कैलकुलस उदाहरण

$\frac{y}{x} d x + (y^{2} + \ln (| x |)) d y = 0$

चरण 1

$\frac{\partial M}{\partial y}$ पता कीजिए जहां $M (x, y) = \frac{y}{x}$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

$M$ को $y$ से अलग करें.

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [\frac{y}{x}]$

चरण 1.2

चूंकि $\frac{1}{x}$ , $y$ के संबंध में स्थिर है, $y$ के संबंध में $\frac{y}{x}$ का व्युत्पन्न $\frac{1}{x} \frac{d}{d y} [y]$ है.

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{1}{x} \frac{d}{d y} [y]$

चरण 1.3

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ $n y^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{1}{x} \cdot 1$

चरण 1.4

$\frac{1}{x}$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{1}{x}$

चरण 2

$\frac{\partial N}{\partial x}$ पता कीजिए जहां $N (x, y) = y^{2} + \ln (| x |)$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

$N$ को $x$ से अलग करें.

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [y^{2} + \ln (| x |)]$

चरण 2.2

अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.1

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $y^{2} + \ln (| x |)$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [\ln (| x |)]$ है.

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [\ln (| x |)]$

चरण 2.2.2

चूंकि $x$ के संबंध में $y^{2}$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $y^{2}$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + \frac{d}{d x} [\ln (| x |)]$

चरण 2.3

$\frac{d}{d x} [\ln (| x |)]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.1

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = \ln (x)$ और $g (x) = | x |$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.1.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u$ को $| x |$ के रूप में सेट करें.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + \frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [| x |]$

चरण 2.3.1.2

$u$ के संबंध में $\ln (u)$ का व्युत्पन्न $\frac{1}{u}$ है.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + \frac{1}{u} \frac{d}{d x} [| x |]$

चरण 2.3.1.3

$u$ की सभी घटनाओं को $| x |$ से बदलें.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + \frac{1}{| x |} \frac{d}{d x} [| x |]$

चरण 2.3.2

$x$ के संबंध में $| x |$ का व्युत्पन्न $\frac{x}{| x |}$ है.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + \frac{1}{| x |} \cdot \frac{x}{| x |}$

चरण 2.3.3

$\frac{1}{| x |}$ को $\frac{x}{| x |}$ से गुणा करें.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + \frac{x}{| x | | x |}$

चरण 2.3.4

निरपेक्ष मानों को गुणा करने के लिए, प्रत्येक निरपेक्ष मान के अंदर के पदों को गुणा करें.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + \frac{x}{| x \cdot x |}$

चरण 2.3.5

$x$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + \frac{x}{| x^{1} x |}$

चरण 2.3.6

$x$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + \frac{x}{| x^{1} x^{1} |}$

चरण 2.3.7

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + \frac{x}{| x^{1 + 1} |}$

चरण 2.3.8

$1$ और $1$ जोड़ें.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + \frac{x}{| x^{2} |}$

चरण 2.4

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.4.1

$0$ और $\frac{x}{| x^{2} |}$ जोड़ें.

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{x}{| x^{2} |}$

चरण 2.4.2

निरपेक्ष मान से गैर-ऋणात्मक शब्द हटा दें.

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{x}{x^{2}}$

चरण 2.4.3

$x$ और $x^{2}$ के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.4.3.1

$x$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{x^{1}}{x^{2}}$

चरण 2.4.3.2

$x^{1}$ में से $x$ का गुणनखंड करें.

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{x \cdot 1}{x^{2}}$

चरण 2.4.3.3

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.4.3.3.1

$x^{2}$ में से $x$ का गुणनखंड करें.

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{x \cdot 1}{x \cdot x}$

चरण 2.4.3.3.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{x \cdot 1}{x \cdot x}$

चरण 2.4.3.3.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{1}{x}$

चरण 3

उस $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ को जांचें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

$\frac{\partial M}{\partial y}$ के लिए $\frac{1}{x}$ और $\frac{\partial N}{\partial x}$ के लिए $\frac{1}{x}$ प्रतिस्थापित करें.

$\frac{1}{x} = \frac{1}{x}$

चरण 3.2

चूँकि दोनों पक्षों को समतुल्य दिखाया गया है, समीकरण एक सर्वसमिका है.

$\frac{1}{x} = \frac{1}{x}$ एक सर्वसमिका है.

चरण 4

$f (x, y)$ को $M (x, y)$ के इंटीग्रल के बराबर सेट करें.

$f (x, y) = \int \frac{y}{x} d x$

चरण 5

$f (x, y)$ को खोजने के लिए $M (x, y) = \frac{y}{x}$ को समाकलित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1

चूँकि $y$ बटे $x$ अचर है, $y$ को समाकलन से हटा दें.

$f (x, y) = y \int \frac{1}{x} d x$

चरण 5.2

$x$ के संबंध में $\frac{1}{x}$ का इंटीग्रल $\ln (| x |)$ है.

