कैलकुलस उदाहरण

$\int x^{2} \arctan (x) d x$

चरण 1

$\int u d v = u v - \int v d u$ , जहां $u = \arctan (x)$ और $d v = x^{2}$ सूत्र का उपयोग करके भागों द्वारा एकीकृत करें.

$\arctan (x) (\frac{1}{3} x^{3}) - \int \frac{1}{3} x^{3} \frac{1}{x^{2} + 1} d x$

चरण 2

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

$\frac{1}{3}$ और $x^{3}$ को मिलाएं.

$\arctan (x) \frac{x^{3}}{3} - \int \frac{1}{3} x^{3} \frac{1}{x^{2} + 1} d x$

चरण 2.2

$\arctan (x)$ और $\frac{x^{3}}{3}$ को मिलाएं.

$\frac{\arctan (x) x^{3}}{3} - \int \frac{1}{3} x^{3} \frac{1}{x^{2} + 1} d x$

चरण 3

चूँकि $\frac{1}{3}$ बटे $x$ अचर है, $\frac{1}{3}$ को समाकलन से हटा दें.

$\frac{\arctan (x) x^{3}}{3} - (\frac{1}{3} \int x^{3} \frac{1}{x^{2} + 1} d x)$

चरण 4

$x^{3}$ और $\frac{1}{x^{2} + 1}$ को मिलाएं.

$\frac{\arctan (x) x^{3}}{3} - \frac{1}{3} \int \frac{x^{3}}{x^{2} + 1} d x$

चरण 5

$x^{3}$ को $x^{2} + 1$ से विभाजित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1

बहुपदों को विभाजित करने के लिए सेट करें. यदि प्रत्येक घातांक के लिए कोई पद नहीं है, तो $0$ के मान वाला एक शब्द डालें.

$x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

चरण 5.2

भाज्य $x^{3}$ के उच्च क्रम के पद को विभाजक $x^{2}$ के उच्च क्रम वाले पद से विभाजित करें.

$x$

$x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

चरण 5.3

भाजक से नए भागफल पद को गुणा करें.

$x$

$x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{3}$

$0$

$x$

चरण 5.4

व्यंजक को भाज्य से घटाने की आवश्यकता है, इसलिए $x^{3} + 0 + x$ में सभी चिह्नों को प्रतिस्थापित करें

$x$

$x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{3}$

$0$

$x$

चरण 5.5

संकेतों को बदलने के बाद, नया लाभांश खोजने के लिए गुणा बहुपद से अंतिम लाभांश जोड़ें.

$x$

$x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{3}$

$0$

$x$

चरण 5.6

मूल भाज्य से अगले पद को वर्तमान लाभांश में नीचे खींचें.

$x$

$x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{3}$

$0$

$x$

$0$

चरण 5.7

अंतिम उत्तर भागफल और भाजक पर शेषफल है.

$\frac{\arctan (x) x^{3}}{3} - \frac{1}{3} \int x + \frac{- x}{x^{2} + 1} d x$

चरण 6

एकल समाकलन को कई समाकलन में विभाजित करें.

$\frac{\arctan (x) x^{3}}{3} - \frac{1}{3} (\int x d x + \int \frac{- x}{x^{2} + 1} d x)$

चरण 7

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$\frac{\arctan (x) x^{3}}{3} - \frac{1}{3} (\int x d x + \int - \frac{x}{x^{2} + 1} d x)$

चरण 8

घात नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x$ का समाकलन $\frac{1}{2} x^{2}$ है.

$\frac{\arctan (x) x^{3}}{3} - \frac{1}{3} (\frac{1}{2} x^{2} + C + \int - \frac{x}{x^{2} + 1} d x)$

चरण 9

चूँकि $- 1$ बटे $x$ अचर है, $- 1$ को समाकलन से हटा दें.

$\frac{\arctan (x) x^{3}}{3} - \frac{1}{3} (\frac{1}{2} x^{2} + C - \int \frac{x}{x^{2} + 1} d x)$

चरण 10

मान लीजिए $u = x^{2} + 1$ .फिर $d u = 2 x d x$ , तो $\frac{1}{2} d u = x d x$ . $u$ और $d$ $u$ का उपयोग करके फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 10.1

मान लें $u = x^{2} + 1$ . $\frac{d u}{d x}$ ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 10.1.1

$x^{2} + 1$ को अवकलित करें.

$\frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

चरण 10.1.2

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x^{2} + 1$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ है.

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

चरण 10.1.3

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 2$ है.

$2 x + \frac{d}{d x} [1]$

चरण 10.1.4

चूंकि $x$ के संबंध में $1$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $1$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$2 x + 0$

चरण 10.1.5

$2 x$ और $0$ जोड़ें.

$2 x$

चरण 10.2

$u$ और $d u$ का उपयोग करके समस्या को फिर से लिखें.

$\frac{\arctan (x) x^{3}}{3} - \frac{1}{3} (\frac{1}{2} x^{2} + C - \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u)$

चरण 11

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 11.1

$\frac{1}{u}$ को $\frac{1}{2}$ से गुणा करें.

$\frac{\arctan (x) x^{3}}{3} - \frac{1}{3} (\frac{1}{2} x^{2} + C - \int \frac{1}{u \cdot 2} d u)$

चरण 11.2

$2$ को $u$ के बाईं ओर ले जाएं.

