कैलकुलस उदाहरण

$\int \frac{1}{u \sqrt{3 - u^{2}}} d u$

चरण 1

मान लीजिए $u = \sqrt{3} \sin (t)$ , जहां $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . फिर $d u = \sqrt{3} \cos (t) d t$ . ध्यान दें कि $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ से, $\sqrt{3} \cos (t)$ सकारात्मक है.

$\int \frac{1}{\sqrt{3} \sin (t) \sqrt{{\sqrt{3}}^{2} - {(\sqrt{3} \sin (t))}^{2}}} (\sqrt{3} \cos (t)) d t$

चरण 2

पदों को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

$\sqrt{{\sqrt{3}}^{2} - {(\sqrt{3} \sin (t))}^{2}}$ को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.1

उत्पाद नियम को $\sqrt{3} \sin (t)$ पर लागू करें.

$\int \frac{1}{\sqrt{3} \sin (t) \sqrt{{\sqrt{3}}^{2} - ({\sqrt{3}}^{2} \sin^{2} (t))}} (\sqrt{3} \cos (t)) d t$

चरण 2.1.2

$1$ से गुणा करें.

$\int \frac{1}{\sqrt{3} \sin (t) \sqrt{{\sqrt{3}}^{2} \cdot 1 - ({\sqrt{3}}^{2} \sin^{2} (t))}} (\sqrt{3} \cos (t)) d t$

चरण 2.1.3

$- ({\sqrt{3}}^{2} \sin^{2} (t))$ में से ${\sqrt{3}}^{2}$ का गुणनखंड करें.

$\int \frac{1}{\sqrt{3} \sin (t) \sqrt{{\sqrt{3}}^{2} \cdot 1 + {\sqrt{3}}^{2} (- (\sin^{2} (t)))}} (\sqrt{3} \cos (t)) d t$

चरण 2.1.4

${\sqrt{3}}^{2} \cdot 1 + {\sqrt{3}}^{2} (- (\sin^{2} (t)))$ में से ${\sqrt{3}}^{2}$ का गुणनखंड करें.

$\int \frac{1}{\sqrt{3} \sin (t) \sqrt{{\sqrt{3}}^{2} \cdot (1 - (\sin^{2} (t)))}} (\sqrt{3} \cos (t)) d t$

चरण 2.1.5

पाइथागोरस सर्वसमिका लागू करें.

$\int \frac{1}{\sqrt{3} \sin (t) \sqrt{{\sqrt{3}}^{2} \cdot \cos^{2} (t)}} (\sqrt{3} \cos (t)) d t$

चरण 2.1.6

${\sqrt{3}}^{2}$ को $3$ के रूप में फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.6.1

$\sqrt{3}$ को $3^{\frac{1}{2}}$ के रूप में फिर से लिखने के लिए $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ का उपयोग करें.

$\int \frac{1}{\sqrt{3} \sin (t) \sqrt{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2} \cdot \cos^{2} (t)}} (\sqrt{3} \cos (t)) d t$

चरण 2.1.6.2

घात नियम लागू करें और घातांक गुणा करें, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{3} \sin (t) \sqrt{3^{\frac{1}{2} \cdot 2} \cdot \cos^{2} (t)}} (\sqrt{3} \cos (t)) d t$

चरण 2.1.6.3

$\frac{1}{2}$ और $2$ को मिलाएं.

$\int \frac{1}{\sqrt{3} \sin (t) \sqrt{3^{\frac{2}{2}} \cdot \cos^{2} (t)}} (\sqrt{3} \cos (t)) d t$

चरण 2.1.6.4

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.6.4.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\int \frac{1}{\sqrt{3} \sin (t) \sqrt{3^{\frac{2}{2}} \cdot \cos^{2} (t)}} (\sqrt{3} \cos (t)) d t$

चरण 2.1.6.4.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\int \frac{1}{\sqrt{3} \sin (t) \sqrt{3^{1} \cdot \cos^{2} (t)}} (\sqrt{3} \cos (t)) d t$

चरण 2.1.6.5

घातांक का मान ज्ञात करें.

$\int \frac{1}{\sqrt{3} \sin (t) \sqrt{3 \cdot \cos^{2} (t)}} (\sqrt{3} \cos (t)) d t$

$\int \frac{1}{\sqrt{3} \sin (t) \sqrt{3 \cos^{2} (t)}} (\sqrt{3} \cos (t)) d t$

चरण 2.1.7

$3$ और $\cos^{2} (t)$ को पुन: क्रमित करें.

