कैलकुलस उदाहरण

$\frac{d y}{d x} - \frac{y}{x} = 2 + \sqrt{x}$

चरण 1

डिफरेन्शल इक्वेश़न को $\frac{d y}{d x} + M (x) y = Q (x)$ के रूप में फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

$- \frac{y}{x}$ में से $y$ का गुणनखंड करें.

$\frac{d y}{d x} + y (- \frac{1}{x}) = 2 + \sqrt{x}$

चरण 1.2

$y$ और $- \frac{1}{x}$ को पुन: क्रमित करें.

$\frac{d y}{d x} - \frac{1}{x} y = 2 + \sqrt{x}$

चरण 2

समाकलित गुणनखंड को $e^{\int P (x) d x}$ सूत्र द्वारा परिभाषित किया गया है, जहां $P (x) = - \frac{1}{x}$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

समाकलन सेट करें.

$e^{\int - \frac{1}{x} d x}$

चरण 2.2

$- \frac{1}{x}$ को समाकलित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.1

चूँकि $- 1$ बटे $x$ अचर है, $- 1$ को समाकलन से हटा दें.

$e^{- \int \frac{1}{x} d x}$

चरण 2.2.2

$x$ के संबंध में $\frac{1}{x}$ का इंटीग्रल $\ln (| x |)$ है.

$e^{- (\ln (| x |) + C)}$

चरण 2.2.3

सरल करें.

$e^{- \ln (| x |) + C}$

चरण 2.3

समाकलन का स्थिरांक निकालें.

$e^{- \ln (x)}$

चरण 2.4

लघुगणक घात नियम का प्रयोग करें.

$e^{\ln (x^{- 1})}$

चरण 2.5

चरघातांक और लघुगणक व्युत्क्रम फलन होते हैं

$x^{- 1}$

चरण 2.6

ऋणात्मक घातांक नियम $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ का प्रयोग करके व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{1}{x}$

चरण 3

प्रत्येक पद को समाकलन गुणनखंड $\frac{1}{x}$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

प्रत्येक पद को $\frac{1}{x}$ से गुणा करें.

$\frac{1}{x} \frac{d y}{d x} + \frac{1}{x} (- \frac{1}{x} y) = \frac{1}{x} \cdot 2 + \frac{1}{x} \sqrt{x}$

चरण 3.2

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.1

$\frac{1}{x}$ और $\frac{d y}{d x}$ को मिलाएं.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} + \frac{1}{x} (- \frac{1}{x} y) = \frac{1}{x} \cdot 2 + \frac{1}{x} \sqrt{x}$

चरण 3.2.2

गुणन के क्रमविनिमेय गुण का उपयोग करके फिर से लिखें.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{1}{x} (\frac{1}{x} y) = \frac{1}{x} \cdot 2 + \frac{1}{x} \sqrt{x}$

चरण 3.2.3

$\frac{1}{x}$ और $y$ को मिलाएं.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{1}{x} \cdot \frac{y}{x} = \frac{1}{x} \cdot 2 + \frac{1}{x} \sqrt{x}$

चरण 3.2.4

$- \frac{1}{x} \cdot \frac{y}{x}$ गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.4.1

$\frac{y}{x}$ को $\frac{1}{x}$ से गुणा करें.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x \cdot x} = \frac{1}{x} \cdot 2 + \frac{1}{x} \sqrt{x}$

चरण 3.2.4.2

$x$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x^{1} x} = \frac{1}{x} \cdot 2 + \frac{1}{x} \sqrt{x}$

चरण 3.2.4.3

$x$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x^{1} x^{1}} = \frac{1}{x} \cdot 2 + \frac{1}{x} \sqrt{x}$

चरण 3.2.4.4

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x^{1 + 1}} = \frac{1}{x} \cdot 2 + \frac{1}{x} \sqrt{x}$

चरण 3.2.4.5

$1$ और $1$ जोड़ें.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x^{2}} = \frac{1}{x} \cdot 2 + \frac{1}{x} \sqrt{x}$

चरण 3.3

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.3.1

$\frac{1}{x}$ और $2$ को मिलाएं.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x^{2}} = \frac{2}{x} + \frac{1}{x} \sqrt{x}$

चरण 3.3.2

$\frac{1}{x}$ और $\sqrt{x}$ को मिलाएं.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x^{2}} = \frac{2}{x} + \frac{\sqrt{x}}{x}$

चरण 4

किसी गुणन में अंतर करने के परिणामस्वरूप बाईं ओर फिर से लिखें.

