कैलकुलस उदाहरण

$x \frac{d y}{d x} = 2 x e^{x} - y + 6 x^{2}$

चरण 1

समीकरण को $M (x) \frac{d y}{d x} + P (x) y = Q (x)$ के रूप में फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

समीकरण के दोनों पक्षों में $y$ जोड़ें.

$x \frac{d y}{d x} + y = 2 x e^{x} + 6 x^{2}$

चरण 1.2

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$x \frac{d y}{d x} + y = 6 x^{2} + 2 e^{x} x$

चरण 2

जाँच करें कि क्या समीकरण का बायाँ पक्ष $x y$ पद के व्युत्पन्न का परिणाम है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

गुणनफल नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ है, जहाँ $f (x) = x$ और $g (x) = y$ है.

$x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x]$

चरण 2.2

$\frac{d}{d x} [y]$ को $y'$ के रूप में फिर से लिखें.

$x y' + y \frac{d}{d x} [x]$

चरण 2.3

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$x y' + y \cdot 1$

चरण 2.4

$\frac{d y}{d x}$ को $y'$ से प्रतिस्थापित करें.

$x \frac{d y}{d x} + y \cdot 1$

चरण 2.5

$y$ और $1$ को पुन: क्रमित करें.

$x \frac{d y}{d x} + 1 \cdot y$

चरण 2.6

$y$ को $1$ से गुणा करें.

$x \frac{d y}{d x} + y$

चरण 3

किसी गुणन में अंतर करने के परिणामस्वरूप बाईं ओर फिर से लिखें.

$\frac{d}{d x} [x y] = 6 x^{2} + 2 e^{x} x$

चरण 4

प्रत्येक पक्ष का एक समाकलन सेट करें.

$\int \frac{d}{d x} [x y] d x = \int 6 x^{2} + 2 e^{x} x d x$

चरण 5

बाएं पक्ष का समाकलन करें.

$x y = \int 6 x^{2} + 2 e^{x} x d x$

चरण 6

दाएं पक्ष का समाकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1

एकल समाकलन को कई समाकलन में विभाजित करें.

$x y = \int 6 x^{2} d x + \int 2 e^{x} x d x$

चरण 6.2

चूँकि $6$ बटे $x$ अचर है, $6$ को समाकलन से हटा दें.

$x y = 6 \int x^{2} d x + \int 2 e^{x} x d x$

चरण 6.3

घात नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x^{2}$ का समाकलन $\frac{1}{3} x^{3}$ है.

$x y = 6 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + \int 2 e^{x} x d x$

चरण 6.4

चूँकि $2$ बटे $x$ अचर है, $2$ को समाकलन से हटा दें.

$x y = 6 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + 2 \int e^{x} x d x$

चरण 6.5

$\int u d v = u v - \int v d u$ , जहां $u = x$ और $d v = e^{x}$ सूत्र का उपयोग करके भागों द्वारा एकीकृत करें.

$x y = 6 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + 2 (x e^{x} - \int e^{x} d x)$

चरण 6.6

$x$ के संबंध में $e^{x}$ का इंटीग्रल $e^{x}$ है.

$x y = 6 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + 2 (x e^{x} - (e^{x} + C))$

चरण 6.7

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.7.1

सरल करें.

$x y = 6 (\frac{1}{3}) x^{3} + 2 (x e^{x} - e^{x}) + C$

चरण 6.7.2

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.7.2.1

$6$ और $\frac{1}{3}$ को मिलाएं.

$x y = \frac{6}{3} x^{3} + 2 (x e^{x} - e^{x}) + C$

चरण 6.7.2.2

$6$ और $3$ के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.7.2.2.1

$6$ में से $3$ का गुणनखंड करें.

$x y = \frac{3 \cdot 2}{3} x^{3} + 2 (x e^{x} - e^{x}) + C$

चरण 6.7.2.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.7.2.2.2.1

$3$ में से $3$ का गुणनखंड करें.

$x y = \frac{3 \cdot 2}{3 (1)} x^{3} + 2 (x e^{x} - e^{x}) + C$

चरण 6.7.2.2.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$x y = \frac{3 \cdot 2}{3 \cdot 1} x^{3} + 2 (x e^{x} - e^{x}) + C$

चरण 6.7.2.2.2.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$x y = \frac{2}{1} x^{3} + 2 (x e^{x} - e^{x}) + C$

चरण 6.7.2.2.2.4

$2$ को $1$ से विभाजित करें.

$x y = 2 x^{3} + 2 (x e^{x} - e^{x}) + C$

चरण 7

$x y = 2 x^{3} + 2 (x e^{x} - e^{x}) + C$ के प्रत्येक पद को $x$ से भाग दें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.1

$x y = 2 x^{3} + 2 (x e^{x} - e^{x}) + C$ के प्रत्येक पद को $x$ से विभाजित करें.

