कैलकुलस उदाहरण

$\frac{d y}{d x} = - 2 + e^{2 x + y - 1}$

चरण 1

मान लीजिए $v = e^{2 x + y - 1}$ . $e^{2 x + y - 1}$ की सभी घटनाओं के लिए $v$ को प्रतिस्थापित करें.

$\frac{d y}{d x} = - 2 + v$

चरण 2

$e^{2 x + y - 1}$ को अलग करके $\frac{d v}{d x}$ ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = e^{x}$ और $g (x) = 2 x + y - 1$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u$ को $2 x + y - 1$ के रूप में सेट करें.

$\frac{d v}{d x} = \frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [2 x + y - 1]$

चरण 2.1.2

चरघातांकी नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ $a^{u} \ln (a)$ है, जहाँ $a$ = $e$ है.

$\frac{d v}{d x} = e^{u} \frac{d}{d x} [2 x + y - 1]$

चरण 2.1.3

$u$ की सभी घटनाओं को $2 x + y - 1$ से बदलें.

$\frac{d v}{d x} = e^{2 x + y - 1} \frac{d}{d x} [2 x + y - 1]$

चरण 2.2

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $2 x + y - 1$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 1]$ है.

$\frac{d v}{d x} = e^{2 x + y - 1} (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 1])$

चरण 2.3

चूंकि $2$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $2 x$ का व्युत्पन्न $2 \frac{d}{d x} [x]$ है.

$\frac{d v}{d x} = e^{2 x + y - 1} (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 1])$

चरण 2.4

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$\frac{d v}{d x} = e^{2 x + y - 1} (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 1])$

चरण 2.5

$2$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{d v}{d x} = e^{2 x + y - 1} (2 + \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 1])$

चरण 2.6

$\frac{d}{d x} [y]$ को $y'$ के रूप में फिर से लिखें.

$\frac{d v}{d x} = e^{2 x + y - 1} (2 + y' + \frac{d}{d x} [- 1])$

चरण 2.7

चूंकि $x$ के संबंध में $- 1$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $- 1$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$\frac{d v}{d x} = e^{2 x + y - 1} (2 + y' + 0)$

चरण 2.8

$2 + y'$ और $0$ जोड़ें.

$\frac{d v}{d x} = e^{2 x + y - 1} (2 + y')$

चरण 3

$v$ को $e^{2 x + y - 1}$ से प्रतिस्थापित करें.

$\frac{d v}{d x} = v (2 + y')$

चरण 4

व्युत्पन्न को डिफरेन्शल इक्वेश़न में वापस प्रतिस्थापित करें.

$\frac{\frac{d v}{d x}}{v} - 2 = - 2 + v$

चरण 5

चरों को अलग करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1

$\frac{d v}{d x}$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1.1

$\frac{d v}{d x}$ वाले सभी पदों को समीकरण के दाईं ओर ले जाएं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1.1.1

समीकरण के दोनों पक्षों में $2$ जोड़ें.

$\frac{\frac{d v}{d x}}{v} = - 2 + v + 2$

चरण 5.1.1.2

$- 2 + v + 2$ में विपरीत पदों को मिलाएं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1.1.2.1

$- 2$ और $2$ जोड़ें.

$\frac{\frac{d v}{d x}}{v} = v + 0$

चरण 5.1.1.2.2

$v$ और $0$ जोड़ें.

$\frac{\frac{d v}{d x}}{v} = v$

चरण 5.1.2

दोनों पक्षों को $v$ से गुणा करें.

$\frac{\frac{d v}{d x}}{v} v = v \cdot v$

चरण 5.1.3

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1.3.1

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1.3.1.1

$v$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1.3.1.1.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{\frac{d v}{d x}}{v} v = v \cdot v$

चरण 5.1.3.1.1.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{d v}{d x} = v \cdot v$

चरण 5.1.3.2

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1.3.2.1

$v$ को $v$ से गुणा करें.

$\frac{d v}{d x} = v^{2}$

चरण 5.2

दोनों पक्षों को $\frac{1}{v^{2}}$ से गुणा करें.

$\frac{1}{v^{2}} \frac{d v}{d x} = \frac{1}{v^{2}} v^{2}$

चरण 5.3

$v^{2}$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.3.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{1}{v^{2}} \frac{d v}{d x} = \frac{1}{v^{2}} v^{2}$

चरण 5.3.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{1}{v^{2}} \frac{d v}{d x} = 1$

चरण 5.4

समीकरण को फिर से लिखें.

$\frac{1}{v^{2}} d v = 1 d x$

चरण 6

दोनों पक्षों को समाकलित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1

प्रत्येक पक्ष का एक समाकलन सेट करें.

$\int \frac{1}{v^{2}} d v = \int d x$

चरण 6.2

बाएं पक्ष का समाकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.1

घातांक के बुनियादी नियम लागू करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.1.1

$v^{2}$ को भाजक में से $- 1$ पावर तक बढ़ा कर हटा दें.