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{x} y] = \frac{2}{x} + \frac{\sqrt{x}}{x}$

चरण 5

प्रत्येक पक्ष का एक समाकलन सेट करें.

$\int \frac{d}{d x} [\frac{1}{x} y] d x = \int \frac{2}{x} + \frac{\sqrt{x}}{x} d x$

चरण 6

बाएं पक्ष का समाकलन करें.

$\frac{1}{x} y = \int \frac{2}{x} + \frac{\sqrt{x}}{x} d x$

चरण 7

दाएं पक्ष का समाकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.1

एकल समाकलन को कई समाकलन में विभाजित करें.

$\frac{1}{x} y = \int \frac{2}{x} d x + \int \frac{\sqrt{x}}{x} d x$

चरण 7.2

चूँकि $2$ बटे $x$ अचर है, $2$ को समाकलन से हटा दें.

$\frac{1}{x} y = 2 \int \frac{1}{x} d x + \int \frac{\sqrt{x}}{x} d x$

चरण 7.3

$x$ के संबंध में $\frac{1}{x}$ का इंटीग्रल $\ln (| x |)$ है.

$\frac{1}{x} y = 2 (\ln (| x |) + C) + \int \frac{\sqrt{x}}{x} d x$

चरण 7.4

व्यंजक को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.4.1

$\sqrt{x}$ को $x^{\frac{1}{2}}$ के रूप में फिर से लिखने के लिए $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ का उपयोग करें.

$\frac{1}{x} y = 2 (\ln (| x |) + C) + \int \frac{x^{\frac{1}{2}}}{x} d x$

चरण 7.4.2

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.4.2.1

ऋणात्मक घातांक नियम $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ का उपयोग करके $x^{\frac{1}{2}}$ को भाजक में ले जाएँ.

$\frac{1}{x} y = 2 (\ln (| x |) + C) + \int \frac{1}{x \cdot x^{- \frac{1}{2}}} d x$

चरण 7.4.2.2

घातांक जोड़कर $x$ को $x^{- \frac{1}{2}}$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.4.2.2.1

$x$ को $x^{- \frac{1}{2}}$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.4.2.2.1.1

$x$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$\frac{1}{x} y = 2 (\ln (| x |) + C) + \int \frac{1}{x^{1} x^{- \frac{1}{2}}} d x$

चरण 7.4.2.2.1.2

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$\frac{1}{x} y = 2 (\ln (| x |) + C) + \int \frac{1}{x^{1 - \frac{1}{2}}} d x$

चरण 7.4.2.2.2

एक सामान्य भाजक के साथ $1$ को भिन्न के रूप में लिखें.

$\frac{1}{x} y = 2 (\ln (| x |) + C) + \int \frac{1}{x^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}}} d x$

चरण 7.4.2.2.3

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$\frac{1}{x} y = 2 (\ln (| x |) + C) + \int \frac{1}{x^{\frac{2 - 1}{2}}} d x$

चरण 7.4.2.2.4

$2$ में से $1$ घटाएं.

$\frac{1}{x} y = 2 (\ln (| x |) + C) + \int \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} d x$

चरण 7.4.3

घातांक के बुनियादी नियम लागू करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.4.3.1

$x^{\frac{1}{2}}$ को भाजक में से $- 1$ पावर तक बढ़ा कर हटा दें.

$\frac{1}{x} y = 2 (\ln (| x |) + C) + \int {(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d x$

चरण 7.4.3.2

घातांक को ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ में गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.4.3.2.1

घात नियम लागू करें और घातांक गुणा करें, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{x} y = 2 (\ln (| x |) + C) + \int x^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d x$

चरण 7.4.3.2.2

$\frac{1}{2}$ और $- 1$ को मिलाएं.

