कैलकुलस उदाहरण

$2 x e^{2 t} d t + (1 + e^{2 t}) d x = 0$

चरण 1

समीकरण के दोनों पक्षों से $2 x e^{2 t} d t$ घटाएं.

$(1 + e^{2 t}) d x = - 2 x e^{2 t} d t$

चरण 2

दोनों पक्षों को $\frac{1}{(1 + e^{2 t}) x}$ से गुणा करें.

$\frac{1}{(1 + e^{2 t}) x} (1 + e^{2 t}) d x = \frac{1}{(1 + e^{2 t}) x} (- 2 x e^{2 t}) d t$

चरण 3

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

$1 + e^{2 t}$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1.1

$(1 + e^{2 t}) x$ में से $1 + e^{2 t}$ का गुणनखंड करें.

$\frac{1}{(1 + e^{2 t}) (x)} (1 + e^{2 t}) d x = \frac{1}{(1 + e^{2 t}) x} (- 2 x e^{2 t}) d t$

चरण 3.1.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{1}{(1 + e^{2 t}) x} (1 + e^{2 t}) d x = \frac{1}{(1 + e^{2 t}) x} (- 2 x e^{2 t}) d t$

चरण 3.1.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{1}{x} d x = \frac{1}{(1 + e^{2 t}) x} (- 2 x e^{2 t}) d t$

चरण 3.2

गुणन के क्रमविनिमेय गुण का उपयोग करके फिर से लिखें.

$\frac{1}{x} d x = - 2 \frac{1}{(1 + e^{2 t}) x} (x e^{2 t}) d t$

चरण 3.3

$- 2$ और $\frac{1}{(1 + e^{2 t}) x}$ को मिलाएं.

$\frac{1}{x} d x = \frac{- 2}{(1 + e^{2 t}) x} (x e^{2 t}) d t$

चरण 3.4

$x$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.4.1

$(1 + e^{2 t}) x$ में से $x$ का गुणनखंड करें.

$\frac{1}{x} d x = \frac{- 2}{x (1 + e^{2 t})} (x e^{2 t}) d t$

चरण 3.4.2

$x e^{2 t}$ में से $x$ का गुणनखंड करें.

$\frac{1}{x} d x = \frac{- 2}{x (1 + e^{2 t})} (x (e^{2 t})) d t$

चरण 3.4.3

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{1}{x} d x = \frac{- 2}{x (1 + e^{2 t})} (x e^{2 t}) d t$

चरण 3.4.4

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{1}{x} d x = \frac{- 2}{1 + e^{2 t}} e^{2 t} d t$

चरण 3.5

$\frac{- 2}{1 + e^{2 t}}$ और $e^{2 t}$ को मिलाएं.

$\frac{1}{x} d x = \frac{- 2 e^{2 t}}{1 + e^{2 t}} d t$

चरण 3.6

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$\frac{1}{x} d x = - \frac{2 e^{2 t}}{1 + e^{2 t}} d t$

चरण 4

दोनों पक्षों को समाकलित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1

प्रत्येक पक्ष का एक समाकलन सेट करें.

$\int \frac{1}{x} d x = \int - \frac{2 e^{2 t}}{1 + e^{2 t}} d t$

चरण 4.2

$x$ के संबंध में $\frac{1}{x}$ का इंटीग्रल $\ln (| x |)$ है.

$\ln (| x |) + C_{1} = \int - \frac{2 e^{2 t}}{1 + e^{2 t}} d t$

चरण 4.3

दाएं पक्ष का समाकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.3.1

चूँकि $- 1$ बटे $t$ अचर है, $- 1$ को समाकलन से हटा दें.

$\ln (| x |) + C_{1} = - \int \frac{2 e^{2 t}}{1 + e^{2 t}} d t$

चरण 4.3.2

चूँकि $2$ बटे $t$ अचर है, $2$ को समाकलन से हटा दें.

$\ln (| x |) + C_{1} = - (2 \int \frac{e^{2 t}}{1 + e^{2 t}} d t)$

चरण 4.3.3

$2$ को $- 1$ से गुणा करें.

$\ln (| x |) + C_{1} = - 2 \int \frac{e^{2 t}}{1 + e^{2 t}} d t$

चरण 4.3.4

मान लीजिए $u_{2} = 1 + e^{2 t}$ .फिर $d u_{2} = 2 e^{2 t} d t$ , तो $\frac{1}{2} d u_{2} = e^{2 t} d t$ . $u_{2}$ और $d$ $u_{2}$ का उपयोग करके फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.3.4.1

मान लें $u_{2} = 1 + e^{2 t}$ . $\frac{d u_{2}}{d t}$ ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.3.4.1.1

$1 + e^{2 t}$ को अवकलित करें.

