कैलकुलस उदाहरण

$2 x y + (1 + x^{2}) \frac{d y}{d x} = 0$ , $y (0) = 1$

चरण 1

चरों को अलग करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

$\frac{d y}{d x}$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.1.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$2 x y + 1 \frac{d y}{d x} + x^{2} \frac{d y}{d x} = 0$

चरण 1.1.1.2

$\frac{d y}{d x}$ को $1$ से गुणा करें.

$2 x y + \frac{d y}{d x} + x^{2} \frac{d y}{d x} = 0$

चरण 1.1.2

समीकरण के दोनों पक्षों से $2 x y$ घटाएं.

$\frac{d y}{d x} + x^{2} \frac{d y}{d x} = - 2 x y$

चरण 1.1.3

$\frac{d y}{d x} + x^{2} \frac{d y}{d x}$ में से $\frac{d y}{d x}$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.3.1

${(\frac{d y}{d x})}^{1}$ में से $\frac{d y}{d x}$ का गुणनखंड करें.

$\frac{d y}{d x} \cdot 1 + x^{2} \frac{d y}{d x} = - 2 x y$

चरण 1.1.3.2

$x^{2} \frac{d y}{d x}$ में से $\frac{d y}{d x}$ का गुणनखंड करें.

$\frac{d y}{d x} \cdot 1 + \frac{d y}{d x} x^{2} = - 2 x y$

चरण 1.1.3.3

$\frac{d y}{d x} \cdot 1 + \frac{d y}{d x} x^{2}$ में से $\frac{d y}{d x}$ का गुणनखंड करें.

$\frac{d y}{d x} (1 + x^{2}) = - 2 x y$

चरण 1.1.4

$\frac{d y}{d x} (1 + x^{2}) = - 2 x y$ के प्रत्येक पद को $1 + x^{2}$ से भाग दें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.4.1

$\frac{d y}{d x} (1 + x^{2}) = - 2 x y$ के प्रत्येक पद को $1 + x^{2}$ से विभाजित करें.

$\frac{\frac{d y}{d x} (1 + x^{2})}{1 + x^{2}} = \frac{- 2 x y}{1 + x^{2}}$

चरण 1.1.4.2

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.4.2.1

$1 + x^{2}$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.4.2.1.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{\frac{d y}{d x} (1 + x^{2})}{1 + x^{2}} = \frac{- 2 x y}{1 + x^{2}}$

चरण 1.1.4.2.1.2

$\frac{d y}{d x}$ को $1$ से विभाजित करें.

$\frac{d y}{d x} = \frac{- 2 x y}{1 + x^{2}}$

चरण 1.1.4.3

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.4.3.1

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{2 x y}{1 + x^{2}}$

चरण 1.2

गुणनखंडों को पुनर्समूहन करें

$\frac{d y}{d x} = - \frac{2 x}{1 + x^{2}} y$

चरण 1.3

दोनों पक्षों को $\frac{1}{y}$ से गुणा करें.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (- \frac{2 x}{1 + x^{2}} y)$

चरण 1.4

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.4.1

गुणन के क्रमविनिमेय गुण का उपयोग करके फिर से लिखें.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = - \frac{1}{y} (\frac{2 x}{1 + x^{2}} y)$

चरण 1.4.2

$y$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.4.2.1

$- \frac{1}{y}$ में अग्रणी ऋणात्मक को न्यूमेरेटर में ले जाएं.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{- 1}{y} (\frac{2 x}{1 + x^{2}} y)$

चरण 1.4.2.2

$\frac{2 x}{1 + x^{2}} y$ में से $y$ का गुणनखंड करें.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{- 1}{y} (y \frac{2 x}{1 + x^{2}})$

चरण 1.4.2.3

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{- 1}{y} (y \frac{2 x}{1 + x^{2}})$

चरण 1.4.2.4

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = - \frac{2 x}{1 + x^{2}}$

चरण 1.5

समीकरण को फिर से लिखें.

$\frac{1}{y} d y = - \frac{2 x}{1 + x^{2}} d x$

चरण 2

दोनों पक्षों को समाकलित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

प्रत्येक पक्ष का एक समाकलन सेट करें.

$\int \frac{1}{y} d y = \int - \frac{2 x}{1 + x^{2}} d x$

चरण 2.2

$y$ के संबंध में $\frac{1}{y}$ का इंटीग्रल $\ln (| y |)$ है.

$\ln (| y |) + C_{1} = \int - \frac{2 x}{1 + x^{2}} d x$

चरण 2.3

दाएं पक्ष का समाकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.1

चूँकि $- 1$ बटे $x$ अचर है, $- 1$ को समाकलन से हटा दें.

$\ln (| y |) + C_{1} = - \int \frac{2 x}{1 + x^{2}} d x$

चरण 2.3.2

चूँकि $2$ बटे $x$ अचर है, $2$ को समाकलन से हटा दें.