$f (x, y) = y (\ln (| x |) + C)$

चरण 5.3

सरल करें.

$f (x, y) = y \ln (| x |) + C$

चरण 6

चूँकि $g (y)$ के इंटिग्रल में इंटिग्रेशन स्थिरांक होगा, हम $C$ को $g (y)$ से बदल सकते हैं.

$f (x, y) = y \ln (| x |) + g (y)$

चरण 7

$\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ सेट करें.

$\frac{\partial f}{\partial y} = y^{2} + \ln (| x |)$

चरण 8

$f$ को $y$ से अलग करें.

$\frac{d}{d y} [y \ln (| x |) + g (y)] = y^{2} + \ln (| x |)$

चरण 9

$\frac{d g}{d y}$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.1

$\frac{d g}{d y}$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.1.1

फिर से लिखें.

$\frac{y}{x} d x + (y^{2} + \ln (| x |)) d y = 0$

चरण 9.1.2

$\frac{\partial M}{\partial y}$ पता कीजिए जहां $M (x, y) = \frac{y}{x}$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.1.2.1

$M$ को $y$ से अलग करें.

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [\frac{y}{x}]$

चरण 9.1.2.2

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{1}{x} \frac{d}{d y} [y]$

चरण 9.1.2.3

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{1}{x} \cdot 1$

चरण 9.1.2.4

$\frac{1}{x}$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{1}{x}$

चरण 9.1.3

$\frac{\partial N}{\partial x}$ पता कीजिए जहां $N (x, y) = y^{2} + \ln (| x |)$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.1.3.1

$N$ को $x$ से अलग करें.

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [y^{2} + \ln (| x |)]$

चरण 9.1.3.2

अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.1.3.2.1

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [\ln (| x |)]$

चरण 9.1.3.2.2

चूंकि $x$ के संबंध में $y^{2}$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $y^{2}$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + \frac{d}{d x} [\ln (| x |)]$

चरण 9.1.3.3

$\frac{d}{d x} [\ln (| x |)]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.1.3.3.1

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.1.3.3.1.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u$ को $| x |$ के रूप में सेट करें.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + \frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [| x |]$

चरण 9.1.3.3.1.2

$u$ के संबंध में $\ln (u)$ का व्युत्पन्न $\frac{1}{u}$ है.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + \frac{1}{u} \frac{d}{d x} [| x |]$

चरण 9.1.3.3.1.3

$u$ की सभी घटनाओं को $| x |$ से बदलें.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + \frac{1}{| x |} \frac{d}{d x} [| x |]$

चरण 9.1.3.3.2

$x$ के संबंध में $| x |$ का व्युत्पन्न $\frac{x}{| x |}$ है.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + \frac{1}{| x |} \cdot \frac{x}{| x |}$

चरण 9.1.3.3.3

$\frac{1}{| x |}$ को $\frac{x}{| x |}$ से गुणा करें.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + \frac{x}{| x | | x |}$

चरण 9.1.3.3.4

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + \frac{x}{| x \cdot x |}$

चरण 9.1.3.3.5

$x$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + \frac{x}{| x^{1} x |}$

चरण 9.1.3.3.6

$x$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + \frac{x}{| x^{1} x^{1} |}$

चरण 9.1.3.3.7

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + \frac{x}{| x^{1 + 1} |}$

चरण 9.1.3.3.8

$1$ और $1$ जोड़ें.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + \frac{x}{| x^{2} |}$

चरण 9.1.3.4

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.1.3.4.1

$0$ और $\frac{x}{| x^{2} |}$ जोड़ें.

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{x}{| x^{2} |}$

चरण 9.1.3.4.2

निरपेक्ष मान से गैर-ऋणात्मक शब्द हटा दें.

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{x}{x^{2}}$

चरण 9.1.3.4.3

$x$ और $x^{2}$ के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.1.3.4.3.1

$x$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{x^{1}}{x^{2}}$

चरण 9.1.3.4.3.2

$x^{1}$ में से $x$ का गुणनखंड करें.

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{x \cdot 1}{x^{2}}$

चरण 9.1.3.4.3.3

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.1.3.4.3.3.1

$x^{2}$ में से $x$ का गुणनखंड करें.

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{x \cdot 1}{x \cdot x}$

चरण 9.1.3.4.3.3.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{x \cdot 1}{x \cdot x}$

चरण 9.1.3.4.3.3.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{1}{x}$

चरण 9.1.4

उस $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ को जांचें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.1.4.1

$\frac{\partial M}{\partial y}$ के लिए $\frac{1}{x}$ और $\frac{\partial N}{\partial x}$ के लिए $\frac{1}{x}$ प्रतिस्थापित करें.

$\frac{1}{x} = \frac{1}{x}$

चरण 9.1.4.2

चूँकि दोनों पक्षों को समतुल्य दिखाया गया है, समीकरण एक सर्वसमिका है.