$\frac{x y}{x} = \frac{2 x^{3}}{x} + \frac{2 (x e^{x} - e^{x})}{x} + \frac{C}{x}$

चरण 7.2

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.2.1

$x$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.2.1.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{x y}{x} = \frac{2 x^{3}}{x} + \frac{2 (x e^{x} - e^{x})}{x} + \frac{C}{x}$

चरण 7.2.1.2

$y$ को $1$ से विभाजित करें.

$y = \frac{2 x^{3}}{x} + \frac{2 (x e^{x} - e^{x})}{x} + \frac{C}{x}$

चरण 7.3

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.3.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.3.1.1

$x^{3}$ और $x$ के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.3.1.1.1

$2 x^{3}$ में से $x$ का गुणनखंड करें.

$y = \frac{x (2 x^{2})}{x} + \frac{2 (x e^{x} - e^{x})}{x} + \frac{C}{x}$

चरण 7.3.1.1.2

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.3.1.1.2.1

$x$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$y = \frac{x (2 x^{2})}{x^{1}} + \frac{2 (x e^{x} - e^{x})}{x} + \frac{C}{x}$

चरण 7.3.1.1.2.2

$x^{1}$ में से $x$ का गुणनखंड करें.

$y = \frac{x (2 x^{2})}{x \cdot 1} + \frac{2 (x e^{x} - e^{x})}{x} + \frac{C}{x}$

चरण 7.3.1.1.2.3

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$y = \frac{x (2 x^{2})}{x \cdot 1} + \frac{2 (x e^{x} - e^{x})}{x} + \frac{C}{x}$

चरण 7.3.1.1.2.4

व्यंजक को फिर से लिखें.

$y = \frac{2 x^{2}}{1} + \frac{2 (x e^{x} - e^{x})}{x} + \frac{C}{x}$

चरण 7.3.1.1.2.5

$2 x^{2}$ को $1$ से विभाजित करें.

$y = 2 x^{2} + \frac{2 (x e^{x} - e^{x})}{x} + \frac{C}{x}$

चरण 7.3.1.2

$x e^{x} - e^{x}$ में से $e^{x}$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.3.1.2.1

$x e^{x}$ में से $e^{x}$ का गुणनखंड करें.

$y = 2 x^{2} + \frac{2 (e^{x} x - e^{x})}{x} + \frac{C}{x}$

चरण 7.3.1.2.2

$- e^{x}$ में से $e^{x}$ का गुणनखंड करें.

$y = 2 x^{2} + \frac{2 (e^{x} x + e^{x} \cdot - 1)}{x} + \frac{C}{x}$

चरण 7.3.1.2.3

$e^{x} x + e^{x} \cdot - 1$ में से $e^{x}$ का गुणनखंड करें.

$y = 2 x^{2} + \frac{2 (e^{x} (x - 1))}{x} + \frac{C}{x}$

$y = 2 x^{2} + \frac{2 e^{x} (x - 1)}{x} + \frac{C}{x}$

चरण 7.3.2

$2 x^{2}$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{x}{x}$ से गुणा करें.

$y = \frac{2 x^{2} x}{x} + \frac{2 e^{x} (x - 1)}{x} + \frac{C}{x}$

चरण 7.3.3

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$y = \frac{2 x^{2} x + 2 e^{x} (x - 1)}{x} + \frac{C}{x}$

चरण 7.3.4

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$y = \frac{2 x^{2} x + 2 e^{x} (x - 1) + C}{x}$

चरण 7.3.5

घातांक जोड़कर $x^{2}$ को $x$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.3.5.1

$x$ ले जाएं.

$y = \frac{2 (x \cdot x^{2}) + 2 e^{x} (x - 1) + C}{x}$

चरण 7.3.5.2

$x$ को $x^{2}$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.3.5.2.1

$x$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$y = \frac{2 (x^{1} x^{2}) + 2 e^{x} (x - 1) + C}{x}$

चरण 7.3.5.2.2

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$y = \frac{2 x^{1 + 2} + 2 e^{x} (x - 1) + C}{x}$

चरण 7.3.5.3

$1$ और $2$ जोड़ें.

$y = \frac{2 x^{3} + 2 e^{x} (x - 1) + C}{x}$

चरण 7.3.6

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.3.6.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$y = \frac{2 x^{3} + 2 e^{x} x + 2 e^{x} \cdot - 1 + C}{x}$

चरण 7.3.6.2

$- 1$ को $2$ से गुणा करें.

$y = \frac{2 x^{3} + 2 e^{x} x - 2 e^{x} + C}{x}$

चरण 7.3.7

गुणनखंडों को $\frac{2 x^{3} + 2 e^{x} x - 2 e^{x} + C}{x}$ में पुन: क्रमित करें.

$y = \frac{2 x^{3} + 2 x e^{x} - 2 e^{x} + C}{x}$