$\frac{d}{d t} [1 + e^{2 t}]$

चरण 4.3.4.1.2

अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.3.4.1.2.1

योग नियम के अनुसार, $t$ के संबंध में $1 + e^{2 t}$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [e^{2 t}]$ है.

$\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [e^{2 t}]$

चरण 4.3.4.1.2.2

चूंकि $t$ के संबंध में $1$ स्थिर है, $t$ के संबंध में $1$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$0 + \frac{d}{d t} [e^{2 t}]$

चरण 4.3.4.1.3

$\frac{d}{d t} [e^{2 t}]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.3.4.1.3.1

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ $f' (g (t)) g' (t)$ है, जहाँ $f (t) = e^{t}$ और $g (t) = 2 t$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.3.4.1.3.1.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u_{1}$ को $2 t$ के रूप में सेट करें.

$0 + \frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d t} [2 t]$

चरण 4.3.4.1.3.1.2

चरघातांकी नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ $a^{u_{1}} \ln (a)$ है, जहाँ $a$ = $e$ है.

$0 + e^{u_{1}} \frac{d}{d t} [2 t]$

चरण 4.3.4.1.3.1.3

$u_{1}$ की सभी घटनाओं को $2 t$ से बदलें.

$0 + e^{2 t} \frac{d}{d t} [2 t]$

चरण 4.3.4.1.3.2

चूंकि $2$ , $t$ के संबंध में स्थिर है, $t$ के संबंध में $2 t$ का व्युत्पन्न $2 \frac{d}{d t} [t]$ है.

$0 + e^{2 t} (2 \frac{d}{d t} [t])$

चरण 4.3.4.1.3.3

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ $n t^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$0 + e^{2 t} (2 \cdot 1)$

चरण 4.3.4.1.3.4

$2$ को $1$ से गुणा करें.

$0 + e^{2 t} \cdot 2$

चरण 4.3.4.1.3.5

$2$ को $e^{2 t}$ के बाईं ओर ले जाएं.

$0 + 2 e^{2 t}$

चरण 4.3.4.1.4

$0$ और $2 e^{2 t}$ जोड़ें.

$2 e^{2 t}$

चरण 4.3.4.2

$u_{2}$ और $d u_{2}$ का उपयोग करके समस्या को फिर से लिखें.

$\ln (| x |) + C_{1} = - 2 \int \frac{1}{u_{2}} \cdot \frac{1}{2} d u_{2}$

चरण 4.3.5

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.3.5.1

$\frac{1}{u_{2}}$ को $\frac{1}{2}$ से गुणा करें.

$\ln (| x |) + C_{1} = - 2 \int \frac{1}{u_{2} \cdot 2} d u_{2}$

चरण 4.3.5.2

$2$ को $u_{2}$ के बाईं ओर ले जाएं.

$\ln (| x |) + C_{1} = - 2 \int \frac{1}{2 u_{2}} d u_{2}$

चरण 4.3.6

चूँकि $\frac{1}{2}$ बटे $u_{2}$ अचर है, $\frac{1}{2}$ को समाकलन से हटा दें.

$\ln (| x |) + C_{1} = - 2 (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2})$

चरण 4.3.7

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.3.7.1

$\frac{1}{2}$ और $- 2$ को मिलाएं.

$\ln (| x |) + C_{1} = \frac{- 2}{2} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

चरण 4.3.7.2

$- 2$ और $2$ के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.3.7.2.1

$- 2$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$\ln (| x |) + C_{1} = \frac{2 \cdot - 1}{2} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

चरण 4.3.7.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.3.7.2.2.1

$2$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$\ln (| x |) + C_{1} = \frac{2 \cdot - 1}{2 (1)} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

चरण 4.3.7.2.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\ln (| x |) + C_{1} = \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

चरण 4.3.7.2.2.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\ln (| x |) + C_{1} = \frac{- 1}{1} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

चरण 4.3.7.2.2.4

$- 1$ को $1$ से विभाजित करें.

$\ln (| x |) + C_{1} = - \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

चरण 4.3.8

$u_{2}$ के संबंध में $\frac{1}{u_{2}}$ का इंटीग्रल $\ln (| u_{2} |)$ है.

$\ln (| x |) + C_{1} = - (\ln (| u_{2} |) + C_{2})$

चरण 4.3.9

सरल करें.

$\ln (| x |) + C_{1} = - \ln (| u_{2} |) + C_{2}$

चरण 4.3.10

$u_{2}$ की सभी घटनाओं को $1 + e^{2 t}$ से बदलें.

$\ln (| x |) + C_{1} = - \ln (| 1 + e^{2 t} |) + C_{2}$

चरण 4.4

समाकलन के स्थिरांक को दाईं ओर $C$ के रूप में समूहित करें.

$\ln (| x |) = - \ln (| 1 + e^{2 t} |) + C$