$\ln (| y |) + C_{1} = - (2 \int \frac{x}{1 + x^{2}} d x)$

चरण 2.3.3

$2$ को $- 1$ से गुणा करें.

$\ln (| y |) + C_{1} = - 2 \int \frac{x}{1 + x^{2}} d x$

चरण 2.3.4

मान लीजिए $u = 1 + x^{2}$ .फिर $d u = 2 x d x$ , तो $\frac{1}{2} d u = x d x$ . $u$ और $d$ $u$ का उपयोग करके फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.4.1

मान लें $u = 1 + x^{2}$ . $\frac{d u}{d x}$ ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.4.1.1

$1 + x^{2}$ को अवकलित करें.

$\frac{d}{d x} [1 + x^{2}]$

चरण 2.3.4.1.2

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $1 + x^{2}$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ है.

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

चरण 2.3.4.1.3

चूंकि $x$ के संबंध में $1$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $1$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$0 + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

चरण 2.3.4.1.4

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 2$ है.

$0 + 2 x$

चरण 2.3.4.1.5

$0$ और $2 x$ जोड़ें.

$2 x$

चरण 2.3.4.2

$u$ और $d u$ का उपयोग करके समस्या को फिर से लिखें.

$\ln (| y |) + C_{1} = - 2 \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u$

चरण 2.3.5

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.5.1

$\frac{1}{u}$ को $\frac{1}{2}$ से गुणा करें.

$\ln (| y |) + C_{1} = - 2 \int \frac{1}{u \cdot 2} d u$

चरण 2.3.5.2

$2$ को $u$ के बाईं ओर ले जाएं.

$\ln (| y |) + C_{1} = - 2 \int \frac{1}{2 u} d u$

चरण 2.3.6

चूँकि $\frac{1}{2}$ बटे $u$ अचर है, $\frac{1}{2}$ को समाकलन से हटा दें.

$\ln (| y |) + C_{1} = - 2 (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u)$

चरण 2.3.7

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.7.1

$\frac{1}{2}$ और $- 2$ को मिलाएं.

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{- 2}{2} \int \frac{1}{u} d u$

चरण 2.3.7.2

$- 2$ और $2$ के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.7.2.1

$- 2$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{2 \cdot - 1}{2} \int \frac{1}{u} d u$

चरण 2.3.7.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.7.2.2.1

$2$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{2 \cdot - 1}{2 (1)} \int \frac{1}{u} d u$

चरण 2.3.7.2.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1} \int \frac{1}{u} d u$

चरण 2.3.7.2.2.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{- 1}{1} \int \frac{1}{u} d u$

चरण 2.3.7.2.2.4

$- 1$ को $1$ से विभाजित करें.

$\ln (| y |) + C_{1} = - \int \frac{1}{u} d u$

चरण 2.3.8

$u$ के संबंध में $\frac{1}{u}$ का इंटीग्रल $\ln (| u |)$ है.

$\ln (| y |) + C_{1} = - (\ln (| u |) + C_{2})$

चरण 2.3.9

सरल करें.

$\ln (| y |) + C_{1} = - \ln (| u |) + C_{2}$

चरण 2.3.10

$u$ की सभी घटनाओं को $1 + x^{2}$ से बदलें.

$\ln (| y |) + C_{1} = - \ln (| 1 + x^{2} |) + C_{2}$

चरण 2.4

समाकलन के स्थिरांक को दाईं ओर $C$ के रूप में समूहित करें.

$\ln (| y |) = - \ln (| 1 + x^{2} |) + C$

चरण 3

$y$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

लघुगणक वाले सभी पदों को समीकरण के बाईं पक्ष की ओर ले जाएँ.

$\ln (| y |) + \ln (| 1 + x^{2} |) = C$

चरण 3.2

लघुगणक की गुणनफल गुणधर्म, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ का उपयोग करें.

$\ln (| y | | 1 + x^{2} |) = C$

चरण 3.3

निरपेक्ष मानों को गुणा करने के लिए, प्रत्येक निरपेक्ष मान के अंदर के पदों को गुणा करें.

$\ln (| y (1 + x^{2}) |) = C$

चरण 3.4

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\ln (| y \cdot 1 + y x^{2} |) = C$

चरण 3.5

$y$ को $1$ से गुणा करें.

$\ln (| y + y x^{2} |) = C$

चरण 3.6

$y$ के लिए हल करने के लिए, लघुगणक के गुणों का उपयोग करके समीकरण को फिर से लिखें.

$e^{\ln (| y + y x^{2} |)} = e^{C}$

चरण 3.7

लघुगणक की परिभाषा का उपयोग करते हुए $\ln (| y + y x^{2} |) = C$ को घातीय रूप में फिर से लिखें. अगर $x$ और $b$ धनात्मक वास्तविक संख्याएं हैं और $b \neq 1$ , तो $\log_{b} (x) = y$ $b^{y} = x$ के बराबर है.