$\int \frac{1}{\sqrt{3} \sin (t) \sqrt{\cos^{2} (t) \cdot 3}} (\sqrt{3} \cos (t)) d t$

चरण 2.1.8

करणी से पदों को बाहर निकालें.

$\int \frac{1}{\sqrt{3} \sin (t) (\cos (t) \sqrt{3})} (\sqrt{3} \cos (t)) d t$

चरण 2.2

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.1

$\sqrt{3}$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$\int \frac{1}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3} \sin (t) \cos (t)} (\sqrt{3} \cos (t)) d t$

चरण 2.2.2

$\sqrt{3}$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$\int \frac{1}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1} \sin (t) \cos (t)} (\sqrt{3} \cos (t)) d t$

चरण 2.2.3

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$\int \frac{1}{{\sqrt{3}}^{1 + 1} \sin (t) \cos (t)} (\sqrt{3} \cos (t)) d t$

चरण 2.2.4

$1$ और $1$ जोड़ें.

$\int \frac{1}{{\sqrt{3}}^{2} \sin (t) \cos (t)} (\sqrt{3} \cos (t)) d t$

चरण 2.2.5

${\sqrt{3}}^{2}$ को $3$ के रूप में फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.5.1

$\sqrt{3}$ को $3^{\frac{1}{2}}$ के रूप में फिर से लिखने के लिए $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ का उपयोग करें.

$\int \frac{1}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2} \sin (t) \cos (t)} (\sqrt{3} \cos (t)) d t$

चरण 2.2.5.2

घात नियम लागू करें और घातांक गुणा करें, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int \frac{1}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2} \sin (t) \cos (t)} (\sqrt{3} \cos (t)) d t$

चरण 2.2.5.3

$\frac{1}{2}$ और $2$ को मिलाएं.

$\int \frac{1}{3^{\frac{2}{2}} \sin (t) \cos (t)} (\sqrt{3} \cos (t)) d t$

चरण 2.2.5.4

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.5.4.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\int \frac{1}{3^{\frac{2}{2}} \sin (t) \cos (t)} (\sqrt{3} \cos (t)) d t$

चरण 2.2.5.4.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\int \frac{1}{3^{1} \sin (t) \cos (t)} (\sqrt{3} \cos (t)) d t$

चरण 2.2.5.5

घातांक का मान ज्ञात करें.

$\int \frac{1}{3 \sin (t) \cos (t)} (\sqrt{3} \cos (t)) d t$

चरण 2.2.6

$\sqrt{3}$ और $\frac{1}{3 \sin (t) \cos (t)}$ को मिलाएं.

$\int \frac{\sqrt{3}}{3 \sin (t) \cos (t)} \cos (t) d t$

चरण 2.2.7

$\frac{\sqrt{3}}{3 \sin (t) \cos (t)}$ और $\cos (t)$ को मिलाएं.

$\int \frac{\sqrt{3} \cos (t)}{3 \sin (t) \cos (t)} d t$

चरण 2.2.8

$\cos (t)$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.8.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\int \frac{\sqrt{3} \cos (t)}{3 \sin (t) \cos (t)} d t$

चरण 2.2.8.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\int \frac{\sqrt{3}}{3 \sin (t)} d t$

चरण 3

चूँकि $\frac{\sqrt{3}}{3}$ बटे $t$ अचर है, $\frac{\sqrt{3}}{3}$ को समाकलन से हटा दें.

$\frac{\sqrt{3}}{3} \int \frac{1}{\sin (t)} d t$

चरण 4

$\frac{1}{\sin (t)}$ को $\csc (t)$ में बदलें.

$\frac{\sqrt{3}}{3} \int \csc (t) d t$

चरण 5

$t$ के संबंध में $\csc (t)$ का इंटीग्रल $\ln (| \csc (t) - \cot (t) |)$ है.

$\frac{\sqrt{3}}{3} (\ln (| \csc (t) - \cot (t) |) + C)$

चरण 6

सरल करें.

$\frac{\sqrt{3}}{3} \ln (| \csc (t) - \cot (t) |) + C$

चरण 7

$t$ की सभी घटनाओं को $\arcsin (\frac{u}{\sqrt{3}})$ से बदलें.

$\frac{\sqrt{3}}{3} \ln (| \csc (\arcsin (\frac{u}{\sqrt{3}})) - \cot (\arcsin (\frac{u}{\sqrt{3}})) |) + C$

चरण 8

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$\frac{\sqrt{3}}{3} \ln (| \csc (\arcsin (\frac{1}{\sqrt{3}} u)) - \cot (\arcsin (\frac{1}{\sqrt{3}} u)) |) + C$