$\int {(v^{2})}^{- 1} d v = \int d x$

चरण 6.2.1.2

घातांक को ${(v^{2})}^{- 1}$ में गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.1.2.1

घात नियम लागू करें और घातांक गुणा करें, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int v^{2 \cdot - 1} d v = \int d x$

चरण 6.2.1.2.2

$2$ को $- 1$ से गुणा करें.

$\int v^{- 2} d v = \int d x$

चरण 6.2.2

घात नियम के अनुसार, $v$ के संबंध में $v^{- 2}$ का समाकलन $- v^{- 1}$ है.

$- v^{- 1} + C_{1} = \int d x$

चरण 6.2.3

$- v^{- 1} + C_{1}$ को $- \frac{1}{v} + C_{1}$ के रूप में फिर से लिखें.

$- \frac{1}{v} + C_{1} = \int d x$

चरण 6.3

स्थिरांक नियम लागू करें.

$- \frac{1}{v} + C_{1} = x + C_{2}$

चरण 6.4

समाकलन के स्थिरांक को दाईं ओर $K$ के रूप में समूहित करें.

$- \frac{1}{v} = x + K$

चरण 7

$v$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.1

समीकरण के पदों का LCD पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.1.1

मान की एक सूची के LCD को पता करना उन मान के भाजक के LCM को पता करने के समान है.

$v, 1, 1$

चरण 7.1.2

एक और किसी भी व्यंजक का LCM (लघुत्तम समापवर्तक) व्यंजक है.

$v$

चरण 7.2

भिन्नों को हटाने के लिए $- \frac{1}{v} = x + K$ के प्रत्येक पद को $v$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.2.1

$- \frac{1}{v} = x + K$ के प्रत्येक पद को $v$ से गुणा करें.

$- \frac{1}{v} v = x v + K v$

चरण 7.2.2

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.2.2.1

$v$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.2.2.1.1

$- \frac{1}{v}$ में अग्रणी ऋणात्मक को न्यूमेरेटर में ले जाएं.

$\frac{- 1}{v} v = x v + K v$

चरण 7.2.2.1.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{- 1}{v} v = x v + K v$

चरण 7.2.2.1.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$- 1 = x v + K v$

चरण 7.3

समीकरण को हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.3.1

समीकरण को $x v + K v = - 1$ के रूप में फिर से लिखें.

$x v + K v = - 1$

चरण 7.3.2

$x v + K v$ में से $v$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.3.2.1

$x v$ में से $v$ का गुणनखंड करें.

$v x + K v = - 1$

चरण 7.3.2.2

$K v$ में से $v$ का गुणनखंड करें.

$v x + v K = - 1$

चरण 7.3.2.3

$v x + v K$ में से $v$ का गुणनखंड करें.

$v (x + K) = - 1$

चरण 7.3.3

$v (x + K) = - 1$ के प्रत्येक पद को $x + K$ से भाग दें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.3.3.1

$v (x + K) = - 1$ के प्रत्येक पद को $x + K$ से विभाजित करें.

$\frac{v (x + K)}{x + K} = \frac{- 1}{x + K}$

चरण 7.3.3.2

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.3.3.2.1

$x + K$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.3.3.2.1.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{v (x + K)}{x + K} = \frac{- 1}{x + K}$

चरण 7.3.3.2.1.2

$v$ को $1$ से विभाजित करें.

$v = \frac{- 1}{x + K}$

चरण 7.3.3.3

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.3.3.3.1

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$v = - \frac{1}{x + K}$

चरण 8

$v$ की सभी घटनाओं को $e^{2 x + y - 1}$ से बदलें.

$e^{2 x + y - 1} = - \frac{1}{x + K}$

चरण 9

$y$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.1

घातांक से चर को हटाने के लिए समीकरण के दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक लें.

$\ln (e^{2 x + y - 1}) = \ln (- \frac{1}{x + K})$

चरण 9.2

दाएं पक्ष का विस्तार करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.2.1

$2 x + y - 1$ को लघुगणक के बाहर ले जाकर $\ln (e^{2 x + y - 1})$ का प्रसार करें.

$(2 x + y - 1) \ln (e) = \ln (- \frac{1}{x + K})$

चरण 9.2.2

$e$ का प्राकृतिक लघुगणक $1$ है.

$(2 x + y - 1) \cdot 1 = \ln (- \frac{1}{x + K})$

चरण 9.2.3

$2 x + y - 1$ को $1$ से गुणा करें.

$2 x + y - 1 = \ln (- \frac{1}{x + K})$

चरण 9.3

$y$ वाले सभी पदों को समीकरण के दाईं ओर ले जाएं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.3.1

समीकरण के दोनों पक्षों से $2 x$ घटाएं.

$y - 1 = \ln (- \frac{1}{x + K}) - 2 x$

चरण 9.3.2

समीकरण के दोनों पक्षों में $1$ जोड़ें.

$y = \ln (- \frac{1}{x + K}) - 2 x + 1$