$e^{C} = | y + y x^{2} |$

चरण 3.8

$y$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.8.1

समीकरण को $| y + y x^{2} | = e^{C}$ के रूप में फिर से लिखें.

$| y + y x^{2} | = e^{C}$

चरण 3.8.2

निरपेक्ष मान पद को हटा दें. यह समीकरण के दाएं पक्ष की ओर एक $\pm$ बनाता है जो $| x | = \pm x$ है.

$y + y x^{2} = \pm e^{C}$

चरण 3.8.3

$y + y x^{2}$ में से $y$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.8.3.1

$y^{1}$ में से $y$ का गुणनखंड करें.

$y \cdot 1 + y x^{2} = \pm e^{C}$

चरण 3.8.3.2

$y x^{2}$ में से $y$ का गुणनखंड करें.

$y \cdot 1 + y (x^{2}) = \pm e^{C}$

चरण 3.8.3.3

$y \cdot 1 + y (x^{2})$ में से $y$ का गुणनखंड करें.

$y (1 + x^{2}) = \pm e^{C}$

चरण 3.8.4

$y (1 + x^{2}) = \pm e^{C}$ के प्रत्येक पद को $1 + x^{2}$ से भाग दें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.8.4.1

$y (1 + x^{2}) = \pm e^{C}$ के प्रत्येक पद को $1 + x^{2}$ से विभाजित करें.

$\frac{y (1 + x^{2})}{1 + x^{2}} = \frac{\pm e^{C}}{1 + x^{2}}$

चरण 3.8.4.2

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.8.4.2.1

$1 + x^{2}$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.8.4.2.1.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{y (1 + x^{2})}{1 + x^{2}} = \frac{\pm e^{C}}{1 + x^{2}}$

चरण 3.8.4.2.1.2

$y$ को $1$ से विभाजित करें.

$y = \frac{\pm e^{C}}{1 + x^{2}}$

चरण 4

समाकलन की संतति को सरल करें.

$y = \frac{C}{1 + x^{2}}$

चरण 5

$x$ के लिए $0$ और $y = \frac{C}{1 + x^{2}}$ में $y$ के लिए $1$ को प्रतिस्थापित करके $C$ का मान ज्ञात करने के लिए प्रारंभिक शर्त का उपयोग करें.

$1 = \frac{C}{1 + 0^{2}}$

चरण 6

$C$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1

समीकरण को $\frac{C}{1 + 0^{2}} = 1$ के रूप में फिर से लिखें.

$\frac{C}{1 + 0^{2}} = 1$

चरण 6.2

समीकरण के दोनों पक्षों को $1 + 0^{2}$ से गुणा करें.

$(1 + 0^{2}) \frac{C}{1 + 0^{2}} = (1 + 0^{2}) \cdot 1$

चरण 6.3

समीकरण के दोनों पक्षों को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.3.1

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.3.1.1

$(1 + 0^{2}) \frac{C}{1 + 0^{2}}$ को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.3.1.1.1

भाजक को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.3.1.1.1.1

$0$ को किसी भी धनात्मक घात तक बढ़ाने से $0$ प्राप्त होता है.

$(1 + 0^{2}) \frac{C}{1 + 0} = (1 + 0^{2}) \cdot 1$

चरण 6.3.1.1.1.2

$1$ और $0$ जोड़ें.

$(1 + 0^{2}) \frac{C}{1} = (1 + 0^{2}) \cdot 1$

चरण 6.3.1.1.2

व्यंजक को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.3.1.1.2.1

$0$ को किसी भी धनात्मक घात तक बढ़ाने से $0$ प्राप्त होता है.

$(1 + 0) \frac{C}{1} = (1 + 0^{2}) \cdot 1$

चरण 6.3.1.1.2.2

$1$ और $0$ जोड़ें.

$1 \frac{C}{1} = (1 + 0^{2}) \cdot 1$

चरण 6.3.1.1.2.3

$\frac{C}{1}$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{C}{1} = (1 + 0^{2}) \cdot 1$

चरण 6.3.1.1.2.4

$C$ को $1$ से विभाजित करें.

$C = (1 + 0^{2}) \cdot 1$

चरण 6.3.2

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.3.2.1

$(1 + 0^{2}) \cdot 1$ को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.3.2.1.1

$0$ को किसी भी धनात्मक घात तक बढ़ाने से $0$ प्राप्त होता है.

$C = (1 + 0) \cdot 1$

चरण 6.3.2.1.2

$1$ और $0$ जोड़ें.

$C = 1 \cdot 1$

चरण 6.3.2.1.3

$1$ को $1$ से गुणा करें.

$C = 1$

चरण 7

$1$ को $y = \frac{C}{1 + x^{2}}$ में $C$ के स्थान पर प्रतिस्थापित करें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.1

$1$ को $C$ से प्रतिस्थापित करें.

$y = \frac{1}{1 + x^{2}}$