$\frac{1}{x} = \frac{1}{x}$ एक सर्वसमिका है.

चरण 9.1.5

$f (x, y)$ को $M (x, y)$ के इंटीग्रल के बराबर सेट करें.

$f (x, y) = \int \frac{y}{x} d x$

चरण 9.1.6

$f (x, y)$ को खोजने के लिए $M (x, y) = \frac{y}{x}$ को समाकलित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.1.6.1

चूँकि $y$ बटे $x$ अचर है, $y$ को समाकलन से हटा दें.

$f (x, y) = y \int \frac{1}{x} d x$

चरण 9.1.6.2

$x$ के संबंध में $\frac{1}{x}$ का इंटीग्रल $\ln (| x |)$ है.

$f (x, y) = y (\ln (| x |) + C)$

चरण 9.1.6.3

सरल करें.

$f (x, y) = y \ln (| x |) + C$

चरण 9.1.7

$f (x, y) = y \ln (| x |) + g (y)$

चरण 9.1.8

$\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ सेट करें.

$\frac{\partial f}{\partial y} = y^{2} + \ln (| x |)$

चरण 9.1.9

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.1.9.1

$\frac{d}{d y} \cdot (y \ln (| x |) + g (y))$ को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.1.9.1.1

$d$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.1.9.1.1.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{d}{d y} \cdot (y \ln (| x |) + g (y)) = y^{2} + \ln (| x |)$

चरण 9.1.9.1.1.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{1}{y} \cdot (y \ln (| x |) + g (y)) = y^{2} + \ln (| x |)$

चरण 9.1.9.1.2

$\frac{1}{y}$ को $y \ln (| x |) + g y$ से गुणा करें.

$\frac{y \ln (| x |) + g y}{y} = y^{2} + \ln (| x |)$

चरण 9.1.9.1.3

$y \ln (| x |) + g y$ में से $y$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.1.9.1.3.1

$y \ln (| x |)$ में से $y$ का गुणनखंड करें.

$\frac{y \ln (| x |) + g y}{y} = y^{2} + \ln (| x |)$

चरण 9.1.9.1.3.2

$g y$ में से $y$ का गुणनखंड करें.

$\frac{y \ln (| x |) + y g}{y} = y^{2} + \ln (| x |)$

चरण 9.1.9.1.3.3

$y \ln (| x |) + y g$ में से $y$ का गुणनखंड करें.

$\frac{y (\ln (| x |) + g)}{y} = y^{2} + \ln (| x |)$

चरण 9.1.9.1.4

$y$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.1.9.1.4.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{y (\ln (| x |) + g)}{y} = y^{2} + \ln (| x |)$

चरण 9.1.9.1.4.2

$\ln (| x |) + g$ को $1$ से विभाजित करें.

$\ln (| x |) + g = y^{2} + \ln (| x |)$

चरण 9.1.10

लघुगणक वाले सभी पदों को समीकरण के बाईं पक्ष की ओर ले जाएँ.

$\ln (| x |) - \ln (| x |) = - g + y^{2}$

चरण 9.1.11

लघुगणक के भागफल गुण $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ का प्रयोग करें.

$\ln (\frac{| x |}{| x |}) = - g + y^{2}$

चरण 9.1.12

$| x |$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.1.12.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\ln (\frac{| x |}{| x |}) = - g + y^{2}$

चरण 9.1.12.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\ln (1) = - g + y^{2}$

चरण 9.1.13

$1$ का प्राकृतिक लघुगणक $0$ है.

$0 = - g + y^{2}$

चरण 10

$g (y)$ को खोजने के लिए $- g + y^{2}$ का विरोधी व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 10.1

$0 = - g + y^{2}$ के दोनों पक्षों को समाकलित करें.

$\int 0 d y = \int - g + y^{2} d y$

चरण 10.2

$\int 0 d y$ का मान ज्ञात करें.

$g (y) = \int - g + y^{2} d y$

चरण 10.3

एकल समाकलन को कई समाकलन में विभाजित करें.

$g (y) = \int - g d y + \int y^{2} d y$

चरण 10.4

स्थिरांक नियम लागू करें.

$g (y) = - g y + C + \int y^{2} d y$

चरण 10.5

घात नियम के अनुसार, $y$ के संबंध में $y^{2}$ का समाकलन $\frac{1}{3} y^{3}$ है.

$g (y) = - g y + C + \frac{1}{3} y^{3} + C$

चरण 10.6

सरल करें.

$g (y) = - g y + \frac{1}{3} y^{3} + C$

चरण 11

$f (x, y) = y \ln (| x |) + g (y)$ में $g (y)$ को प्रतिस्थापित करें.

$f (x, y) = y \ln (| x |) - g y + \frac{1}{3} y^{3} + C$

चरण 12

$\frac{1}{3}$ और $y^{3}$ को मिलाएं.

$f (x, y) = y \ln (| x |) - g y + \frac{y^{3}}{3} + C$