$\frac{\arctan (x) x^{3}}{3} - \frac{1}{3} (\frac{1}{2} x^{2} + C - \int \frac{1}{2 u} d u)$

चरण 12

चूँकि $\frac{1}{2}$ बटे $u$ अचर है, $\frac{1}{2}$ को समाकलन से हटा दें.

$\frac{\arctan (x) x^{3}}{3} - \frac{1}{3} (\frac{1}{2} x^{2} + C - (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u))$

चरण 13

$u$ के संबंध में $\frac{1}{u}$ का इंटीग्रल $\ln (| u |)$ है.

$\frac{\arctan (x) x^{3}}{3} - \frac{1}{3} (\frac{1}{2} x^{2} + C - \frac{1}{2} (\ln (| u |) + C))$

चरण 14

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 14.1

सरल करें.

$\frac{1}{3} \arctan (x) x^{3} - \frac{1}{3} (\frac{1}{2} x^{2} - \frac{1}{2} \ln (| u |)) + C$

चरण 14.2

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 14.2.1

$\frac{1}{3}$ और $\arctan (x)$ को मिलाएं.

$\frac{\arctan (x)}{3} x^{3} - \frac{1}{3} (\frac{1}{2} x^{2} - \frac{1}{2} \ln (| u |)) + C$

चरण 14.2.2

$\frac{\arctan (x)}{3}$ और $x^{3}$ को मिलाएं.

$\frac{\arctan (x) x^{3}}{3} - \frac{1}{3} (\frac{1}{2} x^{2} - \frac{1}{2} \ln (| u |)) + C$

चरण 14.2.3

$- \frac{1}{3} (\frac{1}{2} x^{2} - \frac{1}{2} \ln (| u |))$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{3}{3}$ से गुणा करें.

$\frac{\arctan (x) x^{3}}{3} - \frac{1}{3} (\frac{1}{2} x^{2} - \frac{1}{2} \ln (| u |)) \cdot \frac{3}{3} + C$

चरण 14.2.4

$- \frac{1}{3} (\frac{1}{2} x^{2} - \frac{1}{2} \ln (| u |))$ और $\frac{3}{3}$ को मिलाएं.

$\frac{\arctan (x) x^{3}}{3} + \frac{- \frac{1}{3} (\frac{1}{2} x^{2} - \frac{1}{2} \ln (| u |)) \cdot 3}{3} + C$

चरण 14.2.5

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$\frac{\arctan (x) x^{3} - \frac{1}{3} (\frac{1}{2} x^{2} - \frac{1}{2} \ln (| u |)) \cdot 3}{3} + C$

चरण 14.2.6

$\frac{1}{2}$ और $x^{2}$ को मिलाएं.

$\frac{\arctan (x) x^{3} - \frac{1}{3} (\frac{x^{2}}{2} - \frac{1}{2} \ln (| u |)) \cdot 3}{3} + C$

चरण 14.2.7

$\ln (| u |)$ और $\frac{1}{2}$ को मिलाएं.

$\frac{\arctan (x) x^{3} - \frac{1}{3} (\frac{x^{2}}{2} - \frac{\ln (| u |)}{2}) \cdot 3}{3} + C$

चरण 14.2.8

$3$ को $- 1$ से गुणा करें.

$\frac{\arctan (x) x^{3} - 3 (\frac{1}{3}) (\frac{x^{2}}{2} - \frac{\ln (| u |)}{2})}{3} + C$

चरण 14.2.9

$- 3$ और $\frac{1}{3}$ को मिलाएं.

$\frac{\arctan (x) x^{3} + \frac{- 3}{3} (\frac{x^{2}}{2} - \frac{\ln (| u |)}{2})}{3} + C$

चरण 14.2.10

$- 3$ और $3$ के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 14.2.10.1

$- 3$ में से $3$ का गुणनखंड करें.

$\frac{\arctan (x) x^{3} + \frac{3 \cdot - 1}{3} (\frac{x^{2}}{2} - \frac{\ln (| u |)}{2})}{3} + C$

चरण 14.2.10.2

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 14.2.10.2.1

$3$ में से $3$ का गुणनखंड करें.

$\frac{\arctan (x) x^{3} + \frac{3 \cdot - 1}{3 (1)} (\frac{x^{2}}{2} - \frac{\ln (| u |)}{2})}{3} + C$

चरण 14.2.10.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{\arctan (x) x^{3} + \frac{3 \cdot - 1}{3 \cdot 1} (\frac{x^{2}}{2} - \frac{\ln (| u |)}{2})}{3} + C$

चरण 14.2.10.2.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{\arctan (x) x^{3} + \frac{- 1}{1} (\frac{x^{2}}{2} - \frac{\ln (| u |)}{2})}{3} + C$

चरण 14.2.10.2.4

$- 1$ को $1$ से विभाजित करें.

$\frac{\arctan (x) x^{3} - (\frac{x^{2}}{2} - \frac{\ln (| u |)}{2})}{3} + C$

चरण 15

$u$ की सभी घटनाओं को $x^{2} + 1$ से बदलें.

$\frac{\arctan (x) x^{3} - (\frac{x^{2}}{2} - \frac{\ln (| x^{2} + 1 |)}{2})}{3} + C$

चरण 16

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$\frac{\arctan (x) x^{3} - \frac{x^{2} - \ln (| x^{2} + 1 |)}{2}}{3} + C$

चरण 17

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$\frac{1}{3} (\arctan (x) x^{3} - \frac{1}{2} (x^{2} - \ln (| x^{2} + 1 |))) + C$