कैलकुलस उदाहरण

$(x y^{2} + y - x) d x + x (x y + 1) d y = 0$

चरण 1

$\frac{\partial M}{\partial y}$ पता कीजिए जहां $M (x, y) = x y^{2} + y - x$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

$M$ को $y$ से अलग करें.

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [x y^{2} + y - x]$

चरण 1.2

योग नियम के अनुसार, $y$ के संबंध में $x y^{2} + y - x$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d y} [x y^{2}] + \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- x]$ है.

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [x y^{2}] + \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- x]$

चरण 1.3

$\frac{d}{d y} [x y^{2}]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.3.1

चूंकि $x$ , $y$ के संबंध में स्थिर है, $y$ के संबंध में $x y^{2}$ का व्युत्पन्न $x \frac{d}{d y} [y^{2}]$ है.

$\frac{\partial M}{\partial y} = x \frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- x]$

चरण 1.3.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ $n y^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 2$ है.

$\frac{\partial M}{\partial y} = x (2 y) + \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- x]$

चरण 1.3.3

$2$ को $x$ के बाईं ओर ले जाएं.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x y + \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- x]$

चरण 1.4

अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.4.1

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ $n y^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x y + 1 + \frac{d}{d y} [- x]$

चरण 1.4.2

चूंकि $y$ के संबंध में $- x$ स्थिर है, $y$ के संबंध में $- x$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x y + 1 + 0$

चरण 1.4.3

$2 x y + 1$ और $0$ जोड़ें.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x y + 1$

चरण 2

$\frac{\partial N}{\partial x}$ पता कीजिए जहां $N (x, y) = x (x y + 1)$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

$N$ को $x$ से अलग करें.

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x (x y + 1)]$

चरण 2.2

गुणनफल नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ है, जहाँ $f (x) = x$ और $g (x) = x y + 1$ है.

$\frac{\partial N}{\partial x} = x \frac{d}{d x} [x y + 1] + (x y + 1) \frac{d}{d x} [x]$

चरण 2.3

अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.1

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x y + 1$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [1]$ है.

$\frac{\partial N}{\partial x} = x (\frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [1]) + (x y + 1) \frac{d}{d x} [x]$

चरण 2.3.2

चूंकि $y$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $x y$ का व्युत्पन्न $y \frac{d}{d x} [x]$ है.

$\frac{\partial N}{\partial x} = x (y \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]) + (x y + 1) \frac{d}{d x} [x]$

चरण 2.3.3

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$\frac{\partial N}{\partial x} = x (y \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]) + (x y + 1) \frac{d}{d x} [x]$

चरण 2.3.4

$y$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{\partial N}{\partial x} = x (y + \frac{d}{d x} [1]) + (x y + 1) \frac{d}{d x} [x]$

चरण 2.3.5

चूंकि $x$ के संबंध में $1$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $1$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$\frac{\partial N}{\partial x} = x (y + 0) + (x y + 1) \frac{d}{d x} [x]$

चरण 2.3.6

$y$ और $0$ जोड़ें.

$\frac{\partial N}{\partial x} = x y + (x y + 1) \frac{d}{d x} [x]$

चरण 2.3.7

$\frac{\partial N}{\partial x} = x y + (x y + 1) \cdot 1$

चरण 2.3.8

पदों को जोड़कर सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.8.1

$x y + 1$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{\partial N}{\partial x} = x y + x y + 1$

चरण 2.3.8.2

$x y$ और $x y$ जोड़ें.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 x y + 1$

चरण 3

उस $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ को जांचें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

$\frac{\partial M}{\partial y}$ के लिए $2 x y + 1$ और $\frac{\partial N}{\partial x}$ के लिए $2 x y + 1$ प्रतिस्थापित करें.

$2 x y + 1 = 2 x y + 1$

चरण 3.2

चूँकि दोनों पक्षों को समतुल्य दिखाया गया है, समीकरण एक सर्वसमिका है.

$2 x y + 1 = 2 x y + 1$ एक सर्वसमिका है.

चरण 4

$f (x, y)$ को $N (x, y)$ के इंटीग्रल के बराबर सेट करें.

$f (x, y) = \int x (x y + 1) d y$

चरण 5

$f (x, y)$ को खोजने के लिए $N (x, y) = x (x y + 1)$ को समाकलित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1

चूँकि $x$ बटे $y$ अचर है, $x$ को समाकलन से हटा दें.

$f (x, y) = x \int x y + 1 d y$

चरण 5.2

एकल समाकलन को कई समाकलन में विभाजित करें.

$f (x, y) = x (\int x y d y + \int d y)$

चरण 5.3

चूँकि $x$ बटे $y$ अचर है, $x$ को समाकलन से हटा दें.

$f (x, y) = x (x \int y d y + \int d y)$

चरण 5.4

घात नियम के अनुसार, $y$ के संबंध में $y$ का समाकलन $\frac{1}{2} y^{2}$ है.

$f (x, y) = x (x (\frac{1}{2} y^{2} + C) + \int d y)$

चरण 5.5

स्थिरांक नियम लागू करें.

