कैलकुलस उदाहरण

$lim_{x \to π} \frac{\sin (x)}{x - π}$

चरण 1

एल 'हॉस्पिटल' का नियम लागू करें.

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चरण 1.1

न्यूमेरेटर की सीमा और भाजक की सीमा का मान ज्ञात करें.

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चरण 1.1.1

न्यूमेरेटर की सीमा और भाजक की सीमा लें.

$\frac{lim_{x \to π} \sin (x)}{lim_{x \to π} x - π}$

चरण 1.1.2

न्यूमेरेटर की सीमा का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.2.1

त्रिकोणमितीय फलन के भीतर सीमा को खिसकाएँ क्योंकि ज्या सतत है.

$\frac{\sin (lim_{x \to π} x)}{lim_{x \to π} x - π}$

चरण 1.1.2.2

$x$ के लिए $π$ को प्रतिस्थापित करके $x$ की सीमा का मान ज्ञात करें.

$\frac{\sin (π)}{lim_{x \to π} x - π}$

चरण 1.1.2.3

उत्तर को सरल करें.

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चरण 1.1.2.3.1

पहले चतुर्थांश में तुल्य त्रिभुज मानों वाला कोण ज्ञात करके संदर्भ कोण लागू करें.

$\frac{\sin (0)}{lim_{x \to π} x - π}$

चरण 1.1.2.3.2

$\sin (0)$ का सटीक मान $0$ है.

$\frac{0}{lim_{x \to π} x - π}$

चरण 1.1.3

भाजक की सीमा का मान ज्ञात करें.

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चरण 1.1.3.1

सीमा का मूल्यांकन करें.

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चरण 1.1.3.1.1

जैसे-जैसे $x$ $π$ के करीब पहुंचता है, सीमा पर योग नियम का उपयोग करके सीमा को विभाजित करें.

$\frac{0}{lim_{x \to π} x - lim_{x \to π} π}$

चरण 1.1.3.1.2

$π$ की सीमा का मान ज्ञात करें जो $x$ के $π$ पर पहुँचने पर स्थिर होती है.

$\frac{0}{lim_{x \to π} x - π}$

चरण 1.1.3.2

$x$ के लिए $π$ को प्रतिस्थापित करके $x$ की सीमा का मान ज्ञात करें.

$\frac{0}{π - π}$

चरण 1.1.3.3

$π$ में से $π$ घटाएं.

$\frac{0}{0}$

चरण 1.1.3.4

व्यंजक में $0$ से एक भाग होता है. व्यंजक अपरिभाषित है.

अपरिभाषित

$\frac{0}{0}$

चरण 1.1.4

व्यंजक में $0$ से एक भाग होता है. व्यंजक अपरिभाषित है.

अपरिभाषित

$\frac{0}{0}$

चरण 1.2

चूंकि $\frac{0}{0}$ अनिश्चित रूप का है, इसलिए L'Hospital' का नियम लागू करें. L'Hospital' के नियम में कहा गया है कि कार्यों के भागफल की सीमा उनके व्युत्पन्न के भागफल की सीमा के बराबर है.

$lim_{x \to π} \frac{\sin (x)}{x - π} = lim_{x \to π} \frac{\frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x - π]}$

चरण 1.3

न्यूमेरेटर और भाजक का व्युत्पन्न पता करें.

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चरण 1.3.1

न्यूमेरेटर और भाजक में अंतर करें.

$lim_{x \to π} \frac{\frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x - π]}$

चरण 1.3.2

$x$ के संबंध में $\sin (x)$ का व्युत्पन्न $\cos (x)$ है.

$lim_{x \to π} \frac{\cos (x)}{\frac{d}{d x} [x - π]}$

चरण 1.3.3

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x - π$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- π]$ है.

$lim_{x \to π} \frac{\cos (x)}{\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- π]}$

चरण 1.3.4

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$lim_{x \to π} \frac{\cos (x)}{1 + \frac{d}{d x} [- π]}$

चरण 1.3.5

चूंकि $x$ के संबंध में $- π$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $- π$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$lim_{x \to π} \frac{\cos (x)}{1 + 0}$

चरण 1.3.6

$1$ और $0$ जोड़ें.

$lim_{x \to π} \frac{\cos (x)}{1}$

चरण 1.4

$\cos (x)$ को $1$ से विभाजित करें.

$lim_{x \to π} \cos (x)$

चरण 2

त्रिकोणमितीय फलन के भीतर सीमा को खिसकाएँ क्योंकि कोज्या सतत है.

$\cos (lim_{x \to π} x)$

चरण 3

$x$ के लिए $π$ को प्रतिस्थापित करके $x$ की सीमा का मान ज्ञात करें.

$\cos (π)$

चरण 4

उत्तर को सरल करें.

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चरण 4.1

पहले चतुर्थांश में तुल्य त्रिभुज मानों वाला कोण ज्ञात करके संदर्भ कोण लागू करें. व्यंजक को ऋणात्मक बनाएंं क्योंकि दूसरे चतुर्थांश में कोज्या ऋणात्मक है.

$- \cos (0)$

चरण 4.2

$\cos (0)$ का सटीक मान $1$ है.

$- 1 \cdot 1$

चरण 4.3

$- 1$ को $1$ से गुणा करें.

$- 1$