$\frac{1}{x} y = 2 (\ln (| x |) + C) + \int x^{\frac{- 1}{2}} d x$

चरण 7.4.3.2.3

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$\frac{1}{x} y = 2 (\ln (| x |) + C) + \int x^{- \frac{1}{2}} d x$

चरण 7.5

घात नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x^{- \frac{1}{2}}$ का समाकलन $2 x^{\frac{1}{2}}$ है.

$\frac{1}{x} y = 2 (\ln (| x |) + C) + 2 x^{\frac{1}{2}} + C$

चरण 7.6

सरल करें.

$\frac{1}{x} y = 2 \ln (| x |) + 2 x^{\frac{1}{2}} + C$

चरण 8

$y$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.1

$\frac{1}{x}$ और $y$ को मिलाएं.

$\frac{y}{x} = 2 \ln (| x |) + 2 x^{\frac{1}{2}} + C$

चरण 8.2

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.2.1

$2$ को लघुगणक के अंदर ले जाकर $2 \ln (| x |)$ को सरल करें.

$\frac{y}{x} = \ln ({| x |}^{2}) + 2 x^{\frac{1}{2}} + C$

चरण 8.2.2

${| x |}^{2}$ में निरपेक्ष मान हटा दें क्योंकि सम घात वाले घातांक हमेशा धनात्मक होते हैं.

$\frac{y}{x} = \ln (x^{2}) + 2 x^{\frac{1}{2}} + C$

चरण 8.3

दोनों पक्षों को $x$ से गुणा करें.

$\frac{y}{x} x = (\ln (x^{2}) + 2 x^{\frac{1}{2}} + C) x$

चरण 8.4

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.4.1

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.4.1.1

$x$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.4.1.1.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{y}{x} x = (\ln (x^{2}) + 2 x^{\frac{1}{2}} + C) x$

चरण 8.4.1.1.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$y = (\ln (x^{2}) + 2 x^{\frac{1}{2}} + C) x$

चरण 8.4.2

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.4.2.1

$(\ln (x^{2}) + 2 x^{\frac{1}{2}} + C) x$ को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.4.2.1.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$y = \ln (x^{2}) x + 2 x^{\frac{1}{2}} x + C x$

चरण 8.4.2.1.2

घातांक जोड़कर $x^{\frac{1}{2}}$ को $x$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.4.2.1.2.1

$x$ ले जाएं.

$y = \ln (x^{2}) x + 2 (x \cdot x^{\frac{1}{2}}) + C x$

चरण 8.4.2.1.2.2

$x$ को $x^{\frac{1}{2}}$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.4.2.1.2.2.1

$x$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$y = \ln (x^{2}) x + 2 (x^{1} x^{\frac{1}{2}}) + C x$

चरण 8.4.2.1.2.2.2

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$y = \ln (x^{2}) x + 2 x^{1 + \frac{1}{2}} + C x$

चरण 8.4.2.1.2.3

एक सामान्य भाजक के साथ $1$ को भिन्न के रूप में लिखें.

$y = \ln (x^{2}) x + 2 x^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}} + C x$

चरण 8.4.2.1.2.4

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$y = \ln (x^{2}) x + 2 x^{\frac{2 + 1}{2}} + C x$

चरण 8.4.2.1.2.5

$2$ और $1$ जोड़ें.

$y = \ln (x^{2}) x + 2 x^{\frac{3}{2}} + C x$

चरण 8.4.2.1.3

गुणनखंडों को $\ln (x^{2}) x + 2 x^{\frac{3}{2}} + C x$ में पुन: क्रमित करें.

$y = x \ln (x^{2}) + 2 x^{\frac{3}{2}} + C x$

चरण 8.4.2.1.4

$2 x^{\frac{3}{2}}$ ले जाएं.

$y = x \ln (x^{2}) + C x + 2 x^{\frac{3}{2}}$

चरण 8.4.2.1.5

$x \ln (x^{2})$ और $C x$ को पुन: क्रमित करें.

$y = C x + x \ln (x^{2}) + 2 x^{\frac{3}{2}}$