$f (x, y) = x (x (\frac{1}{2} y^{2} + C) + y + C)$

चरण 5.6

$\frac{1}{2}$ और $y^{2}$ को मिलाएं.

$f (x, y) = x (x (\frac{y^{2}}{2} + C) + y + C)$

चरण 5.7

सरल करें.

$f (x, y) = x (\frac{x y^{2}}{2} + y) + C$

चरण 5.8

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$f (x, y) = x (\frac{1}{2} x y^{2} + y) + C$

चरण 6

चूँकि $g (x)$ के इंटिग्रल में इंटिग्रेशन स्थिरांक होगा, हम $C$ को $g (x)$ से बदल सकते हैं.

$f (x, y) = x (\frac{1}{2} x y^{2} + y) + g (x)$

चरण 7

$\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ सेट करें.

$\frac{\partial f}{\partial x} = x y^{2} + y - x$

चरण 8

$\frac{\partial f}{\partial x}$ पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.1

$f$ को $x$ से अलग करें.

$\frac{d}{d x} [x (\frac{1}{2} x y^{2} + y) + g (x)] = x y^{2} + y - x$

चरण 8.2

योग नियम का उपयोग करके अंतर करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.2.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.2.1.1

$\frac{1}{2}$ और $x$ को मिलाएं.

$\frac{d}{d x} [x (\frac{x}{2} y^{2} + y) + g (x)] = x y^{2} + y - x$

चरण 8.2.1.2

$\frac{x}{2}$ और $y^{2}$ को मिलाएं.

$\frac{d}{d x} [x (\frac{x y^{2}}{2} + y) + g (x)] = x y^{2} + y - x$

चरण 8.2.2

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x (\frac{x y^{2}}{2} + y) + g (x)$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [x (\frac{x y^{2}}{2} + y)] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ है.

$\frac{d}{d x} [x (\frac{x y^{2}}{2} + y)] + \frac{d}{d x} [g (x)] = x y^{2} + y - x$

चरण 8.3

$\frac{d}{d x} [x (\frac{x y^{2}}{2} + y)]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.3.1

गुणनफल नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ है, जहाँ $f (x) = x$ और $g (x) = \frac{x y^{2}}{2} + y$ है.

$x \frac{d}{d x} [\frac{x y^{2}}{2} + y] + (\frac{x y^{2}}{2} + y) \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [g (x)] = x y^{2} + y - x$

चरण 8.3.2

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $\frac{x y^{2}}{2} + y$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [\frac{x y^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [y]$ है.

$x (\frac{d}{d x} [\frac{x y^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [y]) + (\frac{x y^{2}}{2} + y) \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [g (x)] = x y^{2} + y - x$

चरण 8.3.3

चूंकि $\frac{y^{2}}{2}$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $\frac{x y^{2}}{2}$ का व्युत्पन्न $\frac{y^{2}}{2} \frac{d}{d x} [x]$ है.

$x (\frac{y^{2}}{2} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y]) + (\frac{x y^{2}}{2} + y) \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [g (x)] = x y^{2} + y - x$

चरण 8.3.4

$x (\frac{y^{2}}{2} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [y]) + (\frac{x y^{2}}{2} + y) \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [g (x)] = x y^{2} + y - x$

चरण 8.3.5

चूंकि $x$ के संबंध में $y$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $y$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$x (\frac{y^{2}}{2} \cdot 1 + 0) + (\frac{x y^{2}}{2} + y) \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [g (x)] = x y^{2} + y - x$

चरण 8.3.6

$x (\frac{y^{2}}{2} \cdot 1 + 0) + (\frac{x y^{2}}{2} + y) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [g (x)] = x y^{2} + y - x$

चरण 8.3.7

$\frac{y^{2}}{2}$ को $1$ से गुणा करें.

$x (\frac{y^{2}}{2} + 0) + (\frac{x y^{2}}{2} + y) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [g (x)] = x y^{2} + y - x$

चरण 8.3.8

$\frac{y^{2}}{2}$ और $0$ जोड़ें.

$x \frac{y^{2}}{2} + (\frac{x y^{2}}{2} + y) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [g (x)] = x y^{2} + y - x$

चरण 8.3.9

$x$ और $\frac{y^{2}}{2}$ को मिलाएं.

$\frac{x y^{2}}{2} + (\frac{x y^{2}}{2} + y) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [g (x)] = x y^{2} + y - x$

चरण 8.3.10

$\frac{x y^{2}}{2} + y$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{x y^{2}}{2} + \frac{x y^{2}}{2} + y + \frac{d}{d x} [g (x)] = x y^{2} + y - x$

चरण 8.3.11

$\frac{x y^{2}}{2}$ और $\frac{x y^{2}}{2}$ जोड़ें.

$2 \frac{x y^{2}}{2} + y + \frac{d}{d x} [g (x)] = x y^{2} + y - x$

चरण 8.3.12

$2$ और $\frac{x y^{2}}{2}$ को मिलाएं.

