{d y} = \frac{y (x^{2} y)}{y^{1}} + \frac{1}{y} - x^{2} y$

चरण 12.1.2.2.2.2

$y^{1}$ में से $y$ का गुणनखंड करें.

$\frac{d g}{d y} = \frac{y (x^{2} y)}{y \cdot 1} + \frac{1}{y} - x^{2} y$

चरण 12.1.2.2.2.3

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{d g}{d y} = \frac{y (x^{2} y)}{y \cdot 1} + \frac{1}{y} - x^{2} y$

चरण 12.1.2.2.2.4

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{d g}{d y} = \frac{x^{2} y}{1} + \frac{1}{y} - x^{2} y$

चरण 12.1.2.2.2.5

$x^{2} y$ को $1$ से विभाजित करें.

$\frac{d g}{d y} = x^{2} y + \frac{1}{y} - x^{2} y$

चरण 12.1.3

$x^{2} y + \frac{1}{y} - x^{2} y$ में विपरीत पदों को मिलाएं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 12.1.3.1

$x^{2} y$ में से $x^{2} y$ घटाएं.

$\frac{d g}{d y} = \frac{1}{y} + 0$

चरण 12.1.3.2

$\frac{1}{y}$ और $0$ जोड़ें.

$\frac{d g}{d y} = \frac{1}{y}$

चरण 13

$g (y)$ को खोजने के लिए $\frac{1}{y}$ का विरोधी व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 13.1

$\frac{d g}{d y} = \frac{1}{y}$ के दोनों पक्षों को समाकलित करें.

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int \frac{1}{y} d y$

चरण 13.2

$\int \frac{d g}{d y} d y$ का मान ज्ञात करें.

$g (y) = \int \frac{1}{y} d y$

चरण 13.3

$y$ के संबंध में $\frac{1}{y}$ का इंटीग्रल $\ln (| y |)$ है.

$g (y) = \ln (| y |) + C$

चरण 14

$f (x, y) = \frac{1}{2} y^{2} x^{2} + g (y)$ में $g (y)$ को प्रतिस्थापित करें.

$f (x, y) = \frac{1}{2} y^{2} x^{2} + \ln (| y |) + C$

चरण 15

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 15.1

$\frac{1}{2}$ और $y^{2}$ को मिलाएं.

$f (x, y) = \frac{y^{2}}{2} x^{2} + \ln (| y |) + C$

चरण 15.2

$\frac{y^{2}}{2}$ और $x^{2}$ को मिलाएं.

$f (x, y) = \frac{y^{2} x^{2}}{2} + \ln (| y |) + C$