$\frac{2 (x y^{2})}{2} + y + \frac{d}{d x} [g (x)] = x y^{2} + y - x$

चरण 8.3.13

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.3.13.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{2 x y^{2}}{2} + y + \frac{d}{d x} [g (x)] = x y^{2} + y - x$

चरण 8.3.13.2

$x y^{2}$ को $1$ से विभाजित करें.

$x y^{2} + y + \frac{d}{d x} [g (x)] = x y^{2} + y - x$

चरण 8.4

फलन नियम का उपयोग करके अंतर करें जो बताता है कि $g (x)$ का व्युत्पन्न $\frac{d g}{d x}$ है.

$x y^{2} + y + \frac{d g}{d x} = x y^{2} + y - x$

चरण 8.5

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$\frac{d g}{d x} + y^{2} x + y = x y^{2} + y - x$

चरण 9

$\frac{d g}{d x}$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.1

$\frac{d g}{d x}$ वाले सभी पदों को समीकरण के दाईं ओर ले जाएं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.1.1

समीकरण के दोनों पक्षों से $y^{2} x$ घटाएं.

$\frac{d g}{d x} + y = x y^{2} + y - x - y^{2} x$

चरण 9.1.2

समीकरण के दोनों पक्षों से $y$ घटाएं.

$\frac{d g}{d x} = x y^{2} + y - x - y^{2} x - y$

चरण 9.1.3

$x y^{2} + y - x - y^{2} x - y$ में विपरीत पदों को मिलाएं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.1.3.1

गुणनखंडों को $x y^{2}$ और $- y^{2} x$ पदों में पुन: व्यवस्थित करें.

$\frac{d g}{d x} = y^{2} x + y - x - y^{2} x - y$

चरण 9.1.3.2

$y^{2} x$ में से $y^{2} x$ घटाएं.

$\frac{d g}{d x} = y - x + 0 - y$

चरण 9.1.3.3

$y - x$ और $0$ जोड़ें.

$\frac{d g}{d x} = y - x - y$

चरण 9.1.3.4

$y$ में से $y$ घटाएं.

$\frac{d g}{d x} = - x + 0$

चरण 9.1.3.5

$- x$ और $0$ जोड़ें.

$\frac{d g}{d x} = - x$

चरण 10

$g (x)$ को खोजने के लिए $- x$ का विरोधी व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 10.1

$\frac{d g}{d x} = - x$ के दोनों पक्षों को समाकलित करें.

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int - x d x$

चरण 10.2

$\int \frac{d g}{d x} d x$ का मान ज्ञात करें.

$g (x) = \int - x d x$

चरण 10.3

चूँकि $- 1$ बटे $x$ अचर है, $- 1$ को समाकलन से हटा दें.

$g (x) = - \int x d x$

चरण 10.4

घात नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x$ का समाकलन $\frac{1}{2} x^{2}$ है.

$g (x) = - (\frac{1}{2} x^{2} + C)$

चरण 10.5

$- (\frac{1}{2} x^{2} + C)$ को $- \frac{1}{2} x^{2} + C$ के रूप में फिर से लिखें.

$g (x) = - \frac{1}{2} x^{2} + C$

चरण 11

$f (x, y) = x (\frac{1}{2} x y^{2} + y) + g (x)$ में $g (x)$ को प्रतिस्थापित करें.

$f (x, y) = x (\frac{1}{2} x y^{2} + y) - \frac{1}{2} x^{2} + C$

चरण 12

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 12.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 12.1.1

$\frac{1}{2}$ और $x$ को मिलाएं.

$f (x, y) = x (\frac{x}{2} y^{2} + y) - \frac{1}{2} x^{2} + C$

चरण 12.1.2

$\frac{x}{2}$ और $y^{2}$ को मिलाएं.

$f (x, y) = x (\frac{x y^{2}}{2} + y) - \frac{1}{2} x^{2} + C$

चरण 12.2

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$f (x, y) = x \frac{x y^{2}}{2} + x y - \frac{1}{2} x^{2} + C$

चरण 12.3

$x \frac{x y^{2}}{2}$ गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 12.3.1

$x$ और $\frac{x y^{2}}{2}$ को मिलाएं.

$f (x, y) = \frac{x (x y^{2})}{2} + x y - \frac{1}{2} x^{2} + C$

चरण 12.3.2

$x$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$f (x, y) = \frac{x^{1} x y^{2}}{2} + x y - \frac{1}{2} x^{2} + C$

चरण 12.3.3

$x$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$f (x, y) = \frac{x^{1} x^{1} y^{2}}{2} + x y - \frac{1}{2} x^{2} + C$

चरण 12.3.4

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$f (x, y) = \frac{x^{1 + 1} y^{2}}{2} + x y - \frac{1}{2} x^{2} + C$

चरण 12.3.5

$1$ और $1$ जोड़ें.

$f (x, y) = \frac{x^{2} y^{2}}{2} + x y - \frac{1}{2} x^{2} + C$

चरण 12.4

$x^{2}$ और $\frac{1}{2}$ को मिलाएं.

$f (x, y) = \frac{x^{2} y^{2}}{2} + x y - \frac{x^{2}}{2} + C$